2. 西北工业大学 航海学院, 陕西 西安 710072
水声信道被认为是最具挑战性的通信媒介之一[1]。与陆地无线信道相比, 水声信道的带宽有限, 且具有严重的传输损耗、时变的多径传播以及严重的多普勒干扰。为了解决多途引起的频率选择性衰落水声信道色散问题, 提高水声信道的带宽效率, 正交频分复用(orthogonal frequency division multiplexing, OFDM)多载波技术被广泛应用到水声通信中[2]。OFDM使用一个循环前缀, 采用单抽头频域均衡复杂度低, 便于实现。然而当信道存在大多普勒扩展, 信道时变性增强时, 信道的相干时间接近或小于OFDM的数据块长度, 单抽头频域均衡算法有效性将会降低, 其通信性能受到严重影响[3]。处理快速时变信道的经典方法是缩短OFDM的符号持续时间, 使得每个OFDM符号上的信道变化可以忽略, 而循环前缀长度保持不变, 然而该方案降低了带宽效率。因此, 能否在复杂快速时变的水声信道中, 探索一种性能没有显著下降的新型调制方案至关重要。
2016年Anton Monk等人最先提出的正交时频空间(orthogonal time frequency space, OTFS)调制技术, 是一种针对高动态场景的新型二维调制技术, 其基本思想是将信息比特调制在时延-多普勒域, 而非传统调制的时间-频率域[4]。OTFS调制通过一系列二维变换, 将双扩展信道转换到时延-多普勒域中近似非衰落的信道。在时延-多普勒域中, 一个数据帧中的符号都经历了几乎恒定的衰落, 具有比OFDM等调制方案更显著的性能增益[5]。OTFS接收符号是二维信号的循环卷积过程, 符号检测实质是二维的解卷积过程, 对于快速时变水声信道, OTFS符号不仅存在码间干扰和子载波间干扰, 还存在多普勒干扰的问题。若OTFS符号包含M个子载波, N个符号, 则常规最小均方误差均衡算法主要的矩阵求逆复杂度为O(N3M3), 当M和N均较大时, 严重影响到实时实现。
对于OTFS低复杂度符号检测方面, 2018年Raviteja等提出了一种低复杂度的消息传递(message passing, MP)算法, 实现了干扰的联合消除和符号检测[6-7]。仿真结果表明, 该方法显著提高了OTFS系统性能, 也证明了在双扩展信道下非编码OTFS方案比OFDM方案具有更好的误码性能增益。随后, 以消息传递为基础的改进算法被大量提出, 具体包括近似消息传递、变化的贝叶斯、马尔可夫链蒙特卡洛采样等算法[8-11]。在理想信道状态下, 上述算法相比较LMMSE算法具有显著的性能优势, 然而它们都是以贝叶斯为基础的非线性算法, 将干扰项假设成近似的高斯分布噪声, 通过大量的迭代逼近最优性能, 其复杂度远高于直接求逆的LMMSE算法, 而不合适的高斯方差会导致性能严重下降, 难以应用到实际的水声通信系统中。在OTFS线性均衡算法研究初期, 一些学者利用OTFS信道矩阵的块循环特性, 开展基于LMMSE的低复杂度符号检测研究[12-13], 但这些方法的前提是OTFS发射脉冲波形完全正交, 而实际OTFS发射脉冲是矩形脉冲并不正交, 信道矩阵不具有块循环的特性, 这些方法并不能应用于实际通信中。有学者利用的LU分解实现了基于LMMSE低复杂度符号检测的研究, 但是该方法仍具有较高的复杂度[14]。
为实现OTFS在水声通信场景下稳健通信, 解决接收端解调存在复杂度高问题, 本文提出一种基于最优坐标下降无穷范数约束均衡(optimized coordinate descent-based infinity norm or box constrained equalization, OCD BOX)均衡算法, 其性能近似常规的LMMSE算法, 但具有更低的复杂度。坐标下降算法是一种针对高维度线性系统的迭代方法, 利用一系列的简单坐标更新, 得到凸优化问题的近似解[15-16]。另外, 为进一步提升系统性能, 设计了一种无穷范数约束均衡框架的坐标下降均衡算法。仿真结果表明: 在设计的水声通信场景下, 所提的均衡算法性能略低于或接近常规的LMMSE算法, 但具有更低的复杂度。同时本文也是OTFS在水声通信系统应用的初探, 为后期OTFS在水声通信系统的硬件实现奠定基础。
1 OTFS系统模型OTFS水声系统框图如图 1所示, 首先将正交相移键控(QPSK)调制的一维星座符号x=[x1, …, xNM]排列到时延-多普勒的网格中, xi∈A, A={a1, …, aQ}, 服从独立同分布且发射功率σx2=1。映射在时延-多普勒网格的二维发射符号x[k, l], k=0, …, N-1, l=0, …, M-1, 其分布在N×M的一个OTFS数据帧中, N和M分别为多普勒维度和时延维度资源数量。
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| 图 1 OTFS水声通信系统框图 |
为实现时延-多普勒域的信号发射, 需要将映射到时延-多普勒网格的二维发射符号转换到频域, 如图 2所示。具体采用反对偶傅里叶变换(inverse symplectic finite fourier transform, ISFFT)转换到时频域信号X[n, m], 如下所示
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(1) |
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| 图 2 时延-多普勒和时频域转换关系 |
然后通过海森堡变换(Heisenberg transform)将时频信号X[n, m]转换成时域发射信号s(t), 具体转换关系表示为
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(2) |
式中：Δf表示子载波间隔；T=1/Δf是每组符号持续时间；gtx表示发射脉冲成型滤波器, 这采用实际的矩形脉冲滤波器。
1.2 信道模型及接收信号发射信号s(t)经过复基带脉冲响应h(τ, v)的时变信道, 其中τ, v分别表示时延频移和多普勒频移扩展, 接收信号r(t)表示为
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(3) |
式中，z(t)表示均值为0, 方差为σ2的加性高斯白噪声。OTFS主要特点是通过时延-多普勒双扩展函数模型近似表示衰落时变信道, 而信道在时延和多普勒域上具有二维稀疏特性, 即大部分能量集中在少数路径上[4]。因此, 在时延-多普勒域只需少数路径的脉冲响应就能近似表示时变信道。信道脉冲响应h(τ, v)可以表示为如下形式
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(4) |
式中：P表示路径数；hi, τi和vi表示第i个路径的增益、时延频移、多普勒频移。第i个路径的时延和多普勒频移抽头分别表示为
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(5) |
式中：li和ki分别表示时延和多普勒抽头的索引；MΔf表示系统带宽；NT是每帧发射符号持续时间。为了便于推导, 这里假设时延频移τi和多普勒频移vi分别为
在接收端, 将接收到的时域信号r(t)通过维格纳变换(Wigner transform)转换为时频域信号Y[n, m]，维纳变换如下表示[6]
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(6) |
式中, Agrx, r(t, f)表示为
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(7) |
接下来, 利用对偶傅里叶变换(symplectic finite Fourier transform, SFFT)将时频域信号Y[n, m]转换成二维时延-多普勒域的接收信号y[k, l], 如下表示
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(8) |
为了利用时延-多普勒域复合信道矩阵的特点, 有效消除接收端存在的多普勒干扰, 载波干扰和符号干扰, 需要对上述步骤进行整合, 得到OTFS时延-多普勒域的输入输出关系表示为[6]
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(9) |
式中, β[ki, li]表示为
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(10) |
式中, z[k, l]是解调后的噪声项, [·]M和[·]N分别表示M和N的模运算。公式(9)进一步可以写成向量形式
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(11) |
式中, y和z分别表示y[k, l]和z[k, l]的复信息向量, H是时延-多普勒域NM×NM的复信道矩阵。x是NM×1的发射符号向量。通过上述OTFS调制过程分析可知: OTFS是将映射在时延-多普勒域的二维信号x(k, l)，通过非衰落、时不变信道, 从而获取分集增益, 提高传输的可靠性。
2 OTFS低复杂度均衡算法 2.1 常规线性均衡算法对于OTFS信号检测, 常规的线性最小均方误差均衡算法如下表示[13-14]
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(12) |
式中：
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(13) |
对于上述最小二乘问题, 提出了低复杂度最优坐标下降的均衡算法, 进而避免高维度的直接矩阵求逆。
2.2 无穷范数约束均衡无穷范数约束均衡将映射到时延-多普勒网格的发射符号x∈ A约束到凸空间ρA周围, 公式(13)变成求解如下凸优化问题
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(14) |
(14) 式中对于常规QPSK或高阶QAM调制的凸空间可以表示为ρA={xR+jxI; xR, xI∈[-a, +a]}, 其中α是围绕星座符号的约束半径。通过范数约束均衡, 可以改善系统的性能, 本文将无穷范数约束均衡与所提低复杂度坐标下降结合实现可靠稳健的OTFS通信。
2.3 低复杂度均衡算法 2.3.1 坐标下降均衡算法坐标下降法是一种迭代框架算法, 通过一系列简单的、智能的坐标更新从而解决大量凸优化问题[17]。首先定义如下函数
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(15) |
接下来分别求每个发射符号xi的最小化函数f(x1, …, xNM), 找到最优的发射序列。具体保持其他值xj, ∀j≠i固定, 通过设置函数梯度为零, 有如下表示
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(16) |
式中，hi(1≤i≤NM)表示信道矩阵H的第i列, Hx进一步分解为
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(17) |
通过公式(17)依次更新第i个的xi符号值, 直到i=NM实现1次迭代更新, 经过K次迭代得到最终的估计发射符号
下面结合OTFS信道矩阵特点, 在不影响误码率的前提下, 对坐标下降均衡算法进行优化, 进一步降低运算的复杂度。首先对OTFS信道矩阵特点展开分析。
1) OTFS时延-多普勒域信道矩阵特点
时延-多普勒域OTFS输入输出矩阵关系表示如下[18]
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(18) |
式中, FN和FNH分别表示N点的离散傅里叶变换(DFT)矩阵和反离散傅里叶变换(IDFT)矩阵, 在矩形脉冲情况下, 对角矩阵Grx和Gtx减少为单位矩阵IM, 
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(19) |
矩阵H是不同路径增益与时延频移矩阵和多普勒频移矩阵的乘积, 并累加求和, 表示为
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(20) |
式中，Π是置换矩阵, 具有向前循环移位的性质
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(21) |
Δ是NM×NM的多普勒频移对角矩阵, 表示为
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(22) |
下面对等效信道矩阵H特点展开分析, 通过(19)式推导可以得出H是一个NM×NM的复信道矩阵, 每行每列仅有P个非零值, 且P远远小于NM, 因此等效矩阵H具有稀疏性, 同时可以得出每列非零值的具体位置坐标。另外, 可以得出H每列向量2-范数平方是相同的常数, 具体表示为
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(23) |
式中，hi, 1≤i≤NM表示矩阵H的第i列。
2) 最优坐标下降算法设计
坐标下降均衡算法的优化分为预处理和均衡算法优化两部分, 其目的是在不增加额外性能损失前提下, 降低算法的运算量, 实现OTFS低复杂度均衡, 下面是具体优化步骤。
预处理部分: 预处理的思路是将迭代更新过程中部分运算量进行预处理, 使其不在迭代过程中重复计算, 从而降低算法的运算量。在坐标下降均衡算法中可以对等效矩阵H的每列向量范数进行预处理。首先, 在预处理部分计算等效矩阵H每列正则化逆均方范数di-1=(‖hi‖22+σ2)-1, 以及增益pi=di-1 ‖hi‖22。通过上面H特点分析可以, H每列向量模2-范数平方相等, 即都是常数C。因此, 只需要计算H任意一列的向量范数可得到di-1和pi的值。对于较大NM维度矩阵, 避免重复计算每列向量矩阵的范数, 进一步降低了预处理的复杂度。
均衡优化部分: 坐标下降均衡算法每次迭代需要更新增量并重复运算中间变量, 为了避免均衡过程中周期性操作, 对均衡部分进行优化。本质上, 迭代更新过程本质对残差近似向量进行顺序更新, 残差近似向量定义为
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(24) |
在每次迭代过程中, 公式(24)计算残差近似向量每次需要计算NM个接收值, 再进行更新。在优化过程中, 计算每次迭代残差向量时, 首先计算第一个估计符号x1K值, 然后计算差值Δx1K, 进一步计算残差r, 再依次更新其它估计符号xiK值。另外在上述迭代更新过程中, 计算残差值时, 需要计算每列hir的值。上述分析可知, 等效矩阵H每列仅有P个非零元素, 因此只需计算每列P个值, 而不需要计算每列NM个值。因此利用OTFS等效信道矩阵的稀疏性可以在不损失性能的前提下降低运算量。
2.4 复杂度分析下面对所提优化坐标下降均衡算法复杂度进行分析, 这里假设信道矩阵的维度是U=N×M。在预处理部分, 常规的均衡算法需要计算信道矩阵H每列的2-范数平方, 需要U2次复乘运算, 而利用OTFS等效信道矩阵性质的优化算法, 只需要计算一列2-范数平方, 因此需要U次复乘运算。在均衡迭代部分, 由于利用信道矩阵H的稀疏性, 即每列有P个非零值, 则(‖hi‖22+σ2)-1hiH的运算只需要P次复乘运算, 在残差更新中也只需要P次复乘运算, 则每次迭代过程中需要2PU次复乘运算。因此所提优化均衡算法总共需要U+2PUK次复乘运算, K表示迭代次数, 可以得出其复杂度远低于常规的LMMSE均衡复杂度。
3 仿真结果分析本节对所提均衡方案进行性能评估, 并与OTFS现有的算法比较。首先考虑一个水声通信场景, 假设时变水声信道的最大时延为τmax, 最大多普勒为vmax, OTFS调制中T和Δf分别决定最大多普勒(1/T)和时延(1/Δf), 即vmax < 1/T和τmax < 1/Δf。同时为满足一定的数据速率, OTFS调制受系统总带宽B=MΔf和时延Tf=NT条件的约束。因此可以通过选择N, M, T(Δf=1/T)参数来支持OTFS在时延-多普勒水声信道的有效通信。考虑到时变水声信道中, 往往多径影响严重, 最大时延τmax较长, 而多普勒影响一般在一定范围内, 其最大多普勒τmax相对较小, 因此可以选择较大的T来满足最大时延, 故Δf=1/T相对较小来支持最大多普勒。另外为实现低时延和保证一定数据速率, Tf尽可能小, 带宽B尽可能大, 因此应选择较小的N值和较大的M值, 这里设置每帧发射N=16M=64个符号, 采用正交相移键控(QPSK)调制, 持续时间T=216 ms。采用间隔Ts=T/(NM)=0.25 ms, 载波fc=6 kHz, 声速为c=1 500 m/s。
3.1 OTFS双扩展信道性能仿真首先考虑一个简单的时延-多普勒双扩展信道模型, 信道增益hi服从独立的瑞利分布, 归一化的功率时延谱
首先, 对所提的OCD BOX算法与现有的消息传递算法和线性最小均方误差均衡算法进行误码率性能比较。图 3是OTFS不同均衡算法和OFDM调制误码率曲线图, OFDM采用单抽头的MMSE均衡方法。
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| 图 3 OTFS的OCD BOX, MP, MMSE误码性能比较 |
从图 3中可以得出: 迭代次数K=3的OCD BOX均衡算的误码率与常规的LMMSE均衡算法的误码率接近一致, 但是具有更低的复杂度。从图中也可以看到MP算法的性能最优, 然而MP算法将干扰项假设成高斯分布噪声, 需要提前已知噪声先验信息, 在实际的水声通信系统中性能严重下降, 同时MP也具有较高的复杂度。因此, 从复杂度和性能方面, 所提的OCD BOX均衡算法是OTFS均衡系统一种较好的折中方案。另外从图中得出所提均衡算法在不同多普勒频率下仍具有较好的性能, 说明了所提算法能有效的消除更宽范围的多普勒干扰。
3.1.2 不同迭代数的OCD BOX性能分析下面对OCD BOX均衡算法在不同的迭代次数下的误码率性能进行分析比较。
从图 4误码率曲线可知: 随着迭代次数的增加, 所提均衡算法的误码性能曲线图呈现下降趋势, 但当迭代次数K=3到K=4时, 误码性能曲线下降空间较小。因此从复杂度和性能方面考虑, 当迭代次数K=3时, 所提均衡算法效果最佳。另外, 仿真结果也表明, 具有无穷范数约束的坐标下降均衡方案性能明显优于常规的坐标下降均衡算法。
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| 图 4 OCD BOX不同迭代次数性能比较 |
本文采用基于最大熵统计框架的时变水声信道模型[19]。假设进行一个浅层的水声信道的建模, 多普勒扩展从0.5 Hz到最大多普勒值为线性增长, 最大多普勒扩展是5, 发射端的换能器与接收端的水听器可接收不同的多普勒扩展。主要参数如下: 发射深度5 m, 接收深度20 m, 距离1 km, 水深25 m, 载波频率20 kHz, 带宽5 kHz。图 5是时变水声信道建模脉冲响应图, 可以看到时延-多普勒双扩展的水声信道脉冲响应具有明显的稀疏性。
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| 图 5 基于最大熵统计时变水声信道脉冲响应 |
图 6是OTFS在基于最大熵统计水声信道的误码率性能仿真。从图 6可以观察到有6条明显的主路径, 为了便于处理分析, 参考文献[20-21]的双扩展水声信道实验仿真基本方法, 选取时延-多普勒的双扩展水声信道的6条主要脉冲响应。从图中可以得出, 所提的OCD BOX均衡算法在最大熵统计的双扩展水声信道模型下, 仍表现出较好的性能优势, 且性能略低于OTFS MMSE均衡方案。因此所提算法在基于最大熵建模的时变水声信道下仍具有较好的鲁棒性。
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| 图 6 OTFS基于最大熵建模的水声信道误码性能比较 |
本文在OTFS水声通信应用场景下, 提出了一种低复杂度的OTFS均衡算法, 对其可行性和有效性进行了验证。针对OTFS解调存在较高复杂度问题, 提出了基于最优坐标下降的无穷范数约束均衡算法。该算法通过一定的迭代次数得到最优解, 利用OTFS时延-多普勒域的信道矩阵稀疏性和每列向量二范数平方相等的特点, 进一步降低坐标下降的复杂度。仿真结果表明, 所提均衡算法在不降低性能的前提下, 相对于LMMSE具有更低的复杂度。同时采用了基于最大熵统计的时变水声信道建模, 对所提OTFS均衡算法在水声信道下进行初步验证。
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