根据近年来军队实战化训练要求，靶机协同供靶能够更有效地检验和考核防空反导防御系统在复杂环境下对抗多目标饱和攻击的防御性能及装备使用技术，对防空反导防御系统的实战化训练具有重要意义^[1]。目前传统单架靶机的供靶模式已逐渐无法满足武器装备性能考核要求，因此研究能够模拟敌方多目标典型作战样式的靶机协同供靶模式迫在眉睫^[2-3]。

协同供靶模式中，靶机协同中制导的目的是根据实际供靶需求，模拟多目标协同饱和攻击场景，形成供靶态势，用来检验、考核武器装备典型对抗场景下多目标探测、识别及毁伤的作战效能。近年来飞行器协同制导一直是研究热点^[4-5]，主要的研究成果可分为2种。第一种协同制导方法是通过设计共同的命中时间，确保飞行器在相同时间命中目标。Jeon等^[6]基于线性系统设计了命中时间控制制导律(ITCG)。张友安等^[7]提出了一种带攻击角约束的制导律，通过控制拦截器的法向加速度实现同时命中目标。文献[8]采用了不同的滑模制导律来实现相同时间命中目标。以上方法中各飞行器之间没有通信，因此易受外界干扰以及飞行器自身的状态影响。第二种是有信息交互的协同制导，各飞行器在协同飞行的过程中通过相互通信实现命中时间的同步。协同制导分为集中式协同制导^[9-10]和分布式协同制导。分布式协同制导具有通信要求低、鲁棒性强、可靠性高、扩展性强的优点，靶机由于成本较低，机载飞控计算能力有限，分布式协同制导是靶机供靶应用的研究重点。Wang等^[11]提出了2个阶段的协同制导律，第一阶段设计了一种分布式一致性协议，使所有导弹状态实现渐进一致性。第二阶段采用局部视线控制律使各导弹到达目标。文献[12]中设计了基于模型预测控制的协同制导律实现同时到达，该方法只能保证受控系统的渐近收敛。郭正玉等^[13]基于快速非奇异终端滑模理论设计了带有角度约束多弹协同制导律，但仿真时导弹速度恒定不变。文献[14]采用快速非奇异终端滑模控制方法设计了多弹三维协同制导律。文献[15]设计了带打击角度约束的多导弹分布式时间协同制导律，可以为各导弹提前指定好期望的打击角度。文献[16]采用传统弹道成型制导律结合协同参数设计了多弹三维协同中制导律。

当前国内外研究大都是基于导弹速度不控，通过路径规划的方式协调各导弹的剩余飞行时间，从而实现多弹协同。在实际靶机协同供靶中，中制导段靶机需模拟多目标协同攻击场景，形成供靶态势，为考核导弹武器系统机动场景拦截能力，靶机接近时需具有一定过载。中制导段飞行时间较长，靶机携带燃料有限，因此如何在中制导段使靶机快速形成供靶态势，减少能量损耗，同时满足靶机飞行性能约束是需要深入研究的。对此，本文提出一种基于速度控制及攻击角度约束的协同中制导律，一方面引入速度维度通过调节速度大小设计时间协同制导律，实现多靶机同时到达快速形成供靶态势，另一方面基于有限时间滑模设计了带期望视线角约束的制导律同时满足中制导角度约束。最后将本文提出的方法进行仿真分析，验证了本文方法的有效性和合理性。

1 模型建立 1.1 靶机与目标相对运动模型

考虑地面固定点位目标和采用涡喷发动机为动力的速度可控靶机，建立水平面内的相对运动关系如图 1所示。图中T表示目标, T_i表示靶机中制导段的虚拟目标点。

质心运动方程可表示为

(1)

(2)

(3)

式中: R_i表示靶机U_i与中制导段虚拟目标T_i在xoz水平面内的距离; V_i表示靶机U_i的速度; q_i表示靶机U_i相对于目标的视线方位角; θ_i表示靶机U_i的弹道偏角; η_i表示靶机U_i的偏航前置角。

对(1)式和(2)式求导可得

(4)

(5)

在靶机协同中制导段, 靶机U_i一方面通过调节发动机推力改变视线方向加速度a_ri, 从而控制其飞行速度V_i; 另一方面通过自动驾驶仪控制气动舵面来控制视线法向加速度a_qi, 从而实现在水平面内的转弯。

靶机协同供靶中制导的目的是形成供靶态势, 考核地面防空导弹武器系统的多目标作战能力, 因此靶机协同中制导需同时到达地面武器系统的作战能力考核距离(图 1中的虚线段), 即各靶机需同时到达虚拟目标点T_i, 作战能力考核距离需满足地面武器系统的作战能力区间[d_min, d_max]。在实际供靶时, 靶机存在一定的几何尺寸, 因此到达虚拟目标T_i时通常R≠0, 实际供靶时中制导精度可接受范围为R≤5 m, 因此在整个中制导过程中均有R≠0。

靶机U_i到达虚拟目标T_i所需剩余的飞行时间的估算公式为

(6)

对(6)式求导, 结合(4)式可得

(7)

(8)

式中, 引入新的虚拟控制量, 对视线方向控制指令a_ri的设计可转换为对的设计。

到达虚拟目标点T_i时各靶机的视线角和视线角速率应满足

(9)

令, 结合(5)式可表示为

(10)

由(8)式和(10)式可知, 协同中制导律的设计过程分为两部分: ①通过设计控制量, 调节靶机的飞行速度, 使得靶机中制导的剩余时间估计值在固定时间内达到一致, 从而保证多靶机能同时到达各自的虚拟目标点T_i; ②通过设计a_qi使得靶机的视线角收敛到期望视线角且视线角速率收敛到零。设计时考虑固定时间一致性, 是由于靶机协同供靶中制导的末段, 为了增大对武器系统的考核难度, 在靶机视线法向进行机动, 即a_qi与传统的制导律在末段较平稳、加速度小不同, 靶机协同中制导末段a_qi需要有一定的机动能力。因此在靶机视线法向完成机动后, 靶机的中制导剩余时间应该能够较快在到达虚拟目标点T_i之前达到一致。

1.2 一致性理论

考虑如下一阶多智能体系统, 每个智能体的动力学模型为

(11)

式中: t为时间; ξ_i(t)∈R为第i个智能体的状态; u_i(t)为第i个智能体的控制量。

多智能体之间通信网络可由无向图G=(v, ε, A)表示, 其中v={v₁, v₂, …, v_n}表示由n个节点组成的集合, ε∈v×v表示连接2个节点的边组成的集合。矩阵A=[a_ij]∈R^n×n为代表边权值的邻接矩阵, 若智能体i和智能体j之间可以进行信息交互, 则a_ij=1, 否则a_ij=0。在无向图中, 信息的传递是双向的, 即a_ij=a_ji。若无向图中任意2个节点都是互相连通的, 则称该无向图是连通图。定义对角矩阵D为无向图G的入度矩阵, 则无向图G的拉普拉斯矩阵为L=D-A=[l_ij]∈R^n×n。其中

(12)

引理1^[17]   考虑自治系统, x∈Rⁿ, 如果存在一个连续正定、径向无界的函数V(x), 使得

(13)

式中, μ>0, λ>0, 0 < α < 1为实数, 那么系统的平衡点是全局有限时间稳定的, 且收敛时间t_r满足

(14)

引理2^[18]   对于系统, x(0)=x₀, 假设存在一个正定且径向无界函数V(x): Rⁿ→R, 有

(15)

式中, α>0, β>0, 0 < p < 1, q>1, 则系统是固定时间稳定且收敛时间t_r满足

(16)

2 靶机协同中制导律设计 2.1 视线方向制导律设计

文中各靶机之间的通信采用无向网络, 即各靶机均能接收到其他靶机之间的信息。

根据(6)和(12)式, 各靶机U_i的剩余时间估计一致性误差e_i可表示为

(17)

即

(18)

式中, a_ij为邻接矩阵A的第(i, j)个元素, e=[e₁  e₂  …  e_n]^T, 。

定理1   考虑视线方向上的子系统, 在其通信拓扑结构图G无向且连通时, 选择如下一致性控制协议为制导律, 各靶机能实现剩余估计时间的固定时间一致。

(19)

式中：i=1, 2, …, n; α_i>0, β_i>0, 0 < k₁ < 1, k₂>1;为生成的靶机U_i的视线方向加速度指令。

证明:

由(8)式和(19)式

(20)

取Lyapunov函数为

(21)

对(21)式求导, 并将(18)、(20)式代入, 可得

(22)

令

(23)

引理3^[19]   对于任意向量x=[x₁, x₂, …, x_n]^T∈Rⁿ, 如果0 < p < 2, 则有下述不等式恒成立

(24)

对于任意向量x=[x₁, x₂…, x_n]^T∈Rⁿ, 如果p>2, 则有下述不等式成立

(25)

将(23)式代入(22)

式中, 并由引理3可知

(26)

引理4^[20]   记λ₂(L)为无向连通图G对应的拉普拉斯矩阵L的第二小特征值, 则有λ₂(L)>0, 且对任意满足1_n^Tx=0的向量x∈Rⁿ, 存在x^TLx≥λ₂x^Tx。

由于, 因此L^1/21_n=0_n, 从而, 再由引理4, 可知, 即

(27)

将(18)式和(21)式代入(27)式可得

(28)

将(28)式代入(26)式

(29)

结合引理2可得, 多靶机的剩余时间估计将在固定时间收敛到一致, 且收敛时间

(30)

2.2 视线法向制导律设计

靶机集群协同中制导的目的不仅需要靶机集群同时到达各虚拟目标点T_i, 还需要各靶机到达时具有期望的方位角, 本节针对该场景进行制导律设计。

(31)

(32)

式中：e_i=q_i-q_fi, q_fi表示靶机U_i的期望到达方位角；幂指数0 < ρ_i < 1；参数c_i>0；λ_i>0；η为一个很小的正常数。

选取滑模趋近律为

(33)

式中: k_zi为趋近系数; ε_i为增益系数, 且满足m_1i, m_2i, m_3i, m_4i>0, ε_i>0。

为了考核导弹武器系统对机动目标的拦截能力, 要求靶机在接近虚拟目标点T_i时有一定的过载能力, 因此本文设计系数k_zi为

(34)

式中：m_3i>1, 通过设计m_1i, m_2i使k_zi在R_i较大时的取值较小接近m_1i, 在R_i较小时取值较大接近m_1i+m_2i, 从而使靶机在接近虚拟目标点T_i时视线法向产生一定的机动能力。

对(31)式求导, 并与(33)式联立, 可得

(35)

下面对该制导律的稳定性进行证明。

证明:

选取Lyapunov函数

(36)

求V_i对时间的导数

(37)

由引理1可知系统是有限时间稳定的, 且收敛时间满足

(38)

式中的V_i1(0)为(36)

式中Lyapunov函数的初值。

下面在此基础上证明误差收敛, 在滑模面上s_i=0, 选取Lyapunov函数

(39)

当|e_i|≥η时, 由(32)式可得

(40)

则

(41)

由引理1可知系统是有限时间稳定的, 且收敛时间满足

(42)

式中：, V_i2(0)为(38)式中Lyapunov函数的初值。

由(41)和(42)式可得, 误差e_i在有限时间内进入区间|e_i| < η, 并满足

(43)

可得视线法向制导律的收敛时间满足

(44)

当|e_i| < η时, 可得滑模面为

(45)

可得

(46)

类似地, 可得误差在时间T_i内收敛。

综上, 收敛时间T_i≤T_1i+T_2i。

至此, 完成了对该制导律稳定性和有限时间收敛特性的证明。

3 仿真分析

下面考虑3架靶机协同供靶的场景, 进行仿真验证。3架靶机之间的通信网络如图 2所示, 初始参数如表 1所示。目标位置为(x_t, z_t)=(0, 0), 靶机中制导虚拟目标点分布在以目标为圆心，半径30 km的圆上, 3架靶机期望视线偏角分别为: q_f1=-20°, q_f2=40°, q_f3=-60°。仿真步长0.001 s。

在设计的协同中制导律中, 仿真参数选取为: 视线方向制导律(19)中参数取值为: k₁=7/9, k₂=9/7, α=0.35, β=0.14, 视线法向制导律(34)中参数取值为m₁=0.2, m₂=10, m₃=9/8, m₄=0.2, ε=0.000 01, c=0.1, ρ=0.7, λ=0.01, η=0.000 1。考虑发动机性能约束靶机轴向的加速度上限为10 m/s², 法向加速度上限为50 m/s²。

采用本文设计的协同制导律，3架靶机在中制导起始位置不同的情况下，能够以期望的视线角同时到达各自虚拟目标点，仿真结果如图 3~9所示。

图 3为3架靶机的水平面轨迹曲线，从图中可以看出，3架靶机从不同初始位置到达各自虚拟目标点，靶机的水平轨迹较为平直路径较短，且在轨迹末段有一定机动能力。从图 4中可以看出3架靶机与目标的相对距离随着飞行时间的增大而减小，在635.253 s同时到达距离目标30 km的中制导虚拟目标点。图 5为3架靶机的剩余飞行时间估计值，从图中可以看出，各靶机的剩余飞行时间在进入中制导后12 s之内达到一致。图 6~7给出了各靶机在视线方向和视线法向的加速度曲线。由图 6在初始阶段视线方向，由于各靶机初始位置不同，初始段靶机U₁和U₃加速度短时间内达到限幅10 m/s²，之后快速收敛到0附近，使得各靶机剩余飞行时间估计值快速趋于一致。图 7可以看出在整个飞行过程中各靶机整体加速度较小且曲线较平稳，起始阶段不超过7 m/s²，之后快速收敛至0附近，在接近虚拟目标点时加速度先变大之后快速收敛至0，这可以使靶机到达虚拟目标点时，在满足期望视线角的同时，增加对地面武器系统的考核难度。图 8为3架靶机的视线角，从图中可以看出，随着飞行时间的增加各靶机的视线角收敛至期望值，满足到达虚拟目标时的视线角约束。从图 9中可以看出，在中制导起始阶段距离较远的靶机1和靶机2加速，距离较近的靶机3减速，在接近虚拟目标时进行二次加速，以适应视线法向机动对剩余时间估计值带来的影响。从表 2可以看出，3架靶机可以同时到达虚拟目标，脱靶量均不超过0.5 m，满足靶机协同供靶中制导精度要求，并且均以期望的视线角到达虚拟目标，3架靶机的期望视线角误差不超过0.05°。

4 结论

本文针对靶机协同供靶中制导问题进行了研究，基于多智能体一致性理论设计了固定时间协同制导律，通过引入速度维度，解决了传统算法增加路径长度而产生附加能量消耗，各靶机剩余飞行时间能够在固定时间内达到一致，从而实现协同供靶；在视线法向方向，基于有限时间滑模设计了带角度约束的可变系数制导律，可使各靶机的视线角在有限时间内收敛到期望值且在接近虚拟目标点时有一定的机动能力。仿真结果表明，本文所设计的带角度约束及时间协同的制导律，剩余时间估计值收敛快能够快速形成供靶态势，能够实现同时到达中制导虚拟目标点且脱靶量小、期望角度精度高，整个中制导过程中加速度曲线较平滑，具有较高的可信性和实用性，且具有较高的工程应用价值。