齿轮能够高效地传递动力和运动, 被广泛应用于各种机械装备。轮齿轻微局部破损带病运行的现象普遍存在, 且影响齿轮系统的平稳性和寿命。齿轮系统在高速、轻载等工况下出现拍击现象, 研究局部破损下直齿轮系统啮合-碰撞特性, 对提高齿轮系统传动性能和健康、稳定运行具有重要意义。

针对齿轮故障, 目前大多数学者主要关注裂纹和磨损等对齿轮系统的影响, Thirumurugan等^[1-2]用有限元法研究了载荷对齿轮裂纹扩展路径的影响; 刘杰等^[3]建立了太阳轮裂纹故障下行星齿轮系统动力学模型; 周亚田等^[4]基于Hertz接触理论和Archard公式建立齿轮系统磨损模型; 马锐等^[5]考虑轮齿折断, 建立了齿轮系统动力学模型; Yang等^[6]建立了齿尖崩坏下齿轮时变啮合刚度模型。Park^[7]建立了一种改进的齿尖崩裂故障下直齿轮系统模型。但上述模型没有考虑多状态啮合及局部破损故障对齿轮系统动力学特征的影响。齿侧间隙诱发齿轮脱啮、齿背接触等多状态啮合行为^[8]; 尹桩等^[9]建立了考虑齿面冲击和摩擦的齿轮系统动力学模型; Shi等^[10-11]建立了考虑时变间隙的齿轮系统多状态啮合模型。Huang等^[12]建立了非对称齿轮系统动力学模型。高建设等^[13]讨论了齿轮-轴承系统中擦边碰撞对系统动力学性能的影响。金花等^[14]分析了多吸引子共存下齿轮系统共存吸引子的演化规律。但这些研究大多针对正常或健康齿轮, 忽略局部破损下的动态特征和齿背接触的瞬时性。

本文引入Hu等^[15]建立的连续接触力模型, 定义齿背接触为齿背碰撞。针对主动轮一个轮齿局部破损故障, 讨论局部重合度的变化, 对局部破损下齿轮系统多状态啮合-碰撞行为进行分类; 建立局部破损下单级齿轮系统动力学模型; 讨论局部破损对时变因子和接触力的影响; 定义2种Poincaré映射截面, 利用变步长的四阶Runge-Kutta法求解齿轮系统动力学模型, 结合系统分岔图、碰撞力周期图、相图、Poincaré截面图等, 研究局部破损下直齿轮系统随载荷和啮合频率变化的啮合-碰撞特性, 并与健康齿轮系统随载荷变化的运动迁移过程进行对比。得到的结果为齿轮系统参数设计和局部破损故障预测提供理论参考。

1 局部破损下直齿轮系统动力学建模

假设齿轮副为刚性支撑, 仅考虑齿背碰撞, 其简化的啮合-碰撞物理模型如图 1所示。

该模型中, c_g为啮合阻尼, 为齿侧间隙一半, μ为摩擦因数, e(t)=E_aω_hcos(ω_ht)为动态传递误差, E_a为误差波动系数, ω_h为啮合频率, k_m(t)为时变啮合刚度, R为碰撞恢复系数, T_j, θ_j, I_i和R_bj分别为转矩、转动角位移、转动惯量和基圆半径(j=p, g分别代表主、从动轮, 相关几何参数见表 1)。

1.1 局部破损齿轮副啮合表征与时变重合度计算

图 2为齿轮啮合线细节图, AD为正常齿轮副实际啮合线, AB或CD为双齿啮合区, BC为单齿啮合区。局部破损轮齿在D₁点提前退出啮合, BB₁或DD₁由原来的双齿啮合区变为单齿啮合区, 即AB₁或CD₁为双齿啮合区, B₁C为单齿啮合区。ε_m为健康齿轮副重合度, ε_b为局部破损下齿轮副重合度, 1 < ε_b < ε_m < 2, 经推导ε_b由(1)式得到。

(1)

式中：p_b为基圆齿距；l_AD1为啮合线AD₁的长度, 可由(2)式计算得到。

(2)

式中：R_ab和α_ab分别为破损轮齿齿顶圆半径和压力角；R_ag为从动轮齿顶圆半径。

1.2 局部破损齿轮多状态啮合-碰撞行为分类

令轮齿相对位移, 运动时间, 啮合周期, 假设局部破损影响第n_b个啮合周期, 其余第n_f周期均为健康啮合周期, S={ n_b mod(n, z_p)=1}, P={n_f}, S∪P=N, 根据与的关系, 齿轮副啮合-碰撞行为分为以下5种类型。

1) 双齿齿面啮合, 边界条件为

, 当啮合点在区域AB₁或CD₁时, ε_s=ε_b, n=n_b, 为破损双齿齿面啮合; 当啮合点在区域AB或CD时, ε_s=ε_m, n=n_f, 为健康双齿齿面啮合;

2) 单齿齿面啮合Ⅰ(区域BC), 边界条件为

3) 单齿齿面啮合Ⅱ, 局部破损引起双齿啮合区变为单齿啮合区(区域B₁B或D₁D), 边界条件为

4) 轮齿脱啮(区域AD), 边界条件为

5) 齿背碰撞(理论上在区域AD任意位置), 边界条件为: 。

1.3 啮合-碰撞动力学建模

1) 双齿齿面啮合

图 3为双齿齿面啮合受力分析图, 该状态2个轮齿对同时啮合, 对应图 2中的AB和CD或AB₁和CD₁区域。根据牛顿第二定律, 主、从动轮绝对转动方程如(3)式所示, 针对健康和破损齿轮副, 其边界条件不同, 分别用ε_m和ε_b来表征。

(3)

式中:；总动态啮合力为第i(i=1, 2)对啮合轮齿的载荷分配系数；k_md(t)为双齿齿面啮合刚度。第i对啮合轮齿主、从动轮所受的摩擦力F_fpi, F_fgi见(4)式。

(4)

式中, μ_di和λ_di(t)分别为第i(i=1, 2)对啮合轮齿的干摩擦因数和摩擦力方向系数。

(3) 式中, S_dpi(t), S_dgi(t)为第i(i=1, 2)对啮合轮齿的主、从动轮摩擦力臂, 可由(5)式计算得到, 且。

(5)

考虑, (3)式可化简为

(6)

式中：m_e为等效质量; g_di(t)为第i(i=1, 2)对啮合轮齿对的等效摩擦力臂；为总负载；为齿轮副内部误差激励，且有

2) 单齿齿面啮合Ⅰ

单齿齿面啮合Ⅰ为健康单齿啮合, 仅一对轮齿参与啮合, 对应图 2中BC区域, 动力学方程为

(7)

式中, k_ms(t)为单齿齿面啮合刚度, 单齿齿面啮合Ⅰ对应的刚度为k_ms1(t)。

3) 单齿齿面啮合Ⅱ

图 4为单齿齿面啮合Ⅱ受力分析图, 主动轮轮齿局部破损导致同时啮合轮齿对减少, 对应图 2齿面啮合线B₁B或D₁D区域。其动力学方程同(7)式, 差异性表现为边界条件及k_ms(t), 单齿齿面啮合Ⅱ刚度为k_ms2(t), 详细计算见第2.1节。

4) 轮齿脱啮

轮齿脱啮时两齿轮相互分离, 齿面法向啮合力和齿面摩擦力均为零, 其运动方程如下

(8)

5) 齿背碰撞

令时, 发生齿背接触, 其碰撞方程为

(9)

式中：为碰撞前、后的相对速度, 根据文献[15], 最大碰撞力F_c可由(10)式计算得到。

(10)

式中：为等效质量；k_c(t)为时变齿背接触刚度；R_p和R_g分别为主、从动轮分度圆半径。

1.4 归一化处理

根据齿面啮合条件, 引入啮合力函数和啮合状态函数, 齿面啮合动力学方程为

(11)

式中,和见(12)~(13)式。

(12)

式中：为综合时变啮合刚度；c_g为系统阻尼。

(13)

式中：和为正常单、双齿齿面啮合状态方程；和为破损单、双齿齿面啮合状态方程。正常和破损单、双齿啮合状态函数仅为边界条件的差异, 形式上相同。单、双齿齿面啮合状态方程见(14)~(15)式。

(14)

(15)

系统固有频率为平均啮合刚度, 无量纲时间τ=ω_nt, 无量纲啮合频率ω=ω_n/ω_h, ω_h为啮合频率。引入特征尺寸D_c, 系统无量纲参数如下:, 则(13)式可无量纲化为

(16)

式中：为无量纲动态啮合力函数；h(τ, x)为无量纲状态函数, 见(17)~(18)式。

(17)

(18)

式中：T₀为无量纲啮合周期；h_fs(τ, x), h_fd(τ, x)为健康单、双齿齿面啮合无量纲状态方程; h_bs(τ, x), h_bd(τ, x)为破损下单、双齿齿面啮合无量纲状态方程, 详细计算见(19)~(20)式。

(19)

(20)

综上, 局部破损下直齿轮系统啮合-碰撞非线性动力学模型无量纲归一化方程可表示为

(21)

式中：分别表示齿背碰撞前、后的无量纲相对速度, 无量纲综合动态接触力见(22)式。

(22)

2 时变参数计算

根据文献[6, 12]等的研究, 该模型主要研究局部破损对时变接触刚度和时变载荷分配系数的影响, 将啮合阻尼和齿侧间隙等效为恒定参数, 研究局部破损下齿轮系统非线性啮合-碰撞动态特性。

2.1 时变刚度计算

假设无量纲齿面啮合刚度k_m(τ)和齿背接触刚度k_c(τ)相等, 由(23)式计算得到。

(23)

式中：k_h为时变赫兹接触刚度^[3], 弯曲刚度k_bji, 轴向压缩刚度k_aji, 剪切刚度k_sji, 基体刚度k_f(j=p, g分别表示主、从动轮, i=1, 2分别表示单、双齿齿轮副接触)详细计算见文献[10-12]。

局部破损下齿面啮合时变刚度如图 5所示。k_m为综合时变啮合刚度(双齿齿面啮合、单齿齿面啮合Ⅰ、Ⅱ的刚度分别为k_md, k_ms1, k_ms2), k_m1和k_m2为双齿啮合第1, 2轮齿对啮合刚度。阴影部分为齿轮局部破损受到影响的啮合周期, 与健康啮合周期相比, 轮齿局部缺失, 部分双齿啮合变为单齿啮合, 双齿啮合区减小, 单齿啮合区增大, 对应时变啮合刚度减小, 轮齿局部承载能力减弱。

2.2 时变载荷分配系数计算

根据文献[12]的研究, 局部破损下齿面啮合载荷分配系数L(ξ)可由(24)式计算得到。

(24)

式中：ξ_A和ξ_D分别表示啮合点A和D的齿廓参数；ξ_D1为点D₁的齿廓参数；ξ_C(t)为AD上任意啮合点的齿廓参数, 见(25)式。

(25)

图 6为局部破损下时变载荷分配系数。L_i为第i对啮合轮齿的载荷分配系数(i=1, 2), 同正常周期相比, 破损周期中双齿啮合区部分变为单齿啮合区(单齿啮合Ⅱ区), 导致双齿啮合区减小, 单齿啮合区增大, 载荷作用在一对轮齿上。可见, 轮齿局部破损使其邻近轮齿局部过载, 加剧疲劳。

3 啮合-碰撞非线性动力学特性研究

为分析局部破损下齿轮系统多状态啮合-碰撞行为机理, 定义2种不同的Poincaré映射截面, 频闪映射截面β_n和齿背接触映射截面β_c。。

结合相图、Poincaré截面图、动态接触力、时间历程图等分析齿轮系统啮合-碰撞特性。通过相图(x≥D, 系统为齿面啮合; -D < x < D, 系统为轮齿脱啮; x=-D, 系统为齿背碰撞)和Poincaré截面图辨识齿轮系统多状态啮合-碰撞行为及运动周期; 结合齿轮系统多初值分岔图与F_c周期图, 讨论系统随啮合频率和载荷变化的啮合-碰撞特性。

3.1 局部破损下接触力变化规律

取系统参数: c=0.01, μ_d1=μ_d2=0.15, ε=0.05, F=0.05, D=1.0, ω=1.1, R=0.85。图 7a)为局部破损下F_m时间历程图, F_m>0, F_m=0和F_m < 0呈周期变化规律, 系统为齿面啮合-轮齿脱啮-齿背碰撞交替, 齿面啮合转迁为轮齿脱啮时(区域B), F_m>0突变为F_m < 0又突变为F_m=0;图 7b)为图 7a)区域A局部放大图, T₁和T₂为健康单、双齿齿面啮合周期, T_b1, T_b2为局部破损下齿轮单、双齿啮合周期, 可以看出T_b1>T₁, T_b2 < T₁, T₁+T₂=T_b1+T_b2=T₀, 破损轮齿使得单齿啮合周期增大, 双齿啮合周期减小, 且变化量相同, T_b1-T₁=T₂-T_b2=(ε_m-ε_b)T₀。局部破损使得部分区域F_m减小, 动力传输能力降低。

3.2 载荷系数的影响

其他参数不变, ω=1.2, F∈(0, 0.15]作为参数变量, 图 8为局部破损下齿轮系统随F递减的多初值分岔图和F_c周期变化图, 图 8a)为β_n截面的分岔图; 图 8b)为β_c截面的F_c周期图。F较大, 系统为周期1运动, 其相图和Poincaré截面图见图 9a), 齿面啮合-轮齿脱啮交替; 随F减小, 在A点周期1运动一部分初值下突变为混沌后立即退化为周期4运动, 另一部分初值下转迁为周期2运动, 导致周期2和周期4运动共存, 其相图和Poincaré截面图见图 9b), 周期4运动的拓扑结构远大于周期2运动, 意味着周期4运动的振动强于周期2;在B点周期2运动在部分初值下激变为混沌运动, 周期4运动保存不变, 导致周期4和混沌运动共存; 在C点周期4运动退化为周期2运动, 导致周期2和混沌运动共存, 其相轨迹和Poincaré截面图如图 9c)所示; 在D点混沌运动在一部分初值下退化为周期6运动, 另一部分初值下仍保持周期2运动, 导致周期2和周期6运动共存, 其相图和Poincaré截面图如图 9d)所示, 周期2运动的拓扑结构大于周期6, 意味着周期2运动的振动强于周期6;在E点, 周期6运动退化为周期3运动, F点周期2运动消失, 周期共存现象消失, 导致周期2和周期3运动共存; 周期3运动经G点跳跃转迁为周期6运动, 后在H点突变为长周期或非周期运动。

综上所述, F较大时, 系统为稳定的周期运动且无齿背碰撞, 随F减小, 出现混沌运动及周期共存现象以及齿背碰撞行为, F较小时, 齿背碰撞依然存在, 但周期共存现象消失。较大载荷抑制齿背碰撞, 较小载荷、混沌运动和多周期共存现象诱发齿背碰撞。在齿轮系统参数设计、优化时, 诱发齿背碰撞的载荷范围应尽可能避免, 实际工作中可以调节初值来改善齿轮运动状态。

3.3 啮合频率的影响

令F=0.11, ω∈[0.1, 2.5], 局部破损下齿轮系统随ω递增的多初值分岔图和F_c周期变化图如图 10所示。图 10a)为β_n截面的分岔图; 图 10b)为β_c截面的F_c周期图。随着ω的增大, 混沌运动在I点退化为周期1运动, 齿背碰撞消失, 混沌运动的相轨迹如图 11a)所示。在J点周期1在一部分初值下转迁为周期2运动, 在另一部分初值下持续存在, 导致周期1与周期2的共存, 相轨迹和Poincaré截面图见图 11b), 周期2运动为齿面啮合-轮齿脱啮交替, 周期1运动仅表现为齿面啮合, 周期2运动的振动明显强于周期1。在K点一部分初值下由周期1运动跳跃为周期3运动, 另一部分初值下仍表现为周期2运动, 导致周期2和周期3运动共存。在L点一部分初值下由周期3运动转迁为周期8运动, 另一部分初值下仍表现为周期2运动, 导致周期2和周期8运动共存, 相轨迹和Poincaré截面图见图 11c), 两种周期运动均为齿面啮合-轮齿脱啮交替, 周期8运动的振动明显强于周期2。在M点周期8运动消失, 系统均表现为周期2运动, 后在N点周期2在一部分初值下经边界激变进入混沌, 并出现齿背碰撞, 另一部分初值下仍保持周期2运动并进行一系列演化: 在N和O之间, 混沌和周期2运动共存; P和Q之间, 混沌和周期1运动共存; Q和R之间, 混沌和周期4运动共存; A和T之间, 混沌和周期3运动共存。在T点, 混沌运动消失, 系统退化为周期3运动, 相轨迹和Poincaré截面图见图 11d), 齿面啮合-轮齿脱啮-齿背碰撞交替。

由上可见, 当ω较小时, 系统为混沌运动, F_c随ω增大而减小, 且混沌运动退化为周期运动, 齿背碰撞消失, 系统经过一系列演化, 再次激变为混沌运动, 齿背碰撞行为和共存现象再次出现; ω较大时, 系统表现为齿面啮合-轮齿脱啮-齿背碰撞交替行为。齿轮系统在ω较大或较小时均出现混沌, 并诱发齿背碰撞行为。避免系统在ω较大或较小的区间运行, 能够一定程度避免齿背碰撞, 保证齿轮系统的健康、平稳运行。

3.4 局部破损与健康齿轮系统对比

系统参数同3.2节, 健康齿轮系统随载荷系数递减的多初值分岔图见图 12。图 12a)为β_n截面对应的分岔图; 图 12b)为β_c截面对应的F_c周期图。在A′点右侧, 系统为周期2和周期1运动共存, 且无齿背碰撞行为, 周期1运动在A′点激变为混沌运动, 后在B′点退化为周期6运动, 并在C′点再次进入混沌, 周期2运动在B′点突变为混沌运动。在A′和B′之间, 混沌和周期2运动共存; B′和C′之间, 混沌和周期6运动共存; 在D′点, 混沌运动退化为周期6运动, 并在E′点突变为周期3运动, 后经F′点跳跃转迁为周期6运动。

对比图 8和图 12发现: 样本参数下, 轮齿局部破损影响齿轮系统混沌、分岔特性和周期运动共存现象。F较大时, 局部破损影响齿轮系统周期运动共存, 但仍抑制齿背碰撞行为; 随着F减小, 局部破损影响下, 系统提前出现齿背碰撞并出现周期共存, 加剧系统动力学行为的复杂程度; 较小载荷下, 局部破损对系统的影响逐渐较小, 但可能出现长周期运动, 影响系统稳定性, 加剧系统振动。

4 结论

本文建立了主动轮局部破损下直齿轮系统啮合-碰撞动力学模型, 研究了齿轮系统分岔、混沌和啮合-碰撞特性, 具体结论如下:

1) 局部破损轮齿提前退出啮合, 影响齿轮副重合度和单、双齿啮合区域(双齿啮合区减小, 单齿啮合区增大), 引起了齿轮系统接触刚度、载荷分配和动态接触力变化, 降低邻近轮齿局部承载力。

2) 引入碰撞恢复系数, 建立考虑能量耗散的局部破损齿轮系统啮合-碰撞模型, 该模型一定程度上反映了齿轮传动实际过程, 为齿轮系统参数设计、优化及局部破损故障检测与维护提供参考, 为齿轮系统动力学建模和分析提供新的方法和思路。

3) 随啮合频率和载荷系数的变化, 系统动力学响应发生演化: 啮合频率较大或较小时, 系统出现混沌或齿背碰撞, 系统运动性能较差; 较大载荷下, 系统运动较为稳定且无齿背碰撞行为。混沌和周期运动共存均诱发齿背碰撞, 加剧系统运动的复杂性, 实际工作中可通过调节初值来改善系统运动状态, 进而提高齿轮传动的平稳性。

4) 对比局部破损和健康齿轮系统, 不同载荷条件下, 局部破损对系统运动状态产生不同程度影响。较小载荷下, 局部破损可能引发高周期运动; 随载荷增大, 局部破损诱发周期运动共存现象, 加剧系统运动复杂性, 并诱发齿背碰撞; 较大载荷下, 局部破损影响周期运动共存, 但仍抑制齿背碰撞。为保证齿轮在较大载荷下运行, 可通过调整初值改善齿轮系统的动态特性, 能够一定程度降低局部破损对齿轮系统造成的不利影响。