横向磁场电机(transverse flux motor, TFM)最早是由德国的Weh教授和他的合作者提出^[1], TFM运动方向与磁场方向不在同一个平面内, 实现了结构上的电磁解耦^[2], 进一步提高了最大转矩密度。国内外的学者关于TFM提出了很多新型拓扑结构^[3-6], 但对于TFM具体参数的优化研究较少, 大多凭借经验公式和有限元分析对其进行优化设计, 难以得到全局最优解。也有部分学者将智能优化算法^[7]应用到TFM优化设计中, 如中国科学院大学邱书桓等利用遗传算法对一款圆筒形错相式TFM进行优化^[8], 增大了齿磁密, 减少了漏磁。兰州理工大学包广清等利用改进的粒子群算法对一款TFM进行优化^[9], 提高了工作效率, 缩减了制造成本。

本文将和声搜索(harmony search, HS)算法^[10]与差分进化(differential evolution, DE)算法^[11]相结合, 并引入精英保留策略^[12], 得到一种改进的和声差分进化混合(improved harmony search and differential evolution, IHSDE) 算法。基于该算法，以最大转矩密度和生产成本为优化目标对一种新型盘式双向交链横向磁通永磁电机^[13](disk-type bipolar crosslinking transverse flux permanent-magnet motor, DBC-TFPM)进行优化设计, 通过Matlab仿真得到了优化变量的全局最优解, 验证了算法的有效性。

1 IHSDE算法原理

IHSDE算法同时具有HS算法与DE算法的优点, 以HS算法为主体, 在新和声的生成方式上加入了DE算法的思想, 在更新和声记忆库时引入精英保留策略有效改善了算法的性能。

1.1 初始记忆库

在进行优化前, 采用HS算法生产初始记忆库的方式来随机化初始记忆库H_M={x₁, x₂, …, x_N}, 通过如下方式生成

(1)

式中: x_{i, j}为第i个和声的第j维分量; u_j和l_j为x_{i, j}取值的上下界; N为和声的总数; d为和声的维度; r为0~1之间的随机数。

1.2 生成新和声

标准HS算法主要通过记忆选择、局部调谐和随机生成3种方式来寻找合适的新解, 在这个过程中融合DE算法, 即基于2个个体的差分项产生新个体, 可以减少随机生成的新个体数量, 从而提高运算的收敛速度, 该步骤为

(2)

式中: x_{new, j}为新的和声分量; r_a为1~N的随机数; r′为0~1的随机数; H_MCR为记忆选择概率; r₂, r₃∈{1, 2, 3, …, N}为互不相等的整数且都不等于i; F为DE算法的比例因子, 取值是0~1之间的数; c_r为个体中变量交叉概率。

对于r′ < H_MCR时的新的和声分量x_{new, j}, 根据HS算法以音调微调概率P_AR进行调整, 方式为

(3)

式中: r″和r'''分别为0~1的随机数; b_w为音调微调带宽。

1.3 精英保留策略

图 1为IHSDE算法流程图。对每一代和声依据其适应度值进行升序排列, 选择第一组和声与上一代的第一组和声进行比较, 若该和声适应度更好, 则将其加入精英和声数据库, 其余和声依据算法规则进行调整, 之后将该精英和声加入调整后的记忆库并重新进行升序排列。精英保留策略保证了在迭代过程中产生的最优和声不会被破坏, 提高了IHSDE算法在搜索过程中的收敛性。

2 算法性能测试

为了验证该混合算法有效性, 基于Matlab编写HS算法、HSDE算法以及IHSDE算法, 利用含有30个变量的标准测试函数Schwefel 2.26^[14]进行测试, 3种优化算法的函数测试情况如图 2所示。

Schwefel 2.26函数表达式

(4)

其最优状态和最优值为

(5)

当计算出的最优解大于-12 000时, 认为本次求解属于早熟。每种算法均重复计算该函数50次, 其搜索能力如表 1所示。从表 1中可知, HSDE算法的收敛速度虽然比HS算法有了很大提高, 但也造成了早熟概率的提高。在加入精英保留策略后, IHSDE算法收敛速度有所提升, 同时早熟概率大大降低, 接近0, 结果更为可靠。测试结果说明了IHSDE算法可有效求解并优化多维复杂函数的极值问题, 也可以用于电机优化设计中多维函数求解问题。

3 DBC-TFPM尺寸和性能分析

本文在如图 3所示的DBC-TFPM的基础上进行优化设计。计算最大转矩密度之前, 给出了铁心和永磁体的主要尺寸的几何定义, 如图 4所示。

(6) 式给出了最大转矩密度公式, 具体推导过程可参考文献[13]。

(6)

式中：m为电机的相数; I_a为单相绕组电流有效值; φ_δ为每极气隙磁通量; n为单相绕组内的铁心数; N为单相绕组的有效匝数; V为电机体积, D为电机直径; L为电机轴向长度。

每极气隙磁通量φ_δ估算为

(7)

式中：A_s是定子铁心齿部面积，A_s=l_sb_s; B_δ为气隙剩磁密度。

气隙剩磁密度B_δ可表示为

(8)

电机单相绕组电流I和匝数N与电流密度J关系可以表示为

(9)

式中：s_f为槽满率, 其值与绕线的工艺和所选线径及材质相关; s_d为导线横截面积。

为方便计算, 令

(10)

由图 4可知

(11)

式中：ε为线圈与定子铁心内圈的间隙, ε=1 mm; z为定子铁心压线盘到定子铁心齿部的距离。考虑到螺钉的安装和磁导的大小, 取z=5 mm。

电机轴向长度D和定子盘直径L满足

(12)

式中, p_z为电机转子极对数。

将(7)~ (12)式带入(6)式中, 得

(13)

4 DBC-TFPM参数优化 4.1 选择优化目标函数

电机的优化设计本质上是多目标优化问题, 此类问题一般可以描述为

(14)

式中：X=[x₁, x₂, …, x_n]为电机的优化变量, 如结构参数等; f(X)为优化的目标函数; g_i(X)为优化约束条件。

DBC-TFPM应用于新能源汽车时, 作为动力核心部件需要提供足够的输出转矩, 由于车内空间紧凑, 还需尽可能减小电机体积。此外, 横向磁场电机特殊的结构设计导致其生产成本较高, 在保证性能的前提下, 应尽可能地降低成本。因此, 本文选择最大转矩密度和生产成本为优化子目标。为了消除数量级不同带来的优化误差, 设计优化目标函数为

(15)

式中：S_Tm和S_Tm0分别为优化后电机和原型机的最大转矩密度; C和C₀分别为优化后电机和原型机的有效物料成本; q₁和q₂为子目标函数的权重系数; 10是为了使函数计算结果为正而引入的常数。

电机的有效物料成本C为

(16)

式中：C_Cu, C_Fe, C_PM, C_Al分别为铜、硅钢片、钕铁硼永磁体、铝的价格; G_Cu, G_Fe, G_PM, G_Al分别为铜、硅钢片、钕铁硼永磁体、铝的质量。

本文中, 假设铜的价格为60元/kg, 硅钢片的价格为10元/kg, 钕铁硼永磁体的价格为120元/kg, 铝的价格为30元/kg。

4.2 选择优化设计变量

结合公式(13), 选取对DBC-TFPM性能影响较大的气隙长度δ、绕组匝数N、铁心齿部径向宽度l_s和铁心齿部切向宽度b_s为优化设计变量X, 如下所示

(17)

4.3 设定约束条件

电机的约束条件是为了让电机优化后满足一些实际生产中的工艺要求、客户需求和技术规范等。约束条件均为不等式约束, 按照约束的性质, 可以分为性能约束和几何约束。选择约束条件时需要考虑以下几个方面: ①符合电机生产制造的工艺标准, 比如绕组的槽满率应当符合嵌线工艺的要求; ②电机的性能指标符合产品的技术规范及客户的需求; ③电机的各零部件几何尺寸符合电机的设计规范。

综上, 约束条件表达式为

(18)

式中：T₀为原型机的输出转矩; V₀为原型机体积; s_f0为原型机绕组线圈槽满率; C₀为原型机成本。

由于各约束条件数量级相差巨大, 不能直接用于电机的优化设计, 对其进行规范化处理, 表示为如下的相对值形式

(19)

4.4 构造增广目标函数

由于IHSDE算法是一种无约束优化算法, 只能用来计算无约束问题, 需要把目标函数转化为无约束极值问题, 为此引入罚函数构造增广目标函数。本文选用的罚函数^[14]为

(20)

式中：U为一个常数, 表示当函数违反约束时施加的最小约束值; ω_i为惩罚系数, 对于不同的约束, 根据其影响大小使用不同的惩罚系数。

最终构造出来的增广目标函数F(X)为

(21)

4.5 主要参数和变量搜索范围确定

电机散热要求较高, 选择水冷散热, 电流密度选择10 A/mm²。槽满率大小的选择与绕线的工艺和所选线径及材质相关, 本文初选0.65。DBC-TFPM单相定子铁心数n为6, 转子极对数p_z为11。

在编写优化程序时, 选定各优化变量的变化范围以及搜索步长如表 2所示。

4.6 优化分析

为体现不同权重系数对优化效果的影响, 选取2组权重系数做对比: ①q₁=0.4, q₂=0.6, 侧重于减小生产成本; ②q₁=0.6, q₂=0.4, 侧重于增大最大转矩密度。用Matlab编写优化程序, 仿真计算得到优化目标函数相关变化曲线如图 5所示, 优化设计变量相关变化曲线如图 6所示。由图 5可知, 在迭代运算过程中, 虽然子目标函数中的成本、转矩和最大转矩密度曲线有所波折, 但总体目标的适应度函数值一直在稳步增长, 说明整个记忆库中的和声群体趋向于最优化。在算法计算后期, 总适应度函数值基本保持不变, 此时已经满足收敛条件。由图 6可知在迭代过程中不断有新的随机变量生成, 在达到一定迭代次数后整体慢慢收敛。

经过优化算法程序计算, 得到优化后的相关电机参数, 将其与原型机的参数进行对比, 如表 3所示。

分析上表数据可知, 第一组权重系数下电机的最大转矩提高26.3%, 最大转矩密度提高24.1%, 生产成本降低了3.3%;第二组权重系数下电机的最大转矩提高34.6%, 最大转矩密度提高32.5%, 生产成本降低了1.8%, 均取得了预期的优化效果。

5 结论

本文提出了IHSDE算法, 利用标准测试函数Schwefel 2.26对HS算法、HSDE算法和IHSDE算法进行性能测试, 得出IHSDE算法收敛速度更快、早熟概率更低并且全局搜索能力更好, 满足电机优化设计的要求。在Matlab平台编写IHSDE算法程序对DBC-TFPM进行参数优化, 仿真结果验证了该算法的正确性。该算法不仅适用于横向磁场电机的优化设计, 也为解决其他多目标优化问题提供了参考, 具有广阔的应用前景。