数理逻辑的特点在于形式化而不是数值计算，为了反映程度化的思想，20世纪50年代初，Rosser教授利用“指派真值”来刻画逻辑公式和反映逻辑推理的真实程度^[1]，这种思想在Pavelka的系列文章^[2]中得到了全面发展。后来有许多学者从不同角度提出了逻辑公式的程度化思想。

21世纪初，王国俊教授在经典二值命题逻辑中引入了命题的真度概念^[3]，提出了计量逻辑学理论，建立了一套近似推理模式之后，国内外学者展开了广泛的研究，得到了一些重要结果^[4-6]。但是以上所有结果都建立在均匀概率测度空间上。为此，文献[7]利用赋值空间上的Borel概率测度在二值命题中引入了公式的概率真度概念。文献[8]在Łukasiewicz模糊逻辑系统Łuk、Gödel模糊逻辑系统Göd、Product模糊逻辑系统Π和R₀模糊逻辑系统R₀^*这4种模糊命题逻辑系统中提出了公式的积分真度概念。文献[9]在一类命题逻辑系统中借助文献[7]的思想提出了利用积分定义公式真度的统一方法。文献[10-11]在SMTL命题逻辑系统中提出了公式的积分真度理论。

本文将文献[8]的思想和方法应用于NM命题逻辑系统中建立了公式积分真度的统一理论。首先，验证了积分真度MP规则、HS规则；其次，引入了积分相似度和积分伪距离；最后，引进了隶属函数和相容度的概念。值得注意的是，首先，文献[8]的结果可纳入到本文更广泛的统一框架下；其次，在NM系统中，文献[9]关于建立积分真度和相似度提出的假设条件全部成立；最后，本文的结果是对文献[10-11]的进一步推广，更加丰富了左连续三角模的模糊逻辑系统计量化研究。

1 预备知识

假设S ={p₁, p₂, …}是可数集, ψ是S生成的自由代数, 其中分别为¬, ∨, →一元算子和二元算子。不同的蕴含算子和赋值格决定了不同的逻辑系统, 下面介绍幂零极小逻辑NM的蕴含算子和相应的t-范数定义^[12]

(1)

(2)

注1  把标准的NM代数称为[0, 1]中的NM代数, 通常取n(x)=1-x。

定义[0, 1]上的二元算子 & 和→如下

(3)

注2从ψ到R区间[0, 1]的(¬, ∨, →)型同态v: ψ→[0, 1]称为ψ的R-赋值。

定义1  幂零极小逻辑NM系统由以下12个公理模式和推理规则MP组成^[13]

(NM1) (A→B)→((B→C)→(A→C))

(NM2) A & B→A

(NM3) A & B→B & A

(NM4) A∧B→A

(NM5) A∧B→B∧A

(NM6) A & (A→B)→(A∧B)

(NM7) (A→(B→C))→(A & B→C)

(NM8) (A & B→C)→(A→(B→C))

(NM9) ((A→B)→C)→(((B→A)→C)→C)

(NM10) 0→A

(NM11) ((A & B)→0)∨((A∧B)→(A & B))

(NM12) ¬¬A→A

MP规则由A, A→B推出B。

定义2  设A=A(p₁, …, p_n)是ψ中含有n个原子公式p₁, …, p_n的公式, 在A中把p_i换成x_i并保持¬, ∨与→不变，但把它们理解为R单位区间上相应的运算, 则得一n元函数: A(x₁, …, x_n): Iⁿ→ I, 称是由公式A所诱导的函数^[14]。

定义3  自然数列u₁, u₂, …叫斐波那契数列, 若u₁=u₂=1, 且u_n+u_n+1=u_n+2(n=1, 2, …)^[13]。

定义4  设⊗是[0, 1]上的左连续三角模, 在[0, 1]上定义二元运算→如下^[15]

则

1) →是⊗与相伴随的蕴含算子, 即a⊗b≤c当且仅当a≤b→c。

2) b→c=1当且仅当b≤c。

3) a≤b→c当且仅当b≤a→c。

4) a→(b→c)=b→(a→c)。

5) 1→c=c。

6) →c)。

7) b→c关于c单调递增, 关于b单调递减。

定义5  设A=A(p₁, …, p_n)∈ψ, 若A(x₁, …, x_n)在Iⁿ上几乎处处等于1, 则称A为几乎重言式^[11]。

定义6  设A=A(p₁, …, p_n), B=B(p₁, …, p_n), 若A(x_i, …, x_n)=B(x₁, …, x_n)在Iⁿ中几乎处处成立, 则称A与B几乎逻辑等价^[11]。

2 NM理论中的积分真度

定义7  令A(p₁, …, p_m)为ψ中的公式, A是相应A的R函数, 那么积分

(4)

被称为A的R-真度。

定理1  设A∈ψ, 则τ_NM(A)=1当且仅当A是R_NM-几乎重言式。

证明  若A是R_NM-几乎重言式, 则τ_NM(A)=1, 反过来, 设A=A(p₁, …, p_n)∈ψ且τ_NM(A)=1, 则

所以A(x₁, …, x_n)在Iⁿ几乎处处等于1, 因此A是R_NM-几乎重言式。

命题1  设A∈ψ, 则τ_NM(¬A)=1-τ_NM(A)。

推论1  设A∈ψ, 则τ_NM(A)=0当且仅当A是R_NM-几乎矛盾式。

引理1  设f(x, y)=R_NM(x, y), 则f(a, c)+1≥f(a, b)+f(b, c)。

证明  设a≤c, 则f(a, c)=1。

1) 设b < a, 并且1-a>b时, f(a, b)=1-a, f(b, c)=1, 所以

设b < a, 并且1-a≤b时, f(a, b)=b, f(b, c)=1, 所以

2) 设a≤b≤c, 类似1)的证明。

3) 设c < b, 类似1)的证明。

当a>c时, 类似可证f(a, c)+1≥f(a, b)+f(b, c)成立。

综上所述, 设f(x, y)=R_NM(x, y)时, f(a, c) + 1≥f(a, b)+f(b, c)成立。

定理2  设→: [0, 1]²→[0, 1]是二元函数, a, b, c∈[0, 1], I为指标集, 则

证明  由引理1可得, R_NM(a, c)+1≥R_NM(a, b)+R_NM(b, c), 所以a→c+1≥a→b+b→c, 令a=1, 则1→c+1≥1→b+b→c, 由定义4的第5)条得, c+1≥b+b→c, 即c≥b+b→c-1。

定理3  (积分MP规则)设A, B ∈ ψ, 若τ_NM(A)≥α, τ_NM(A→B)≥β, 则τ_NM(B)≥α+β-1。

证明  由积分不变性定理, 不妨设A与B含有同样的原子公式p₁, …, p_n。由定理2得, c≥b+b→c-1, 所以B≥A+A→B-1, 从而

推论2  设A, B∈ψ, 若τ_NM(A)=1, τ_NM(A→B)=1, 则τ_NM(B)=1。

定理4  (积分HS规则)设A, B, C∈ψ, 若τ_NM(A→B)≥α, τ_NM(B→C)≥β, 则τ_NM(A→C)≥α+β-1。

证明  因为(B→C)→((A→B)→(A→C))是重言式^[13], 所以由定理1得, τ_NM((B→C)→((A→B)→(A→C)))=1。因为τ_NM(B→C)≥β, 所以由定理3得, τ_NM((A→B)→(A→C))≥1+β-1=β, 又因为τ_NM(A→B)≥α, 所以再由定理3得, τ_NM(A→C)≥α+β-1。

推论3  设A, B, C∈ψ, 若τ_NM(A→B)=1, τ_NM(B→C)=1, 则τ_NM(A→C)=1。

命题2  假设I_n=p₁∧…∧p_n, U_n=p₁∨…∨p_n, 是S中不同的原子公式, 那么

(5)

例1  计算τ_NM(p→q)和τ_NM(p→¬p∨q)的值。

解

3 NM理论中的积分相似度

定义8  设A, B∈ψ, 则称

(6)

为A与B之间的R积分相似度。

命题3  设A, B∈ψ, 则

1) ξ_NM(A, A)=1。

2) 当A≤B时, ξ_NM(A, B)=τ_NM(B→A); 当A>B时, ξ_NM(A, B)=τ_NM(A→B)。

3) ξ_NM(A, B)=ξ_NM(B, A)。

定理5  设A, B∈ψ, 则ξ_NM(A, B)=1, 当且仅当A与B几乎逻辑等价。

证明  当ξ_NM(A, B)=1时, 由定义6和定义8知, R(A, B)=R(B, A)=1在Iⁿ几乎处处成立, 因此A与B几乎逻辑等价。反过来, 当A与B几乎逻辑等价时, A→B是重言式, B→A是重言式, 因此(A→B)∧(B→A)是重言式, 所以ξ_NM(A, B)=1。

引理2  设f(x, y)=R_NM(x, y)∧R_NM(y, x), 则f(a, c)≥f(a, b)+f(b, c)-1。

证明

1) 设a≤c, 并且1-c>a时, f(a, c)=1-c；

2) 设a≤c, 并且1-c≤a时, f(a, c)=a。

先讨论第1)种情况

① 设b < a, 并且1-a>b时, f(a, b)=1-a, f(b, c)=1-c, 所以f(a, b)+f(b, c)=2-a-c, 因此f(a, c)≥f(a, b)+f(b, c)-1。

设b < a, 并且1-a≤b时, f(a, b)=b, f(b, c)=1-c, 所以f(a, b)+f(b, c)=1-c+b, 因为b < c, 所以b-c < 0, 因此f(a, c)≥f(a, b)+f(b, c)-1。

② 设a≤b≤c, 类似于①的证明。

③ 设c < b, 类似于①的证明。

④ 对于第2)种情况以及a>c时, 类似可证f(a, c)≥f(a, b)+f(b, c)-1成立。

综上所述, 设f(x, y)=R_NM(x, y)∧R_NM(y, x)时, f(a, c)≥f(a, b)+f(b, c)-1成立。

定理6  设A, B, C∈ψ, 若ξ_NM(A, B)≥α, ξ_NM(B, C)≥β, 则ξ_NM(A, C)≥α+β-1。

证明  由引理2可得,

4 NM理论中的积分伪距离

定义9  设A, B∈ψ, 规定

(7)

定理7  ρ_NM: ψ×ψ→[0, 1]是ψ上的积分伪距离。设A, B, C∈ψ, 则

1) ρ_NM(A, A)=0。

2) ρ_NM(A, B)=ρ_NM(B, A)。

3) ξ_NM(A, C)≥ξ_NM(A, B)+ξ_NM(B, C)-1。

命题4  设A, B∈ψ, 当A为定理时,

(8)

5 NM理论中的积分相容度

王国俊在Łukasiewicz模糊命题逻辑系统Łuk有限理论Γ的情况下给出了相容度的定义^[16], 周湘楠在Łukasiewicz模糊逻辑系统Łuk、Gödel模糊逻辑系统Göd、Product模糊逻辑系统Π和R₀模糊逻辑系统R₀^*无限理论Γ的情况下给出了相容度的定义^[17], 周红军对上述给出的2个相容度进行了补充^[18]。本节将在NM命题模糊逻辑无限理论Γ的情况下给出相容度的定义。

定义10  设A∈ψ, Γ⊆ψ, 从Γ到A的准推理是一个有限序列A₁, …, A_n, 其中A_n=A, 且对每个i≤n, A_i∈T∪Γ, 或者有j, k < i使A_i是由A_j与A_k运用MP规则或HS规则而得的结果, A叫做Γ的n级准推论, 记作(q)Γ⁽ⁿ⁾, ├A₀Γ的全体n级准推论之集记作(q)Ded(Γ⁽ⁿ⁾), 或简记作D(Γ⁽ⁿ⁾)^[14]。

命题5  设A∈ψ, Γ⊆ψ, A∈D(Γ⁽ⁿ⁾), 如果对每个B∈Γ均有τ_NM(B)≥α, 则

(9)

式中，u_n是斐波那契数列的第n项。

证明  证明过程类似文献[14]中的证明, 在此不再重复。

注3  由(9)式可以看出, 当Γ中各公式的真度小于1时, 则随着推演长度的增加, 所得准推论的真度将减小。

定义11  设Γ⊆ψ, 令D(Γ)={A∈ ψ丨(q)Γ├A}, 即^[14]。

定义12  假设A, B∈ψ, 那么

(10)

称div(Γ)为理论Γ的发散度。当div(Γ)=1时称Γ为全发散理论。

定义13  假设Σ是ψ中的非空子集, 那么

(11)

被称为Σ的直径。

注4   1) 如果Σ是ψ包含一个定理的有限子集, 那么

(12)

(13)

定理8  设A, B是NM中的公式, Γ是NM中的理论, d(Γ⁽ⁿ⁾)-d(Γ^(b))=1(A∈D(Γ⁽ⁿ⁾), B∈D(Γ^(b)), b是常数, A的推演长度为n, B的推演长度为b)当且仅当A是矛盾式B是重言式。

证明  假设d(Γ⁽ⁿ⁾)-d(Γ^(b))=1, 根据(12)式及真度的取值范围知, 0≤d(Γ^(b))≤1, 0≤d(Γ⁽ⁿ⁾)≤1。当d(Γ⁽ⁿ⁾)-d(Γ^(b))=1时, 只有当d(Γ⁽ⁿ⁾)=1, d(Γ^(b))=0时等式成立, 所以τ_NM(A)=0, τ_NM(B)=1, 即A是矛盾式B是重言式。

假设A是矛盾式B是重言式, 所以τ_NM(A)=0, τ_NM(B)=1, 由(12)式得, d(Γ⁽ⁿ⁾)=1-τ_NM(A)=1, d(Γ^(b)) =1 - τ_NM(B) =0, 所以d(Γ^(b)) - d(Γ⁽ⁿ⁾)=1。

定义14  假设A, B是NM中的公式, Γ是NM中的理论, 定义

(14)

并且

(15)

称i(Γ)为NM中理论Γ的极性指标。

定义15  假设Γ是NM中的理论, 那么

(16)

称ζ(Γ)为NM中理论Γ的相容度。(i(Γ)是由上述定义14给出)。

定理9  在NM中存在一系列相容理论Γ₁, Γ₂, …, Γ_k序列, 它们的发散度为div(Γ_k)= (k=1, 2, …)。

证明  假设A₁=p₂, A_k=p₁→A_k-1(k=2, 3, …), p₁, p₂是不同的原子公式, 并且(v(p₁)=x₁, v(p₂)=x₂)，根据(2)~(3)式得

所以

令Γ_k={A_k}, 因此A_kⁿ ∈D(Γ_k), 下面证明Γ_k是相容理论, 证明过程可参考文献[17]。

取B=p₁→p₁∈D(Γ_k)并且B(x₁)≡1, 因为A_kⁿ⁺¹=A_kⁿ⊗ ≤A_kⁿ, ρ_NM(B, A_kⁿ)随着n的增加而增加, 因此div(Γ_k)= (B, A_kⁿ)。根据(8)式得, ρ_NM(B, A_kⁿ)=1-τ_NM(A_kⁿ)。根据(4)式得

因此

所以

定理10  假设Γ是NM中的理论, 那么

1) Γ是相容的当且仅当i(Γ)=1。

2) Γ是不相容的当且仅当i(Γ)=0。

证明  假设Γ是不相容的, 那么Γ├C(C是矛盾式), 因此C∈d(Γⁿ)∈D(Γ)。因为每个理论都包含定理, 所以A∈d(Γ^b)∈D(Γ)(A是重言式)。因此得, d(Γ⁽ⁿ⁾)-d(Γ^(b))=1, 所以i(Γ)=0。另一方面, 假设i(Γ)=0显然成立, 因此(2)式成立，(1)式自然也成立。

定理11  假设Γ是NM中的理论, 那么

1) 如果i(Γ)=0, 则div(Γ)=1, 但反之不成立。

2) 如果div(Γ) < 1, 则i(Γ)=1, 但反之不成立。

证明  假设i(Γ)=0, 根据定理10得, Γ是不相容的, 根据(10)~(12)式知, div(Γ)=sup{p_NM(A, B)}=1。另一方面, 假设div(Γ)=1, 即理论Γ是完全发散的, 但不能推出Γ是不相容的, 即i(Γ)=0, 令Γ=S是由所有原子公式构成的, 见文献[18]，知Γ=S是完全发散并且是相容理论。根据定理10知, 当理论Γ是相容时, i(Γ)=1, 因此div(Γ)=1不能推出i(Γ)=0。因此(1)式成立, (2)式自然也成立。

定理12  假设Γ是NM中的理论, 那么

1) Γ是完全相容的, 当且仅当ζ(Γ)=1。

2) Γ是不相容的, 当且仅当ζ(Γ)=0。

3) Γ是相容的, 当且仅当 ≤ζ(Γ)≤1。Γ是相容且全发散当且仅当ζ(Γ)= 。

证明

1) 假设Γ是完全相容的, 显然成立。假设ζ(Γ)=1, , 如果Γ不是完全相容的, 那么Γ就有2种情况, 第一种情况是Γ是相容的, 那么div(Γ)≠0, 由定理10的第1)条知, i(Γ)=1, 所以由(16)式知, ζ(Γ) < 1, 另一种情况类似可证明成立。

2) 假设Γ是不相容的, 显然成立。假设ζ(Γ)=0, 则由(16)式和div(Γ)≤1知, i(Γ)≤0, 因为i(Γ)∈{0, 1}, 因此i(Γ)=0, 由定理10的第2)条知, Γ是不相容的, 因此(2)式成立。

3) 假设Γ是相容的, 那么div(Γ)≠0, 由定理10的第1)条及(16)式知, ζ(Γ)=1- div(Γ)ζ(Γ)≥ , 又因为ζ(Γ)∈[0, 1], 因此 ≤ζ(Γ)≤1。假设 ≤ζ(Γ)≤1, 如果Γ不相容, 那么div(Γ)=1, 由定理10的第2)条及(16)式知ζ(Γ)=0, 与 ≤ζ(Γ)≤1矛盾, 所以当 ≤ζ(Γ)≤1, Γ是相容的。对于后半部分显然成立。

例2  假设Γ是NM中的理论, 现有理论Γ中的3个公式分别为A, B, C, 它们的真度分别为τ_NM(A)=0.6, τ_NM(B)=1, τ_NM(C)=0.7, 试比较理论Γ₁={A, B}的相容度与理论Γ₂={B, C}的相容度大小关系。

解  根据(4), (8), (10)式知ρ_NM(B, A)大于ρ_NM(B, C), 因此理论Γ₁={A, B}的div(Γ)大于理论Γ₂={B, C}的div(Γ)。因为理论Γ₁={A, B}的i(Γ)小于理论Γ₂={B, C}的i(Γ), 所以理论Γ₁={A, B}的div(Γ) 1- (i(Γ)) 大于理论Γ₂={B, C}的div(Γ) 1- (i(Γ)), 因此理论Γ₁={A, B}的相容度小于理论Γ₂={B, C}的相容度。

注5  例2的结果验证了定义的相容度具有合理性。

6 结论

本文在NM系统中首先引进了积分真度的概念，验证了积分真度MP规则、HS规则，其次利用积分真度的概念引进了积分相似度和积分伪距离的概念，并验证了它们之间的一些性质，最后引进了极性指标与相容度的概念，验证了完全相容理论的相容度为1，不相容理论的相容度为0。