故障树分析(fault tree analysis, FTA)中将最小割集的发生概率看作随机输入变量，将故障树的结构函数，即最小割集的运算作为可靠性分析的状态函数^[1]。因此，其灵敏度有多种分析角度，如失效概率和模型位置重要程度等，从而生成不同的评价指标。但这种方法存在一定的不足，在实际应用中往往缺乏理论依据选取合适的指标进行评价，令决策者难以做出判断。

近年来，国内外相关研究针对故障树灵敏度分析进行了改进。在理论研究方面：Fu等^[2]进行灵敏度分析时针对冗余系统考虑了共因失效及修正系数；Yan等^[3]引入绝对灵敏度和相对灵敏度来量化参数，增加了模型的可行性和准确性；Merle、陈东宁等^[4-5]通过引入时间变量构建系统动态故障树模型，为复杂系统动态重要度分析提供支持；李生虎等^[6]推导出了一种以元件故障率、修复率与安装率为输入的灵敏度求解公式并进行分析，以达到减小FTA模型计算误差的目的；陈建军^[7]改进了联合重要度的计算方法，将事件两两结合进行关联性分析，使重要度排序结果更加合理；冯蕴雯等^[8-9]在民用飞机安全性分析中利用灵敏度分析结果开展典型系统安全性设计改进与产品优化设计等。从实际应用出发，工程单位多使用层次分析法(analytic hierarchy process, AHP)与专家打分方法相结合，来开展故障诊断^[10]、资源评估^[11]、安全性评估^[12]、模糊综合评价^[13-14]及维修间隔制定^[15]等工作，而忽略了基于故障树灵敏度分析模型求解得到的数值计算结果的作用。即便应用或开展理论研究，也多以改进或使用概率灵敏度为主，其局限性在于各灵敏度求解角度单一，缺乏统一的综合灵敏度评价指标。

针对上述研究存在的问题，本文将层次分析法引入故障树分析中，提出了基于FTA-AHP的系统综合灵敏度计算方法。在经典灵敏度分析的基础上结合层次分析法，根据子系统或元部件失效概率和模型位置重要程度等因素，对评价指标的权重系数实现量化，从而构建故障树综合灵敏度评价模型。比较于传统方法，改进后的综合灵敏度考虑因素全面，为飞机系统可靠性分析提供支持。

1 综合灵敏度评价方法 1.1 分析流程

故障树灵敏度分析是一种计算元部件对系统影响程度的有效方法，但因其缺少统一的评价指标使分析结果与实际应用之间存在一定的差距。文中基于层次分析法融合多种灵敏度指标生成综合灵敏度评价模型，可以使评价结果的排列顺序更接近于飞机系统在运营过程中的实际情况，基于层次分析法的飞机系统综合灵敏度分析流程如下。

步骤1   构建飞机典型系统故障树可靠性分析模型。分析系统结构组成和功能清单，确定故障模式、底事件、顶事件、中间事件及逻辑关系计算失效概率；

步骤2    灵敏度分析。利用下行法和几何运算法则求解最小割集和故障树结构函数, 通过灵敏度分析计算得概率灵敏度、相对灵敏度、结构灵敏度, 由灵敏度分析结果组成评判矩阵R;

步骤3   生成基于层次分析法的故障树综合灵敏度评价矩阵B。引入层次分析法对多种灵敏度通过两两比较打分, 构造判断矩阵G; 经一致性检验后确定底事件i的多种灵敏度评价指标权重系数a; n个底事件重复该步骤生成权重系数矩阵A; 权重系数矩阵A结合评判矩阵R生成飞机系统故障树综合灵敏度评价矩阵B;

步骤4    基于层次分析法的飞机系统综合灵敏度分析结果及优化建议。

1.2 分析方法

故障树分析方法是求解子系统或元部件故障对系统影响的有效方法, 通过系统的功能和结构组成建立可靠性分析模型。进一步利用灵敏度分析辨别子系统或元部件影响程度的大小。在故障树模型中, 顶事件的状态完全由底事件决定, 模型的结构函数就作为可靠性分析的功能函数

(1)

式中: n为最小割集数；K_i为第i个最小割集。

系统灵敏度分析以顶事件作为待评价的事物, 最小割集中的底事件为影响顶事件发生的评价因素, 设因素集

(2)

式中，u_i为出现在最小割集中的第i个底事件。

第i个底事件发生对顶事件的影响程度, 即事件u_i的评价指标, 以灵敏度来表征。故障树灵敏度可分为3种: 概率灵敏度、相对灵敏度、结构灵敏度。

概率灵敏度为第i个元部件由正常状态(0)转为故障状态(1)时, 系统发生故障的概率差, 定义

(3)

式中: P_T为功能函数; P_Xi为第i个元部件的失效概率; [g(1_i, X)-g(0_i, X)]为系统中第i个元部件由正常状态(0)变为故障状态(1), 系统结构函数的变化。

相对灵敏度是系统不可靠度变化与元部件的故障率变化之比, 定义

(4)

结构灵敏度是第i个元部件的临界状态数在总状态数中的比例, 其与底事件发生的概率无关, 定义

(5)

式中: 的取值仅有0和1;n为系统含元部件数量。

以灵敏度分析结果表征评价因素U的评价指标, 依据单因素评价建立评判矩阵R, 定义

(6)

式中，r_ij为第i个底事件的第j个灵敏度评价指标。

1.3 综合灵敏度评价模型

层次分析法是针对待评价对象的目标、准则、方案等层次构建评价模型进行定性、定量分析的一种决策方法。结合层次分析法构建飞机系统综合灵敏度评价模型, 可以结合多种因素生成统一的评价指标, 且使重要度排名更接近于实际情况。根据1.2节确定评价对象、评价因素和评价指标后, 为反应各因素的重要程度, 需对评价指标分配一个相应的权重系数a_ij(i=1, 2, 3, …n; j=1, 2, 3)。一般要求a_ij满足a_ij>0且∑a_ij=1, 并以权重系数a_ij的集合即为权重系数矩阵A。

首先, 根据评价对象、评价因素与评价指标之间的几何、代数关系, 构造层次结构模型, 模型可逐级向下分解。构建层次结构模型后, 采用两两比较的方法从最底层逐层判断(1~9比例标度)各层级的权重指标及与上一层级间的隶属关系, 并构造判断矩阵G。本文基于层次分析法, 对3种灵敏度指标通过两两比较确定权重系数, 其比较的原则根据最小割集的组成可分为两类:

1) 最小割集中仅包含1个底事件。只要底事件i故障, 顶事件一定发生, 其失效概率越大, 对顶事件发生的贡献越大, 则与失效概率关联性强的灵敏度重要程度更高;

2) 最小割集中包含2个或2个以上底事件。底事件i被包含的最小割集越多, 临界状态数越多, 与它组成最小割集事件的失效概率越高, 该割集发生的可能性越大, 因此与结构关联性强或状态转变前后故障概率变化大的灵敏度重要程度更高。

比较打分后生成判断矩阵G, 对其正规化并进行一致性检验, 当C_R满足下列条件

(7)

认为判断矩阵G是符合一致性要求的, 反之则认为判断矩阵G不具有足够的一致性, 需要再次调整。其中: C_R为判断矩阵的随机一致性比率; C_I为判断矩阵的一致性指标, 定义

(8)

式中: λ_max为判断矩阵G的最大特征根; R_I为判断矩阵的平均随机一致性指标。

最后, 计算各级评价因素的权重, 定义

(9)

解出w为属于特征值λ_max的特征向量, 即所求的权向量。对权重指标向量进行归一化处理, 生成第i个底事件的权重系数向量a_i, 由权重系数矩阵A与评判矩阵R合成得到待评价对象, 即导致故障树顶事件的底事件灵敏度综合评价矩阵B, 基于层次分析法的飞机系统综合灵敏度评价模型定义为

(10)

运用加权平均原则分析综合评价结果, 将B中对应分量各等级的秩逐级进行加权求和, 最终得到被评价对象在等级论域中的相对位置, 即为被评价对象的评价结果。本文中各灵敏度均具有各自的含义, 对B中分配权重指标计算后的每行元素简单求和, 即为所求, 排序得到底事件失效概率对顶事件发生可能性的影响大小, 生成统一的综合灵敏度评价指标, 从而为后续工程应用提供支持。

2 飞机舱门系统案例验证 2.1 舱门系统故障树模型

灵敏度分析是飞机系统可靠性分析的重要环节, 本文以舱门系统增压预防功能失效作为顶事件构建故障树可靠性模型, 并基于层次分析法开展综合灵敏度分析, 通过该案例对方法的有效性进行验证。

增压预防门是在舱门未完全关闭、锁闩和锁定的情况下将飞机增压到不安全的水平的一种措施, 是适航条款要求的民机必备舱门。增压预防功能失效会导致飞机无法增压或意外泄压, 对机组人员及乘客增加负担引起身体不适。本文以舱门增压功能失效构建故障树模型, 分别对舱门未完全关闭、闩和锁机构失效进行层层分析, 分解至结构强度失效和机构运动不到位等为止。故障树模型共计1个顶事件、10个中间事件和12个底事件。故障树模型见图 2。

根据设计数据对故障树底事件、顶事件和中间事件进行失效概率计算, 由于篇幅有限, 直接给出顶、底事件名称、符号及其失效概率如表 1所示。

2.2 最小割集求解与传统灵敏度计算

故障树可靠性模型的最小割集求解是灵敏度分析反馈的基础, 利用上行法或下行法, 经层层整理得全部最小割集有: K₁={Y₁}, K₂={Y₂}, K₃={Y₃, Y₄}, K₄={Y₃, Y₅}, K₅={Y7}, K₆={Y₆, Y₈}, K₇={Y₉, Y₁₁}, K₈={Y₉, Y₁₂}, K₉={Y₁₀, Y₁₁}, K₁₀={Y₁₀, Y₁₂}。建立故障树可靠性分析模型的结构函数为

(11)

据(3)~(5)式得传统灵敏度计算结果如表 2所示。

据灵敏度指标向量r_i生成评判矩阵R为

(12)

2.3 基于层次分析法的故障树综合灵敏度分析

基于层次分析法确定故障树综合灵敏度权重指标, 对概率灵敏度、相对灵敏度和结构灵敏度两两比较, 构造灵敏度判断矩阵G。

以底事件Y₁提升机构强度失效为例, 根据比较原则, 判断矩阵G为

(13)

判断矩阵G的最大特征根λ_max=3.038 5, 检验其一致性, 计算C_I

(14)

查表得不同阶判断矩阵的平均随机一致性指标R_I, 阶数为3的判断矩阵R_I=0.58, 计算C_R为

(15)

认为判断矩阵S是符合要求的, 即具有足够的一致性, 最大特征根λ_max对应的特征向量w为

(16)

对特征向量进行归一化处理得到权重系数向量a₁

(17)

重复以上步骤直至求出12个底事件的权重系数向量, 生成权重系数矩阵A=(a₁, a₂, a₃, …, a₁₂)^T, 各底事件权重指标向量详见表 3。

权重系数矩阵A与评判矩阵R合成得到待评价对象, 即导致故障树顶事件的底事件灵敏度综合评价矩阵B。以底事件Y₁提升机构强度失效为例, 权重系数向量a_i和评判向量r_j经合成计算得到综合评价向量b_i

(18)

重复以上步骤直至12个底事件的综合灵敏度评价向量全部计算完成, 生成综合评价矩阵B=(b₁, b₂, b₃, …, b_n)^T, 第i个的综合灵敏度为b_i中的各个元素相加而得, 基于层次分析法计算得到的综合灵敏度及其排序如表 4所示。

3 分析结果比对

灵敏度分析的最终目的是依据计算结果的排列顺序，判断子系统或元部件对系统的重要程度。当系统发生故障时依据灵敏度分析结果，选取重要程度高的部件进行检查与维修。因此精确、综合且统一的灵敏度分析结果可以大大提高工程中排故的效率。将传统灵敏度分析与综合灵敏度评价排序结果展示如表 5所示，排序结果对比如图 3所示。

由前述表 5排序计算结果与图 3排序比较结果得：

1) 前3种灵敏度计算结果的排列顺序有很高的重复性，难以区分不同部件的真实重要程度。而综合灵敏度评价指标的区分度更高，便于决策者做出判断；

2) 综合灵敏度排序结果是原结果加权计算所得，基本在原排序范围内波动，能够保证排序结果的有效性；

3) 独自组成最小割集的底事件，其失效概率越大，综合灵敏度越高，底事件的发生对顶事件发生的贡献越大；

4) 被包含在2个或2个以上最小割集中的底事件，其所在的割集数越多，综合灵敏度越高，底事件的发生对顶事件发生的贡献越大；

5) 和其他事件共同组成割集的底事件，同一割集中其他事件的失效概率越高，综合灵敏度越高，底事件的发生对顶事件发生的贡献越大；

6) 对Y₉, Y₁₀, Y₁₁和Y₁₂这样两两组合的事件，底事件概率相近，故排序结果也相近，底事件失效概率若相差较大，排名会更具有代表性。

4 结论

1) 根据底事件所处最小割集种类的不同，分别确定评价指标的权重系数矩阵A, 所得到的系数充分利用了几种灵敏度的特性，使分析结果更趋于合理，评价结果更加可靠；

2) 综合灵敏度排序结果重复性更小，能够区分开各个底事件排列顺序，生成统一的评价指标，为决策者提供了准确的依据，对工程应用具有重要价值；

3) 与传统灵敏度分析方法相比，改进的综合灵敏度评价方法减少了评价的模型误差，灵活性更强，是对传统故障树灵敏度分析的进一步完善；

4) 飞机系统故障树综合灵敏度解决了评价指标多样时，缺乏有效且统一的理论依据的问题，提高系统排故效率，基于层次分析法确定权重指标的思路也为对多因素综合评价模型的构建提供有效的支持。