功能梯度形状记忆合金(functionally graded shape memory alloy, FG-SMA)是利用SMA和其他材料按照某种含量比率复合而成的新型材料, 兼具功能梯度材料和形状记忆合金材料的双重特性[1-2]。FG-SMA材料因其所复合的形状记忆合金在加载过程中会产生相变行为, 从而表现出超弹性和形状记忆效应[3]。国内外学者对FG-SMA的制备、实验及其力学特性有了全面的认识, Mahesh等[4]用原位同步辐射X光衍射方法, 研究了功能梯度Ni-Ti形状记忆合金丝的循环拉伸变形过程。Khaleghi等[5]对镀钯的Ti-Ni板进行扩散退火, 从而使富钛Ti-Ni形状记忆合金的成分按梯度分布。Bogdanski等[6]研究了Ni-Ti合金的生物相容性以及从纯镍到纯钛的功能梯度样品, 有效减少了实验资源。Cole等[7-8]采用直流磁控溅射法在富镍NiTi(Ni56Ti44)基体上沉积富钛NiTi(Ni47Ti53)薄膜, 通过控制表征成分的梯度分布，以实现对非弹性变形的恢复产生影响。Viet等[9]基于ZM模型和Timoshenko理论, 推导了FG-SMA梁加载和卸载过程中各阶段的弯矩-曲率和剪力-切应变关系的解析模型。Liu等[10]分析了FG-SMA复合材料在热-机载荷的作用下, 不同相变阶段相对应的应力分布。薛立军等[11-12]根据固体力学和已有的SMA本构关系, 建立了FG-SMA的本构模型, 并分析得到了纯弯曲条件下FG-SMA梁、板的力学特性。康泽天等[13]根据形状记忆合金本构方程建立了FG-SMA复合梁的力学模型, 研究了FG-SMA梁的变形特性。然而, 针对FG-SMA材料的力学性能研究, 大都忽略了SMA材料带来的拉压不对称性对结果的影响。
本文结合形状记忆合金的应力应变关系以及临界应力与温度的关系, 采用分阶段分步骤的方法分析了梁的相变过程。得到了FG-SMA超静定梁在变形过程中的力学特性与载荷、拉压不对称系数、SMA体积分数以及温度的关系, 结果可为FG-SMA材料的设计和优化提供一定的依据。
1 FG-SMA梁的非线性变形 1.1 几何模型设FG-SMA超静定梁长l, 高度h, 宽度b。该梁由弹性材料H与SMA材料复合而成, SMA材料的体积分数沿截面高度方向服从f(y)=(y/h)n的函数分布, 几何模型如图 1所示。其中, n表示体积分数幂指数, y0表示中性轴的初始位置。
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| 图 1 FG-SMA梁几何模型 |
基于简化后形状记忆合金材料的本构模型[14], 可得到FG-SMA在不同加载条件下SMA的应力值, 如图 2所示。
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| 图 2 SMA简化本构模型 |
其中, σts, σtf表示受拉侧相变开始和结束时临界应力, σcs, σcf表示受压侧相变开始和结束时的临界应力, εts, εtf表示受拉侧相变开始和结束时的临界应变, εcs, εcf表示受压侧相变开始和结束时的临界应变, εL为最大残余应变。
根据连续介质力学, 梁在变形过程中始终满足平截面假定, 故梁的轴向应变分布
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(1) |
式中：yi表示中性轴位置；ρ表示曲率半径。
SMA材料的应力可表示
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(2) |
弹性材料H的应力可表示
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(3) |
式中：ESMA表示SMA材料的弹性模量；EH表示弹性材料H的弹性模量。
截面上的平均应力可表示
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(4) |
考虑到FG-SMA超静定梁在弯曲变形过程中的非对称性, 特引入拉压不对称系数[15]
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(5) |
初始阶段时, 受拉侧表层应变εt小于相变开始临界应变εts, 材料全部为奥氏体相, 中性轴位移未发生偏移, 截面上应力
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(6) |
式中, EA表示奥氏体弹性模量。
1.4.2 相变阶段(εt≥εts)随着应变在梁截面上逐渐增大并达到一定值时, FG-SMA梁发生相变且中性轴产生偏移, 当梁横截面弯矩为正时, 截面及其微段的变形如图 3所示。
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| 图 3 Ⅰ~Ⅳ阶截面相变及其微段变形示意图 |
其中A表示奥氏体相, M表示马氏体相, AM表示混合相。当受压侧表层应变εc未达到开始临界应变εcs, 受拉侧表层应变εt超过相变开始临界应变εts, 即|εc|≤εcs, εts≤εt≤εtf, 此时受压侧尚未发生相变, 受拉侧出现混合相, 混合相与奥氏体相形成相边界BTA, 进入Ⅰ阶相变, 如图 3a)所示, 截面上应力
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(7) |
当εcs≤|εc|≤εcf, εts≤εt≤εtf, 受压侧表层开始发生相变并出现混合相, 受压侧混合相与奥氏体相形成相边界BCA, 进入Ⅱ阶相变, 如图 3b)所示, 截面上应力为
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(8) |
当εcs≤|εc|≤εcf, εtf≤εt, 受拉侧表层应变εt超过受拉侧相变结束临界应变εtf, 受拉侧表层出现马氏体相, 而受压侧表层仍处于混合相, 受拉侧混合相与马氏体相形成相边界BTM, 如图 3c)所示, 进入Ⅲ阶相变, 截面上应力为
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(9) |
当εcf≤|εc|, εtf≤εt, 受压侧表层应变εc超过受压侧相变结束临界应变εcf, 受压侧表层出现马氏体相, 受压侧混合相和马氏体相形成相边界BCM, 进入Ⅳ阶相变, 如图 3d)所示, 截面上应力为
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(10) |
式中: yi(i=Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ, Ⅳ)表示不同阶段截面上中性轴位置; Δh=yi-y0表示中性轴位移, 相边界A1A, B1B, C1C, D1D的坐标分别为yA1A=yi-εtsρ, yB1B=yi+εcsρ, yC1C=yi-εtfρ, yD1D=yi+εcfρ。EM为马氏体相弹性模量，
当梁横截面弯矩为负时, 截面及其微段的变形相变过程与弯矩为正时的情况类似, 不再赘述。
1.5 临界应变模型由形状记忆合金临界应力与温度的关系[16], 马氏体相变起始应力和结束应力与温度的表达为
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(11) |
式中：下标i取s与f时分别表示相变起始和结束时的临界应力；Ms表示马氏体相变起始温度；CM为常数。
将马氏体相变起始应力值σms和相变结束应力值σmf分别作为相变起始应力σts, σcs和相变结束应力σtf, σcf代入(7)~(10)式中, 即可得到温度、荷载、幂指数、拉压不对称系数与曲率、中性轴位移、相边界之间的关系。
1.6 平衡方程初始阶段, 梁的平衡方程为
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(12) |
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(13) |
Ⅰ阶相变阶段, 梁的平衡方程为
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(14) |
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(15) |
Ⅱ阶相变阶段, 梁的平衡方程为
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(16) |
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(17) |
Ⅲ阶相变阶段, 梁的平衡方程为
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(18) |
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(19) |
Ⅳ阶相变阶段, 梁的平衡方程为
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(20) |
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(21) |
式中
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设FG-SMA超静定梁长、宽、高为l=200 mm, h=20 mm, b=15 mm, 受均布载荷q以及集中载荷F作用, 模型如图 1所示。选用Ni55Ti材料, 相关参数为[16]
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图 4a)~4d)分别表示载荷、拉压不对称系数、幂指数以及温度对截面中性轴位移的影响。计算结果显示: 不论弯矩为正还是为负, 中性轴都率先向截面受压侧移动, 且中性轴位移随载荷的增大而增大; 中性轴位移随着拉压不对称系数的增大而减小, 但影响较小; 幂指数越大, 中性轴位移越小; 随着温度的升高, 中性轴位移减小, 且温度越高, 影响越小。
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| 图 4 中性轴位移与截面位置的关系 |
图 5a)~5d)分别表示载荷、拉压不对称系数、幂指数以及温度对曲率的影响。计算结果显示: 进入相变阶段以后, 在最大正负弯矩处, 即x=100 mm和x=200 mm处, 曲率分别达到最大值。曲率随着载荷的增大而增大; 曲率随着拉压不对称系数的增大而减小, 但影响较小; 曲率随着幂指数的增大而减小; 曲率随着温度的升高而减小。
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| 图 5 曲率与截面位置的关系 |
图 6a)~6d)分别表示载荷、拉压不对称系数、幂指数以及温度对相边界的影响。计算结果显示: 相边界随着载荷增大越远离截面边缘; 拉压不对称系数对受拉侧相边界影响不大, 但可以看出对受压侧相边界影响较大, 且随着拉压不对称系数的增大而越靠近截面边缘; 相边界随着幂指数的增大越靠近截面边缘, 且幂指数越小, 越易发生相变; 相边界随着温度的升高越靠近截面边缘, 且温度越高, 影响越小, 越不易发生相变。
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| 图 6 相边界与截面位置的关系 |
1) 在相变阶段, 中性轴位移随着载荷的增大而增大; 在分别改变幂指数和温度时, 中性轴位移随着幂指数的增大和温度的升高而减小, 但影响较小。
2) 初始阶段, 载荷、幂指数和温度对曲率影响较小, 在相变阶段, 曲率在x=100 mm和x=200 mm处分别达到最大值, 且曲率的变化量随载荷的增大而增大, 而随着幂指数的增大和温度的升高而减小。
3) 相边界随着载荷的增大越远离截面边缘, 随着幂指数的增大与温度的升高越靠近截面边缘, 越不易发生相变。
4) 对功能梯度形状记忆合金梁而言, 由于SMA的体积分数沿着截面高度呈幂指数变化, 一定程度上降低了拉压不对称性对材料力学性能的影响。
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