随着舰炮设计向高速化、大型化、轻量化、复杂化的趋势发展, 对舰炮进行振动特性分析越来越重要, 舰炮设计不仅要考虑静态特性, 还要考虑整体动态特性, 舰炮射击稳定性和射击精度与其振动特性紧密相关。

托架是舰炮的主要支撑结构, 它与旋回基座一起组成旋回架, 共同支撑炮身与摇架, 并带动炮身和摇架旋回转动, 进行方向瞄准。射击时, 托架承受着极为复杂的载荷, 其动态特性直接影响舰炮的整体性能。

于存贵等^[1]对托架进行了多目标拓扑优化, 得到了同时满足舰炮射角为0°, 49°和方向角为0°时刚度最大以及动态低阶振动频率最大要求的舰炮托架的拓扑结构。岳炯^[2]采用模态匹配技术^[3]获取了舰炮身管、摇架、托架各自最佳固有频率, 并对托架做了拓扑优化, 使其满足匹配后的托架最佳固有频率。黄观明等^[4]基于Ansys对某型舰炮托架做了拓扑优化设计, 实现了托架结构轻量化设计的目的。为了减小舰炮的振动, 富威等^[5-7]做了很多工作, 将动力吸振器引入舰炮减振中。崔运山^[8]将托架看作为梁单元组成的空间框架结构, 基于振动理论对其进行了振动特性分析。魏浩^[9]对托架做了有限元动力学分析。

为了验证前面学者所提出方法的有效性和对舰炮武器研制的适用性, 需要进行相应实验进行验证, 由于舰炮所受激励大, 实验设备承载能力和实验环境等因素的限制, 很难进行1∶1的实验, 因此, 可以按照一定的相似关系制作舰炮相似比例模型来进行实验, 从而帮助指导舰炮武器设计。

相似性比例模型实验已在船模、火箭发动机、隧道火灾实验等领域应用^[10-13]。美国威斯康辛大学和卡特皮勒公司^[14-15]等通过适当控制单值条件, 实验验证了柴油机工作过程可较高程度相似。王路飞^[16]将相似理论应用到风机性能上, 并建立了计算模型。葛萌^[17]利用相似理论对卫星的天线结构做了缩比模型研究, 能够较为精准的预估天线原模型的振动特性。李万莉^[18]对浮吊臂做了相似关系推导与仿真验证。大连理工大学的王文君^[19]对起重臂进行了基于相似理论的动力学建模研究。

本文通过研究文献[10-19]总结了他们利用的研究方法并应用到本文基于相似理论的舰炮托架振动特性相似性研究上来。本文的思路是利用量纲分析法、方程分析法以及有限单元法建立舰炮托架模态参数相似关系表达式, 并通过有限元和实验对比验证相似关系的正确性, 从而将本文方法用于舰炮武器研制。

1 托架模态参数相似关系

对舰炮托架模型进行原理简化, 确立了其是由5块板单元组成的框架结构, 如图 1所示。因此可以通过推导板单元的模态参数相似关系进而求解出托架结构的模态参数相似关系。

将板的中平面离散成四边形单元, 本文假设板只受到弯曲力矩的作用和板只有垂直于中面的挠度w和板绕x轴的转角α_x以及绕y轴的转角α_y。在弹性力学里, 转角(斜率)等于

(1)

为了使得四边形单元在每个节点上的挠度和转角连续, 必须将挠度和转角设定为各节点位移。因此四边形单元的每个节点自由度有3个: 包括挠度和2个转角。四边形单元有4个节点, 则一共有12个位移, 一共12个自由度。图 2为四边形单元节点位移示意图。

节点i的位移向量可以表示为

(2)

所以该单元的节点位移可以表示为

(3)

这里规定: 挠度以坐标轴的正方向为正方向。由于四边形单元含有12个自由度, 因此本文确定了含有12个参数的多项式作为该单元的位移模式

(4)

(4) 式中, N_i, N_ix, …, N_ly是形函数, 它们可以写成通式。其中

(5)

ξ_i, η_i是各节点在局部坐标中的坐标值。根据(5)式可知, 四边形单元的节点位移的形函数矩阵为

(6)

由板壳振动理论和弹性力学可知板内任意一点的应变可以表示为

(7)

将(4)式代入(7)式得。

(8)

(9)

B为板单元的应变矩阵。由板壳振动理论和弹性力学可知板内微元体内绕x轴的弯矩M_x, 绕y轴的转矩M_y以及扭矩M_xy有如下关系

(10)

(11)

D为板弯曲问题的弹性矩阵。根据单元刚度矩阵公式得出四边形单元的单元刚度矩阵为

(12)

对(12)式中的参数进行说明：

E为板的杨氏模量, t为板的厚度, a为板的长度, b为板的宽度, G为常数矩阵。

根据单元质量矩阵公式得出四边形单元的单元质量矩阵为

(13)

对(13)式中的参数进行说明: ρ为板的密度, C为常数矩阵。在很多工程实际问题中, 板结构的阻尼对自身的固有频率和模态振型影响很小, 因此在求解板结构的固有频率和模态振型时, 可以忽略阻尼的影响。通过之前求得的四边形单元的单元刚度矩阵和单元质量矩阵组成板结构总体的质量矩阵和其总体的刚度矩阵, 因此, 可以得到板做自由振动时忽略阻尼的动力学方程。

(14)

式中

(15)

设方程(14)有以下解

(16)

由此可以得出

(17)

本文推导板单元的缩比关系主要是基于板的质量和板的刚度进行缩比的, 原模型与缩比模型采用完全一样的网格划分方法, 缩比模型单元刚度矩阵K_p^g和单元质量矩阵M_p^g可以表示为

(18)

式中，γ_k和γ_m分别表示刚度矩阵和质量矩阵的缩比系数。因为原模型和缩比模型均采用的四边形单元, 均采用完全一样的网格划分方法, 因此原模型和缩比模型的总体刚度矩阵和总体质量矩阵之间也满足和单元刚度矩阵和单元质量矩阵一样的缩比关系。所以可得。

(19)

由公式(17)~(19)可得缩比模型系统的本征特征值问题可以表示为

(20)

根据(12)式和(13)式得

(21)

(22)

(23)

对(21)~(23)式中的参数进行说明: 下角标p代表缩比模型, γ_E表示的是原模型弹性模量和预估模型之间关系的缩比系数, γ_t表示的是原模型厚度和预估模型厚度方向之间关系的缩比系数, γ_ρ表示的是原模型密度和预估模型密度之间关系的缩比系数, γ_a表示的是原模型几何尺寸和预估模型几何尺寸长度之间关系的缩比系数, γ_b表示的是原模型几何尺寸和预估模型几何尺寸宽度之间关系的缩比系数。模态参数相似系数为

(24)

2 数值算例

本文仅对托架作几何尺寸进行缩比, 且缩尺比为1∶2。尺寸如表 1所示。

对托架的原模型和缩比模型做了在自由边界条件下的基于ANSYS的有限元法计算分析验证理论计算的相似关系的正确性。托架原模型与缩比模型的第7阶到第12阶固有频率对比如表 2所示, 托架原模型和缩比模型的第10到第12阶振型如图 3所示。

利用托架缩比模型估计得到的托架原模型固有频率与原模型的实际固有频率误差在2%以内, 托架原模型和缩比模型的振动趋势几乎一致, 说明本文基于相似理论求得的托架缩比相似系数是比较精准的。

缩比模型是基于相似理论这个前提建立的。本文托架工况是固支边界条件, 并利用相似理论建立了托架原模型与托架缩比模型在固支边界条件下的振动特性之间的相似关系, 并进行了数值仿真与实验验证, 从图 3中托架原模型与其缩比模型的振型可以看出, 原模型与缩比模型振型变化趋势满足其相似系数, 故本文工况下的托架变形满足这个前提。

3 实验

之前已经通过理论计算了托架模态参数的相似关系, 并通过有限元仿真对其进行了验证。然而实际在做振动实验时, 实验结果经常受到很多干扰因素的影响, 这些干扰因素对振动实验结果会造成多大的影响需要通过实验进行进一步验证。本文将托架简化为5块板单元的组合体, 由于托架结构为5块板单元按照一定顺序依次连接在一起, 其结构较为特殊, 因此本文将其看作为一个整体, 即一块有折弯的板, 并对其进行了有限元仿真, 从表 2和图 3可以得出, 利用相似理论建立的托架振动特性相似关系是正确的, 因此实验对象可以用一块平板代替托架。

因此本文只需要对2块存在一定关系的板进行模态实验验证, 即可证明本文推导求得的托架模态参数相似关系的正确性。本次实验用到的设备有: 激励系统主要为力锤, 用作模态实验的激励源。采用振动加速度传感器进行振动数据采集, 利用力传感器进行力信号传感器。采用动态测试分析系统采集响应点振动加速度信号和力信号, 然后通过DHDAS测试分析软件进行数据分析整理, 提取出被测件的模态参数信息。表 3为本次实验的实验设备总表。图 4为与之对应的实验设备图。

本文通过实验的方式确定了板的缩比模型使用2根橡皮绳用作支撑系统, 板的原模型使用3根橡皮绳用作支撑系统, 并且结合有限元计算软件计算了橡皮绳的悬挂位置, 避免了橡皮绳的大幅度振动, 如图 5所示。

本文在做2块板的模态参数相似关系实验验证时, 原模型和缩比模型网格划分方式和个数一样。原模型和缩比模型的测点都是15个, 用这15个测点的数据来表征振型等模态参数。而且原模型和缩比模型的测点位置在直角坐标系下都是一样的, 网格大小一样, 如图 6所示。

本文选用力锤作为激励对2块板分别进行了模态实验。将传感器用磁力座固定在两块板上, 并用502胶水再次固定, 如图 7所示。

将传感器与采集仪连接, 采集这15个测点的振动数据, 如图 8所示。

将实验分析得到的板的原模型与缩比模型的固有频率分别与通过有限元方法得到的固有频率相比较, 结果见表 4~5。实验分析得到的缩比模型模态参数根据模态参数相似关系估计的原模型模态参数见表 6。本文之所以列出板原模型与缩比模型第7阶到第12阶的固有频率, 是由于自由边界下, 板前6阶频率接近于零, 前6阶为刚体模态, 故在此处不列举前6阶频率。第7阶、第9阶以及第10阶的振型见图 9。

通过对表 5和表 6中的数据分析了解到利用有限元方法计算求得板原模型和缩比模型的固有频率与实验分析的结果误差在7%以内, 表明本文选用橡皮绳悬挂板用以模拟自由边界条件的正确性。然而对板原模型进行模态分析时, 板原模型的第8阶固有频率未激励出来, 分析原因是板原模型的第7阶和第8阶固有频率太过于接近, 这就导致模态分析时实验设备误将第7阶和第8阶固有频率当作同一阶固有频率进行考虑了, 并没有将第8阶固有频率单独分析。

通过对表 6中的数据进行分析了解到通过板缩比模型的固有频率基于模态参数相似关系求得的板原模型的固有频率与实际振动实验分析得到的板的实际固有频率误差在10%以内, 通过图 9可以了解到实验分析得到的原模型和缩比模型的振型变化趋势较为一致, 表明本文基于相似理论推导的托架模态参数相似关系是正确的, 具有较好的工程实用性。

4 结论

本文开展了基于相似理论的舰炮托架振动特性相似性研究, 主要结论有以下几点:

1) 将托架简化为5块板单元组成。基于有限单元法将板离散成有限个四边形单元组成, 推导求得了四边形单元的单元质量矩阵和单元刚度矩阵, 累加得到托架整体质量矩阵和整体刚度矩阵, 将质量矩阵和刚度矩阵进行缩比, 利用量纲分析法、方程分析法并结合模态参数的导出公式, 推导出来了托架模态参数的相似关系;

2) 对2块存在一定比例关系的板进行了模态实验和数值仿真实验, 获取了2块板的固有频率, 且用本文计算得到的相似关系预估另外一块板的固有频率与实验得到的固有频率误差在10%以内, 数值仿真实验误差在2%以内, 由此可以证明本文理论方法是可行的, 具有工程实用性, 本文这个方法优点在于可以给舰炮武器设计人员提供一个参考, 可以考虑先加工制造出舰炮的相似比例模型进行实验, 在实验中发现问题, 再继续对其进行优化改进。这样可以节省材料, 降低成本。

需要进一步解决的问题:

本文求解舰炮托架振动特性的相似关系的针对的是由多块板单元组成的框架结构进行的托架模态参数相似关系求解, 当求解的对象包含板、壳以及梁单元时, 比如舰炮摇架, 此时的相似关系求解需要进一步研究。