近年来, 巡飞弹技术研究成为各军事强国重点关注的热点^[1]。巡飞弹将无人机和导弹的基本特征相结合, 可在目标区进行巡弋飞行, 是实现态势感知、通信中继、区域封控、目标指示、电子干扰、精确打击、毁伤评估等单一或多项任务的智能化弹药。相比导弹, 巡飞弹智能化程度高、巡弋时间长且成本低廉, 通常作为集群弹药使用, 巡飞弹末制导段应具有时间协同作战能力, 对于战斗部威力有限的巡飞弹, 为增强打击效果, 往往要求巡飞弹末制导能够具备协同同步定向打击能力。

含落角约束的末制导律研究成果目前已有很多, 如偏置比例导引律、最优制导律等^[2-6]。文献[7]提出了一种由深度监督学习模块与深度强化学习模块组成的基于预测校正的落角约束计算制导方法。尽管该算法计算精度高、实时性好, 但是由于该类算法较依赖训练时所使用仿真模型的准确度, 当训练模型存在较大偏差时, 将影响该方法的制导性能。文献[8]提出了一种基于虚拟期望落角的末制导律来解决导弹末制导阶段落角和落速控制问题。然而, 由于该算法需要利用深度神经网络离线训练弹道数据集, 适用性相对较弱, 开发周期较长。文献[9]针对带有落角约束的末制导问题, 基于双曲正切函数的一类加权函数, 提出了一种基于间接高斯伪谱法的最优末制导律。然而, 该算法目前较难满足巡飞弹弹上实时在线的应用需求。文献[10]提出了一种带攻击角度约束的深度强化元学习制导律, 该算法需要在线学习, 对弹上算力要求比较高。此外, 以上带落角约束的末制导律均未考虑同步打击时间控制问题。

目前, 对于同时带落角和时间约束的末制导律研究相对较少^[11-15]。文献[16]设计了一种带有辅助阶段的两阶段制导律, 通过引入辅助阶段制导增强了两阶段制导律的时间控制能力。然而, 该算法存在制导指令跳变等问题, 不利于实际应用。文献[17]提出一种分布式到达时间协同导引律, 克服了传统协同导引律存在数值奇点的问题, 但是该算法在局部情况下会出现弹道中前期不能充分利用导弹机动性能, 致使弹道中后期机动幅度过大的问题。文献[18]针对无动力飞行器在速度时变情况下的同时攻击问题, 引入扩张状态观测器, 提出了一种分布式协同导引律, 但该算法未考虑落角约束问题。此外, 尽管以上研究较好地解决了时间约束或协同打击问题, 但仍存在在弹上实时环境下时间控制项容易过零奇异、时间控制与落角约束相互影响问题。

针对以上问题, 本文提出了一种具有落角和时间约束的巡飞弹末端协同打击策略。该方法主要采用双层协同架构: 上层以剩余时间为协调变量, 实现多弹时间协同; 下层以各巡飞弹末制导律为基础, 实现以指定时间和攻击方向对目标的打击。针对末制导落角和时间约束问题, 通过将角度控制和时间控制相解耦, 即在纵向平面进行角度控制, 在侧向平面进行时间控制, 同步实现落角和时间控制。首先, 利用小偏差方法, 在纵向平面内推导了一种考虑角度约束的偏置比例制导律, 为提升剩余时间估计精度, 推导了一种综合考虑比例控制项和角度约束项的时间估计方法。其次, 在侧向平面内, 给出了一种不存在过零奇异问题且具有时变可调系数的时间控制偏置比例制导律。最后, 为更好地协调纵向和侧向平面的制导指令, 确保制导指令不奇异且能同步收敛, 给出了一种综合考虑2个平面剩余时间的到达时间估计方法。

1 问题描述

为简化导弹末制导段运动过程, 将其分解为纵向平面运动和侧向平面运动。将导弹视为一个质点, 并假设该导弹始终处于瞬时平衡状态, 导弹与目标之间运动几何关系如图 1所示。在图中, o-xyz为地面坐标系, M和T分别代表导弹和目标, ϕ为视线高低角, Ψ为视线方位角, r为导弹与目标之间的相对距离, s为相对距离在水平面上的投影, θ和ψ分别为导弹的弹道倾角和弹道偏角, V_M为导弹的速度。除弹道倾角外, 若不进行特殊说明, 所有角度均逆时针为正。根据导弹与目标之间的相对几何关系, 可以得到导弹质心相对于地面坐标系的三自由度运动学方程为

(1)

设计导弹能够以期望的姿态命中目标, 以提升毁伤效果, 需要设计制导律a_M, 使导弹的弹道倾角θ在t趋近于t_f(命中时刻)时, 使得θ趋近于θ_F(期望的弹道倾角)。

末端协同打击以具有时间约束协同制导算法为基础。对于基于独立导引的攻击时间控制导引来说, 设计导引律的目的就是: 设计制导律a_M, 使得t_f→t_d, 其中t_d为指定的攻击时间。为表示方便, 定义ζ为时间偏差, 则ζ可以表示为

(2)

式中：ξ^*=t_d-t为期望的剩余时间; t_go为估计的剩余时间。

2 落角约束制导算法 2.1 偏置比例制导算法推导

含落角约束的制导律形式通常由两部分构成: 比例指令项和角度控制项。因此, 对于纵向平面, 制导律形式可以表示为

(3)

式中：a_{PN, D}为纵向平面比例指令项; 为导引系数; a_{B, D}为纵向平面偏置项(或称为角度控制项), 提供角度控制指令。

为便于偏置项a_{B, D}的设计, 采用文献[19]中的小偏差设计方法, 取坐标系(s, h)为纵向平面惯性坐标系, (x_R, y_R)为参考坐标系; Φ为ox_R与os轴之间的夹角, 逆时针为正; 点M₀为飞行器上一个状态所对应的位置, 点M为飞行器当前位置, 具体如图 2所示。

在参考坐标系中, θ和ϕ需要改写为

(4)

(5)

此外, y为导弹当前位置到ox_R轴之间的距离。根据几何关系, 和θ可表示为

(6)

(7)

式中, t_{go, D}为纵向平面内估计的剩余时间。

对(7)式进行求导, 可以得到俯冲平面比例制导指令a_{PN, D}的另一种表达形式为

(8)

此外, 对(6)式进行求导, 可以得到

(9)

结合(3)~(9)式, 整理后, 可以得到

(10)

已知t_go=t_f-t, 则求解上述微分方程, 可得

(11)

式中

(12)

(13)

对(11)式求导, 并将(4)式代入其中, 整理后可以得到θ的表达式为

(14)

因而, 在t₀时刻约束角可表示为

(15)

将t₀替换成t, 可以得到每一时刻约束角θ_F的值为

(16)

在终端时刻, 纵向平面偏置项会收敛到0, 即a_{B, D}=0, 则可以得到比例导引指令对落角影响的部分θ_{F, PN}。令a_{B, D}=0, 并将(8)式代入(16)式中, 可以得到θ_{F, PN}为

(17)

定义ε_F=θ_F-θ_{F, PN}, 则将(17)式代入其中可以得到

(18)

将(17)式代入(16)式, 整理后可以得到

(19)

将(18)式代入(19)式可以得到a_{B, D}为

(20)

定义ε=(1-N_D)θ_F-N_Dϕ-θ为角偏差反馈项或角偏差项, 利用(20)式可以得到角度控制指令a_{B, D}为

(21)

由于(21)式是利用小偏差方法推导得到, 为使该角度控制指令更具有普适性, 对其进行修正, 可以得到

(22)

式中, μ为角偏差权重系数。

由于, 将(22)式代入(3)式中可以得到的表达式为

(23)

由(23)式可知, 角偏差权重系数μ可以用来协调比例导引指令和角度控制指令之间的权重关系, 会对该制导算法的角度和脱靶量控制性能产生直接影响。变量μ在整个制导阶段应该在合理的范围内取值, 主要原因有: ①若变量μ的幅值过大, 会使角度控制指令对比例导引指令产生较为明显的影响, 极可能会降低脱靶量的控制精度; ②在构建制导算法(见(23)式)时, 采用了小偏差假设, 会存在一定程度偏差, 若变量μ取值过大, 也会放大这些误差, 进而影响算法的收敛性; ③若变量μ取值偏小, 会使角度控制项不能及时收敛, 进而影响到落角控制精度。因此, 变量μ的选取极为重要。

2.2 制导参数选取及分析

将ε对时间求导, 并将(23)式代入其中可得

(24)

已知t_{go, D}=t_f-t, 对(24)式进行积分可得

(25)

将(25)式求导, 可得

(26)

由(26)式可知, 变量μ首先应当满足μ>1, 可确保角偏差项的幅值及其变化率的幅值会随着时间而逐渐收敛到零。

此外, 对于具有落角约束的打击问题, 一般需要同时完成2个任务: ①确保导弹命中目标; ②确保击中目标时的弹道倾角等于期望值。因此, 可取状态变量为

(27)

状态量x₁代表角偏差反馈项ε, 状态量x₂代表视线角速率。当x₁→0时, 说明角度控制基本完成; 当x₂→0时, 导弹将命中目标。将(27)式对时间t进行求导, 并近似认为, 可得关于x₁和x₂的状态方程为

(28)

分析可知, 这是一个变系数非齐次线性微分方程组。构建Lyapunov候选函数为

(29)

式中, τ₁和τ₂均为正常数。

将(29)式对时间t进行求导, 为保证, 可取 为以下形式

(30)

式中, k>0。

进而, 可以得到

(31)

在t→t_f, 有t_{go, D}>0, 即在击中目标前, 可保证 。

令, (30)式可以简化为

(32)

对比(23)和(32)式, 并令两式第一项的系数相等, 可得k=N_D-2。将k代入(32)式中第二项的系数中, 整理后可得

(33)

由于m>0, 分析可知, 当m→0时, 参数μ趋近于N_D-1;当m→∞时, 参数μ趋近于0。因此, 为确保角度控制项能够快速收敛, 角偏差权重系数μ的取值范围为μ∈(1, N_D-1)。

2.3 纵向平面时间估计

传统的剩余时间估算方法一般采用t_{go, D}≈r/V_M。然而, 该方法估算精度低, 会降低制导性能。通常情况下, 针对静止目标的剩余时间估计方法, 其具体形式为

(34)

式中, η_D=θ+ϕ为前置角。

将η_D对时间求导, 并将(23)式代入其中, 可得

(35)

在纵向平面内, 垂直视线角速率可近似表示为

(36)

式中, r为导弹与目标之间的相对距离, 其变化率为

(37)

近似认为 , 则(35)式可近似表达为

(38)

将(38)式除以(24)式, 可得

(39)

将(39)式积分后, 可得η_D的估计值为

(40)

式中

(41)

剩余时间估计方法的精度与所采用的制导方法直接相关, (34)式所得到的剩余时间估算方法仅考虑了比例指令项对剩余时间估计的影响, 而没有考虑角度控制项对剩余时间估计的影响效果。将(40)式代入(34)式中, 整理后可以得到比例项对剩余时间的估算公式为

(42)

对于本文所采用的制导方法, 还应考虑偏置项对剩余时间的直接影响。对于静止目标, 偏置项对弹道长度的影响幅度^[19]为

(43)

式中, a_{PN, D}和a_{B, D}分别为比例项和偏置项。此外, 结合(6)和(8)式, 可得到a_{PN, D}的另一种近似表达式为

(44)

将(44)和(22)式代入(43)式中, 整理后可得

(45)

利用(45)式, 由偏置项引起的剩余时间表达式可通过s_{B, D}/V_M计算得到, 其具体形式整理后为

(46)

最终, 总的剩余时间关于角偏差项的具体表达式为

(47)

(47) 式中t_{go, D}即为综合考虑比例项和角度控制项后的纵向平面时间估计方法。

3 时间控制及协同打击策略

末端协同打击需要以时间协同为基础, 即要求末制导算法能够进行时间约束。通过第2节的工作, 在纵向平面已实现了对目标的含落角约束打击。然而, 落角控制和时间控制方案均需要将弹道进行拉伸来实现, 若将落角控制和时间控制均放到纵向平面, 会产生2个问题: ①容易降低制导算法的落角和时间约束控制能力; ②容易造成落角控制和时间控制相互干扰, 影响脱靶量、落角和时间控制精度。因此, 需要将时间约束和落角约束解耦, 在侧向平面实现时间控制。并以此为基础, 以剩余时间为协调变量, 利用双层架构协同末制导策略来实现多枚导弹对目标协同打击。

3.1 具有时间约束偏置比例制导

首先推导导弹在侧向平面内的运动方程, 侧向平面运动几何关系如图 3所示。定义侧向平面内前置角η_L为

(48)

根据俯冲平面内的几何关系可以得到

(49)

式中, V_MT为导弹速度在水平面上的投影, 其大小为V_MT=V_Mcosθ。

假设导弹末制导阶段在侧向平面依然采用比例导引, 则弹道偏角角速率可以表示为

(50)

式中, N_L为侧向平面导引系数。

由(50)式可得侧向平面比例指令项

(51)

若要在侧向平面考虑时间约束, 则需要在侧向制导指令基础上在加上一个时间控制项a_{T, L}, 其基本形式可写为

(52)

对于(52)式中的时间控制项, 可由(53)式给出

(53)

式中, 增益参数Γ_L和时间偏差ζ(t)可分别由(54)~(55)式给出

(54)

(55)

剩余时间t_{go, L}可由(56)式给出

(56)

(56) 式中对应的时间仅用来进行侧向平面剩余时间估计, 而不用于时间控制制导律。因此, (52)式对应的侧向平面时间控制制导算法, 不会因为剩余时间估计问题出现时间控制项(见(53)式)过零奇异问题。

3.2 剩余时间协调预估策略

若要进行时间控制, 一般需要将导弹弹道相对于基准弹道(比例导引弹道)进行拉伸, 通过调整弹道的长度改变导弹到达目标的时间。在纵向平面, 导弹主要对目标进行定向打击, 本身就需要对弹道进行调节, 若再加上时间控制项, 势必会影响落角控制精度。另外, 在末制导阶段, 导弹动力性能会下降很多, 纵向平面大幅度机动通常不利于导弹正常飞行。因此, 尽量需要将落角控制和时间控制解耦开, 以避免两者相互干扰。可以在纵向平面只进行落角控制, 使导弹能够以期望的姿态命中目标, 在侧向平面主要进行时间控制, 通过将弹道进行左拉伸或右拉伸, 调节到达时间。根据以上分析, 所设计的剩余时间估计公式为

(57)

式中, ω∈[0, 1]为一权重系数, 。

从(57)式可以看出, 所设计的剩余时间估计方程主要由两部分组成: 第一部分为纵向平面侧向剩余时间估计值; 第二部分为侧向平面剩余时间估计值。末制导初始阶段, 角度控制指令还比较小, 此时主要通过侧向拉偏调节到达时间, 由于侧向平面前置角比较大, 所以利用侧向平面剩余时间估计值更加合理。随着导弹接近目标, 即ω增大, 侧向平面逐渐收敛, 而角度控制指令逐渐增大, 纵向平面前置角会开始逐渐增大, 利用纵向平面剩余时间估计值更加合理。

3.3 协同打击策略

为解决在编队支撑网络拓扑跳变情况下, 利用具有时间约束末制导律达到分布式协同制导时间一致问题, 采用文献[20]的双层协同制导控制结构, 如图 4所示, 利用领弹-从弹^[21]的集群控制方式解决多导弹协同攻击问题。上层协同策略采用分布式加权平均一致性算法, 该算法根据各枚导弹提供的期望导引时间解算导弹编队的期望导引时间。底层具有时间和落角约束制导律, 根据得到的导弹编队期望导引时间对各个成员进行导引控制, 以给定的落角同时命中目标。如图 4所示, 上层为协同层, 主要用来接收各编队成员上报的权值和预估到达时间结果, 进行协调计算, 得出整个编队可以接受的期望到达时间, 并下发至自身飞控及广播至编队其他成员; 底层为导引层, 主要利用飞行控制装置中的制导算法计算制导控制指令, 并根据获得的弹上状态信息进行剩余时间预估和权值计算。

假设共有n枚导弹参与协同攻击, 要求同时命中目标。本地制导律具有一个“可控量”即期望导引时间ξ^*。因此, 取协调变量为剩余时间。结合文献[20]中分布式加权平均一致算法和(52)式对应的具有时间制导律, 可得到协调后的期望导引时间ξ^*为

(58)

式中

(59)

(60)

尽管变量ξ^*并非严格最优解, 但其物理意义十分明显: 通过协商得到的期望导引时间值就是各个导弹剩余时间估计值的加权平均数。

4 仿真分析

本节将对所提制导方案进行仿真校验, 具体条件为: 目标静止, 位于坐标系原点; 巡飞弹的速度V_M为45 m/s, 位置坐标为(1 500, 500, 1 400)m; 巡飞弹初始弹道倾角θ和初始弹道偏角分别为0°和135°; 巡飞弹最大可用过载为3g。分别在不同落角约束及多弹协同打击条件下, 对所提制导策略进行仿真验证。

4.1 不同终端角度约束时的情况

图 5为末制导阶段时间约束为60 s时, 落角约束分别取为-30°, -40°和-50°时的仿真结果, 表 1为对应的脱靶量、落角和到达时间统计结果。

从图 5a)中可以看出, 3种情况下巡飞弹均命中目标, 脱靶量在0.2 m以内, 满足制导精度要求。此外, 还可以看出, 在弹道中前期, 3条弹道轨迹比较接近, 在弹道中后期, 落角约束幅值越大, 弹道越高, 可见角度约束控制主要是在弹道中后期逐渐起主导作用。从图 5b)中可以看出, 3种落角下, 所提制导方案均将终端弹道倾角控制到落角约束附近, 最大偏差为-0.4°, 对应-50°时的情况。从表 1也可以看出, 在时间约束给定的情况下, 落角约束幅值越大, 时间约束偏差越大。从图 5c)中可以看出, 纵向平面法向过载幅值在0.3g以内, 远小于最大可用过载约束。从图 5d)中可以看出: ①时间约束控制主要在末制导初始阶段起明显作用, 随着时间偏差收敛, 侧向平面法向过载逐渐收敛到0;②在时间约束相同, 落角约束不同时, 时间约束控制幅度基本相近, 只有在末制导中后期, 角度控制指令起明显作用时略有不同。

4.2 多弹协同打击时的情况

为验证所提制导策略协同打击效果, 采用5枚不同方位巡飞弹对同一静止目标展开协同打击, 各弹初始位置如表 2所示, 其速度均为45 m/s, 落角约束为-40°。

图 6为所提制导策略协同打击仿真结果, 表 3为仿真结果统计值。从仿真结果可看出, 各枚导弹均能以指定落角从不同方位命中目标, 脱靶量控制在0.12 m以内, 落角精度控制在0.01°以内, 同步时间控制偏差在0.032 s以内。可以看出, 所提协同打击策略具有较高精度的协同打击效果。

5 结论

为解决多弹末制导阶段协同打击问题, 本文以双层协同制导架构为基础, 提出了一种在三维空间内具有落角和时间约束的末制导方案。在纵向平面内, 制导指令主要由比例控制项和角度约束项组成, 通过所设计的角度控制项实现定向打击。在侧向平面内, 制导指令主要由比例控制项和时间控制项组成, 主要通过将弹道进行侧向拉偏来实现时间控制。由于剩余时间的估计精度对制导方案的性能影响极为明显, 所设计侧向平面时间控制制导算法不直接采用剩余时间, 剩余时间仅作用于纵向平面基于落角约束的偏置比例制导算法中的角度控制项, 进而避免同时控制时间和落角约束时容易出现的时间控制项过零奇异问题。此外, 所设计的剩余时间估计方法综合考虑纵向比例指令项、角度控制项, 以及侧向比例指令项的影响, 来确保脱靶量、角度控制项和时间控制项的同步收敛。最后, 双层协同制导控制结构以剩余时间作为协调变量, 采用分布式加权平均一致方法实现多弹协同打击。仿真结果验证了该制导策略在不同落角和时间约束条件下及不同随机拉偏条件下良好的落角控制和时间控制性能, 以及集中式和分散式协同打击能力。