管道作为气液输运与储存的重要载体，在航空航天、能源、生物等领域得到了广泛应用。在设计、制造、组装、服役等全寿命周期内，管道结构参数的不确定性大量存在，进而导致管道固有频率的不确定性。此外，输流管道蕴含丰富的流固耦合作用，会进一步加剧管道固有频率的不确定性。而当固有频率与激振力频率接近到一定程度会引发共振失效问题。因此，对输流管道开展防共振可靠性和重要性测度分析是很必要的。

国内外关于工程结构面临的防共振失效问题开展了大量的研究。Zhai等^[1]采用精细响应面法对输流管道开展了共振和动力可靠性分析，并根据结果对输流管道结构参数进行了优化。Guo等^[2]对多跨功能梯度输流管道进行了共振可靠性和全局灵敏度分析，并引入了主动学习Kriging模型提高计算效率。张屹尚等^[3]采用Kriging模型分析了充液管道非概率共振可靠性问题。韩涛等^[4]采用直曲组集方法针对复杂液压管路实现了高效建模与模态分析，分析了管道布局对固有频率的影响。Ritto等^[5]建立了一种考虑建模误差的流固耦合概率模型，并将其应用于输流管道振动分析，通过随机特征值分析得到了相关颤振现象。

为研究随机变量对系统共振失效概率的影响程度，开展变量重要性测度分析是必要的。由于输流管道涉及到多阶共振失效，即需要考虑多输出响应，需对多输出响应整体进行变量重要性测度分析。徐立扬等^[6]提出了基于谱分解加权摩尔彭罗斯马氏距离的多输出响应重要性测度方法。石岩等^[7]采用包络函数法将时空动态可靠性问题转化为静态问题，实现了可靠性及重要性测度的高效分析。任超和李洪双^[8]采用交叉熵方法提出了一种基于失效概率的全局重要性测度分析方法。Wei等^[9]提出了一对模式重要性测度指标，可有效分析各失效模式对系统失效概率和可靠度的影响程度。

本文将动刚度法与ALK方法相结合，采用前者进行温度场下多跨输流管道固有频率的计算，再采用ALK方法计算不确定性参数影响下的多阶共振失效概率，并分别计算不同流速、压强和温度效应下共振失效概率的大小，分析不同工况对管道共振失效概率的影响规律，为输流管道的防共振设计提供参考。

1 输流管道模态求解

嵌入温度变化矩阵的多跨输流管道模型如图 1所示。管道长度为L₁+L₂, U表示流速, R_i和R_o分别代表管道内径和外径。根据Euler-Bernoulli梁理论, 内嵌温度变化矩阵的多跨管道的振动控制方程为^[10]

(1)

式中：w是管道的横向位移；m_p是单位长度管道质量；N_x是管道轴向力; t是时间。

(2)

式中：Q, M和K_W分别是剪切力, 弯矩和温度变化刚度；(EI)是弯曲刚度；K_W0是初始温度变化刚度；a是温度变化系数；ΔT表示温度变化值。

F_w由离心力, 科氏力和惯性力组成, 即

(3)

式中, M_f是管道中单位长度流体的质量。

(4)

(5)

(6)

式中：N_m是由内部流体压强造成的附加轴向力；N_T是由温度变化导致的轴向力；p和A_f分别是流体压强和流体截面积。

将方程(2)~(6)代入方程(1), 振动控制方程可重写为

(7)

式中, (EI)^*和m_p^*分别表示有效抗弯刚度和有效单位长度管道质量。

采用动刚度法^[11]求解管道固有频率。假设运动微分方程的通解为

(8)

式中：W(x)表示横向位移在频域内的设解；ω表示固有圆频率；i为虚数单位。

将通解代入方程(7), 得到频域内的振动方程

(9)

进一步地将位移在频域内的解设为

(10)

式中：c表示待定常数；k表示波数。

将方程(10)代入散射方程(9)得到

(11)

式中, α表示结构内阻损耗因子。

根据以上方程, 可知波数k有4个解, 则位移在频域内的解可以设为

(12)

管道的转角、弯矩和剪力在频域内的解为

(13)

(14)

(15)

多跨管道的第m跨单元节点位移如图 2所示。

节点位移和节点自由度的关系为^[12]

(16)

(17)

式中：l_m表示第m跨管道单元的长度；下标l和r分别表示单元的左端和右端。

为了得到第m跨单元的动刚度矩阵, 单元的节点位移在局部坐标系里为

(18)

式中, λ_j=ik_j(j=1, 2, 3, 4)。

将(18)式写成矩阵向量形式为

(19)

式中, W_m, Y_m和w_m分别表示位移向量、系数矩阵和系数向量。

那么, 第m跨单元的节点力向量为

(20)

式中, γ_j=ik_j³ (EI)^*, β_j=-k_j²(EI)^*, j=1, 2, 3, 4。

相应地, (20)式的矩阵向量形式为

(21)

式中：Π_m(ω)表示系数矩阵；F_m表示节点力矩阵。

则第m跨单元的节点力向量和节点位移向量间的关系为

(22)

式中：K_m表示第m跨单元的动刚度矩阵, K_m(ω)=Π_m(ω)Y_m(ω)^-1。

根据以上方法可以建立其他各跨的动刚度矩阵, 进而参考有限元法进行单元动刚度矩阵组装, 构建多跨输流管道在全局坐标系下的节点位移和节点力之间的关系为

(23)

式中，K_g, W_g和F_g分别表示全局坐标系下的动刚度矩阵、位移向量和节点力向量。

方程(23)取得非零解的充要条件为系数矩阵行列式为零, 即

(24)

通过(24)式可以求出多跨输流管道的固有频率。

2 共振可靠性与重要性分析

假设结构固有频率为R, 激振力频率为S, 一般认为当固有频率和激振力频率接近到一定程度时, 结构会因共振而造成破坏。首先考虑一阶共振失效的情况, 用Z₁来表示固有频率和激振力频率的接近程度, 则Z₁的表达式为

(25)

式中：R₁表示一阶固有频率；X表示随机输入变量；X={x₁, x₂, …, x_n}(n为变量维数)。

假设发生共振失效的阈值为q, 那么一阶共振可靠性的功能函数g₁(X)为

(26)

进一步考虑激振力频率的宽频特性, 可能导致多阶固有频率发生共振, 将g₁进行推广。假设第jj阶共振可靠性的功能函数g_jj(X)为

(27)

式中, , R_jj为第jj阶固有频率。

易知, 任意一阶固有频率发生共振失效均代表结构整体失效, 即g_jj之间是逻辑“或”的关系, 因此建立多阶共振失效下的系统功能函数g(X)为

(28)

共振失效概率P_f为

(29)

基于可靠性的变量重要性分析(variable importance analysis, VIA)方法旨在量化随机输入变量的不确定性对失效概率的贡献, 对于单一失效模式的结构构件, 该方法得到了广泛研究。本文将这些指标推广到具有多种失效模式的结构体系。基于文献[13], 可以将Sobol指数衍生出的2个VIA指标, 即单个输入变量x_v的主效应指标和总效应指标分别定义为

(30)

(31)

式中：x_~v指包含所有除了x_v的输入变量的向量；var(·)和E(·)是方差和期望的数学运算符号。和Sobol的指标相似, 以可靠性为基础的VIA指标满足0≤S_v≤S_Tv≤1。

3 求解策略 3.1 主动学习Kriging模型

Kriging模型由两部分组成, 前半部分为全局近似, 后半部分为局部偏差^[14], 具体形式如下所示

(32)

式中：G(x)表示待拟合的目标响应函数；f(x)表示变量x的多项式；β表示f(x)的系数；z(x)表示待拟合函数的随机分布部分。

相应的预测值关于预测点x的期望与方差为

(33)

(34)

式中：1是n维单位列向量；g是n维列向量, 含有每个设计点的目标响应值；r^T(x)是n维列向量；R表示观测点x与样本点{x⁽¹⁾, x⁽²⁾, …, x⁽ⁿ⁾}间的相关性。

相关参数θ的值通过最大似然估计求解得到, 那么当相关函数是高斯相关函数时, 则可转化为下面的优化问题

(35)

ALK模型建立都在Matlab中的DACE工具箱中完成, 相关参数θ_k的优化可以通过全局优化策略的DIRECT优化算法^[15]得到。

目前较为常用的学习方程为

(36)

该U型函数由Echard等人^[16]于2011年在AK-MCS方法中提出。

3.2 ALK方法的基本步骤

1) 在不确定性域中随机抽取X_Γ=(x_{1, Γ}, x_{2, Γ}, …, x_{n, Γ})(Γ=1, 2, …, N)个初始样本点, 计算功能函数值, 构建初始Kriging模型, 此处N=20。

2) 随机产生大量候选样本点, 为U型学习方程选点做准备, 为使候选样本点充满不确定性域, 取候选点数量为10⁵。

3) 在候选点中计算Kriging模型的预测值μ_G(X)和U值, 将U值最小的点记为X^*。

4) 若U函数最小值满足收敛条件的阈值, 则转入第6)步, 本文U函数阈值大小为2。

5) 若4)中的收敛条件无法满足, 将X^*加入DoE中, 计算X^*处的功能函数值并更新Kriging模型, 返回到第3)步。

6) 基于已建立的Kriging模型, 代入Monte-Carlo法中求解防共振失效概率。

4 算例分析

管长L₁+L₂=15 m, 外径R_o, 壁厚d, 管道密度ρ_p, 弹性模量E, 流体密度ρ_f, 泊松比v=0.3, K₀=1×10⁶ N/m, a=5 000 N/(m×K)。外界激振力频率为S₁, S₂和S₃。随机变量及其分布信息如表 1所示。本文中的共振失效阈值为q=0.05。

4.1 液体流速的影响

当压强和温度均为0时, 随着流速增大, 前六阶固有频率如表 2所示。可以明显看出, 随着流速的增大, 各阶固有频率均逐渐降低, 且第一阶固有频率降低最快, 该结果与参考文献[2]中的结论及理论解释吻合。该现象是由于流速的增长导致了管道刚度降低, 进而导致固有频率降低。

本文考虑外激励频率为130, 330和530 Hz, 考虑外激励的不确定性及输流管道固有频率的不确定性, 管道可能在第二、四、六阶发生共振失效。因此, 本文考虑三阶共振问题, 其功能函数为

(37)

且该系统为串联系统, 系统功能函数为

(38)

本文采用Monte-Carlo(MC)方法计算得到的结果作为精确解, 以此验证ALK方法的计算精度和效率。不同流速条件下共振失效概率和函数调用次数如表 3所示。

ALK方法的函数调用次数结果中，第一项为初始样本量，第二项为通过主动学习增加的样本量。可以发现, 随着流速的增加, 共振失效概率逐渐减小。这是因为随着流速增加, 各阶固有频率均在下降, 即在远离激振力频率, 所以共振失效可能性降低。此外, 对比MC和ALK 2种方法的结果可以发现, ALK方法得到的失效概率误差很小, 但功能函数的调用次数极大地降低。MC法需要调用3×10⁶次功能函数, 而ALK仅需要调用二百多次, 计算效率极大提高。

当U=10 m/s时, 采用ALK法计算得到的VIA指标如图 3所示。可以发现, S_Ro和S_E明显大于其他变量的主指标, 说明R_o和E对系统共振失效概率的影响程度最大, 而其他变量的主指标趋近于零, 因此在管道防共振设计中可忽略其他变量的不确定性, 降低问题的维度, 减小计算负担。此外, 各变量的总指标的主要排序为R_o>E>ρ_p, 总指标排序的前两位与主指标排序的前两位相同, 说明R_o和E对系统共振失效概率的影响最大。同时所有变量的总指标值明显大于主指标值, 说明变量间的相互作用对系统共振失效概率有显著影响。

4.2 液体压强的影响

当U=0 m/s, ΔT=0 K时, 考虑压强的3种不同工况, 即: ①p=0 MPa; ②p=14 MPa; ③p=28 MPa。随压强增大, 输流管道前六阶固有频率如表 4所示。可以发现, 管道各阶固有频率均随压强增大而降低, 且下降趋势十分明显, 根据振动控制方程可知, 压强p和流速U对管道影响的作用类似。

3种压强工况下的共振失效概率如表 5所示。由结果可知, 随着压强的增大, 系统共振失效概率不断减小, 其原因是压强的增大导致了固有频率的降低, 使得固有频率逐渐远离激振力频率, 共振失效可能性随之降低。ALK法在保证计算精度的同时, 计算效率明显优于MC法。

当p=14 MPa时, 采用ALK法计算得到的VIA指标如图 4所示。可以发现, R_o和E的主指标和总指标均排在第一和第二位, 其中主指标明显大于其他变量的主指标, 说明R_o和E对系统共振失效概率的影响程度最大, 而其他变量的主指标趋近于零, 因此在管道防共振设计中可忽略其他变量的不确定性。此外, 各变量的总指标的主要排序为R_o>E>ρ_p>ρ_f, 所有变量的总指标值明显大于主指标值, 其规律与U=10 m/s时基本相同, 进一步说明了流速U和液压p相比其他随机变量, 对共振失效的影响程度较小。

4.3 温度效应的影响

当U=0 m/s, p=0 MPa时, 考虑温度效应的3种不同工况, 即: ①ΔT=0 K; ②ΔT=10 K; ③ΔT=20 K。随温度变化值增大, 输流管道前六阶固有频率如表 6所示。可以发现, 管道各阶固有频率均随温度变化值增大而降低, 且下降趋势较为明显。

3种温度效应工况下的共振失效概率如表 7所示。由结果可知, 随着温度变化值的增大, 系统共振失效概率不断减小, 其原因与流速和压强的影响规律相同。

当ΔT=20 K时, 采用ALK法计算得到的VIA指标如图 5所示。可以发现, R_o和E的主指标和总指标均排在第一和第二位, 其中主指标明显大于其他变量的主指标, 而其他变量的主指标趋近于零, 各变量的总指标的主要排序为R_o>E>t, 同时所有变量的总指标值明显大于主指标值, 主指标与总指标的分布规律与U=10 m/s和p=14 MPa基本相同, 进一步验证了3种变量对共振失效概率的影响程度较小。VIA指标对于管道的防共振设计具有重要参考价值。

5 结论

本文基于温度效应下的多跨输流管道模型建立了共振可靠性和变量重要性分析方法, 并用算例分析了流速、压强和温度效应对共振失效概率、VIA的影响。主要结论如下:

1) 流速、压强和温度变化值的增大均会导致管道固有频率的降低, 造成固有频率与激振力频率逐渐远离, 从而进一步导致系统共振失效概率的降低。

2) 各输入变量中, R_o和E对系统失效概率的影响程度最大, 在设计中应控制或降低其不确定性程度, 从而降低系统共振失效概率。

3) ALK方法在保证计算精度的前提下, 极大地提高了计算效率, 有助于管道防共振可靠性分析方法的工程应用。