滚动轴承是旋转机械中的常用支承部件之一，其性能状态对机械设备的性能具有重要的影响。因此，滚动轴承的状态监测与故障诊断研究受到国内外学者的普遍重视^[1-14]。通常，找出测试信号中的故障特征是实现故障诊断的关键点，而对测试信号的准确表征则是进行故障特征提取的前提条件，是进行后继分析的基础。

1984年，Macfadden和Smith^[15]建立了单点轴承故障振动信号的解析模型用于表征点蚀、剥落等故障产生的振动信号。该模型有效地描述了测试信号的离散谱特征以及离散谱与轴承参数之间的联系，为轴承故障振动信号的特征分析奠定了理论基础。在此基础上，Antoni和Randall^[16]采用独立增量过程表征测试信号中故障冲击在时域的到达时刻，为滚动体在内、外圈滚道上打滑现象的表征提供了有效手段。该模型揭示了故障测试信号频谱上的频率模糊现象，对真实的振动测试信号具有更好的表征能力。但这2个模型都含有一个共同的假设：滚动体通过内、外圈局部故障时只有一个冲击响应产生。事实上，Epps和McCallion^[17]通过试验发现滚动体通过内、外圈局部故障时产生的冲击响应现象包含2个冲击响应过程。第一个冲击响应是由滚动体进入故障时的去应力过程产生的，而第二个冲击响应则对应滚动体离开故障时的回复应力过程。受到该成果的启发，Sawalhi和Randall^[18]对滚动体通过内、外圈故障缺陷时的冲击响应特征进行了深入研究，结果发现：2个冲击响应过程的幅值和频率都具有较大的差别。因此，他们采用阶跃响应和冲击响应分别表征这2个过程产生的振动信号，建立了含双冲击响应的振动信号模型。该模型中阶跃响应的振动频率要明显低于冲击响应的振动频率。但是，该模型并不能有效地表征测试信号的频域特征。

鉴于此，本文在现有研究成果的基础上，采用声发射信号对滚动体通过内、外圈故障时产生的故障特征开展深入研究，提出含双冲击响应的声发射击信号解析模型，为滚动轴承故障声发射信号的准确描述提供有效途径，为基于声发射信号的特征分析与故障诊断奠定理论基础。

1 轴承故障声发射现象机理分析 1.1 机理分析

对于外圈固定内圈转动的轴承，由于径向载荷分布不均，内圈故障冲击存在显著的幅值调制特征。因此，不失一般性，以外圈故障为例。如图 1a)所示，假设轴承外圈上存在槽形故障，外圈滚道直径为D_o，内圈转速恒定(不为0)，滚动体公转速度为v_c；在包含故障的一个微小区域(图 1b)中AE段)内，如果没有故障，滚动体通过该区域时的径向载荷假设不变；当该区域出现周向长度为L的故障(图 1b)中BD段)时，滚动体与滚道之间的应力会发生相应的变化。当滚动体进入故障时，由于材料缺失，滚动体与滚道之间会产生一个去应力过程。随后，当滚动体中心到达故障中点(点C)时，滚动体前沿与故障的另一边相撞产生一个回复应力过程。

图 1c)为滚动体对滚道的反作力变化示意图。由图可知，滚动体与滚道之间的作用力在滚动体进入与离开时会发生剧烈变化(见图 1d))。根据突发型声发射信号的定义：材料中局部位置发生快速的能量释放而产生的瞬态弹性波^[19]，因此，当滚动体通过故障时，在进入与离开故障的时刻均会产生突发型的声发射信号，即产生含2个冲击响应的声发射现象。为便于分析，将该现象命名为双冲击响应现象。

1.2 解析模型

如图 2所示, 假设第一个冲击响应对应滚动体进入故障时产生的去应力过程; 第二个冲击响应对应滚动体离开故障时产生的回复应力过程。令A_{1, k}和A_{2, k}分别表示第k个双冲击响应的前一个和后一冲击响应的幅值, T_k和T_{L, k}表示第k个双冲击响应的到达时间与双冲击响应时间间隔。由于声发射传感器是基于高频响应原理发明的, 声发射信号为材料中瞬态弹性波激励声发射传感器产生的振动响应。因此, 由滚动轴承故障产生的声发射信号可表示为

(1)

(2)

式中：h(t)表示声发射传感器的单位脉冲响应函数；n(t)表示附加噪声。

为便于分析, 假设: {n(t)}_t∈R是一个零均值的平稳随机过程; {T_k}_k∈Z是一个独立增量过程, 其概率密度函数为ϕ_T(T_k), 即{ΔT_k}_k∈Z是一个服从概率密度函数为ϕ_T(ΔT_k)的随机点过程; 而{T_{L, k}}_k∈Z为服从概率密度函数为ψ_TL(T_{L, k})的随机点过程; {A_{1, k}}_k∈Z和{A_{2, k}}_k∈Z均为周期的Dirac相关点过程。基于上述假设, 如下公式成立

(3)

(4)

式中：E{·}表示集合平均算符; T表示相邻滚动体通过故障时消耗的平均时间; T_L表示信号中双冲击响应的平均时间间隔; β=T_L/T, 表示平均的双冲击响应时间间隔与滚动体通过故障的平均周期之间的比值。为了实现幅值调制现象的描述, 进一步假设{A_{1, k}}_k∈Z和{A_{2, k}}_k∈Z相关的周期都为Q, 且Q>T。即

(5)

(6)

(7)

(8)

由此, 该模型即可实现对轴承外圈、内圈以及滚动体故障产生的声发射信号的描述。值得注意的是, 当双冲击现象不显著时, 只需修改相应参数, 该模型仍然适用。虽然这些假设与真实的物理过程相比还非常的理想化, 但这些假设可以使我们通过简单的计算即可窥探轴承故障的声发射信号特征。

2 功率谱分析

显然, 当忽略双冲击响应声发射信号模型中的某一个响应或者双冲击响应不可分时, (1)式表示的模型即退化为文献[17-18]中研究的单冲击响应解析模型。与之类似, 双冲击响应声发射信号模型也可分解为确定性部分与随机部分之和, 即

(9)

式中，x_H(t)表示信号的确定性部分; 而x_R(t)表示信号的随机部分。

2.1 确定性部分

虽然模型(1)是随机的, 但其集合平均具有一定的确定性。模型的集合平均为

(10)

联立(3)式和(4)式并将(10)式中的积分等效为卷积, 则模型的集合平均可表示为

(11)

令

(12)

(13)

则m_x(t)可进一步表示为

(14)

由此可得, m_x(t)的Fourier变换为

(15)

式中, Φ_T(f)和Ψ_TL(f)分别表示ϕ_T(t)和ψ_TL(t)的Fourier变换, 函数sinc(x)=sin(x)/x。根据假设和均为周期为Q的函数, 将其表示为Fourier级数形式

(16)

(17)

结合泊松公式

(18)

则M_x(f)可表示为

(19)

对(19)式中的sinc函数进行无穷积分, 即令W→∞, (19)式则变形为

(20)

令

(21)

式中, P₁表现为离散谱形式。值得注意的是: 由于双冲击响应现象的存在, P₁的幅值呈周期衰减的趋势, 调制周期为1/ΔT, 衰减趋势为S_H1(f)。整体上, 信号的集合平均还受到S_H1(f)的调制作用, 其中H(f)相当于具有高通滤波作用的传递函数, Φ_T(f)相当于具有低通滤波作用的传递函数。因此, H(f)和Φ_T(f)的乘积对离散谱线产生抑制作用。该结果表明: 双冲击响应信号的离散谱线处于低频区, 但幅值较小, 易被噪声淹没。

信号的功率谱与自相关函数互为Fourier变换对, 因此, 要得到信号的功率谱可先得到m_x(t)的自相关函数, 即

(22)

令u=l-r, 则有

(23)

式中

(24)

(25)

(26)

(27)

此处利用和是周期函数的性质。对自相关函数R_mx(τ)进行Fourier变换, 可得信号x(t)中确定性部分的功率谱密度函数为

(28)

对sinc函数进行积分, 则有

(29)

令

(30)

(31)

通过功率谱的表达式可以看出, S_H1(f)和S_H2(f)均为离散谱。Ψ_TL(f)相当于一个具有低通滤波作用的传递函数, 因此, S_H1(f)的幅值呈衰减趋势, 且变化趋势由Ψ_TL(f)的平方决定; S_H2(f)的幅值表现为周期波动的衰减形式, 衰减趋势由Ψ_TL(f)决定, 波动周期为1/βT。而且S_H1(f)和S_H2(f)的能量均主要集中在低频区。与函数Ψ_TL(f)类似, Φ_T(f)也相当于一个具有低通滤波作用的传递函数, 但H(f)相当于一个高通滤波器, 因此, 乘积|H(f)|和|Φ_T(f)|乘积的平方会极大地削弱离散谱线的幅值。该结果表明: 虽然功率谱的确定性部分在低频区, 但幅值较小, 易被噪声淹没。

2.2 随机部分

随机部分的功率谱密度可通过自协方差函数求解。信号的自协方差函数为

(32)

将(1)式代入(32)式则有

(33)

根据文献[15], 功率谱密度可按(34)式进行计算

(34)

联立(33)和(34)式, 可得随机部分的功率谱密度为

(35)

令

(36)

Φ_T(f)和Ψ_TL(f)均表现为具有低通滤波作用的传递函数, 因此，(36)式表现为高通滤波器。与(29)式相比, (36)式表示的是一个权重为高通滤波器形式的连续谱。结合H(f)的高通滤波作用, 随机部分表现为高频区的连续谱。

3 仿真研究

为了验证模型的正确性以及方法的有效性, 本节采用仿真信号进行分析。工程实际中, 大约90%的轴承失效都是由于内圈或者外圈故障引起的^[20], 因此, 仿真分析只涉及内圈和外圈故障。为简化分析, 将声发射传感器简化为一个单自由度时不变系统, 其单位脉冲响应函数为

(37)

式中：ζ为相对阻尼系数；f_n为声发射传感器的固有频率。图 3为根据(1)式得到的内圈和外圈故障声发射仿真信号, 其中: f_n=3 kHz；ζ=0.05;双冲击响应中前一个冲击响应的平均幅值, 后一个冲击响应的平均幅值; 双冲击响应的平均时间间隔T=0.1 s; {A_{1, k}}_k∈Z服从的正态分布; {A_{2, k}}_k∈Z服从)的正态分布; {ΔT_k}_k∈Z服从N(T, 0.002 5T)的正态分布。为了说明双冲击响应间隔的影响, 内外圈故障信号的双冲击响应间隔分别为0.015 s和0.01 s, 即β_i=0.15, β_o=0.1。内圈故障仿真信号中双冲击响应还具有a(t)=cos(4πt)+1的幅值调制。信号的采样频率为30 kHz。为使仿真信号更接近实际测试信号且不淹没双冲击现象, 内、外圈仿真信号中均加入了10 dB的白噪声。

图 4为内、外圈故障仿真信号的频域特征。由图可知, 由于传递函数H(f)等效为高通滤波器, 2种情况下频谱的能量均主要集中在共振频段。由于冲击间隔存在随机波动, 共振区的频谱表现为连续谱; 但在低频段, 信号仍呈现明显的离散谱线特征。

4 实验研究 4.1 实验设置

图 5为对应的轴承实验台、声发射信号采集器以及含不同故障的滚动轴承。实验过程中，转轴采用三相异步电机通过型皮带驱动。驱动端由1个圆柱滚子轴承支撑，测试端由2个相对安装的圆锥滚子轴承共同支撑。测试用的6220型轴承安装于测试端，节圆直径为140 mm，滚动体直径为25.4 mm，总数为10个。实验过程中通过轴承实验台下端的两级加力杠杆对测试轴承实施11.76 kN的径向载荷，方向竖直向下，即轴承的载荷区位于最上方。内圈故障为一个宽度约1.42 mm的槽型缺陷；外圈故障分别为周向宽度约3.14 mm的点蚀故障。测试过程中，将型号为α30的声发射传感器安置于轴承正上方的载荷区中间。为了消除传递路径的影响，声发射传感器直接置于轴承外圈上，中间加上耦合剂，使传感器能更好地采集到故障产生的声发射信号。测试信号经40 dB的前置放大器后，以2 MHz的采样频率持续采集5 s。

4.2 外圈故障分析

图 6为外圈故障测试信号的时域波形。由图可知：滚动体每次通过外圈故障时产生的冲击响应都包含两部分。每个冲击响应成分的幅值均呈现出小幅度的随机性。

图 7为外圈故障测试信号的短时Fourier变换结果。由图可知，双冲击响应的能量主要集中在350 kHz附近，虽然故障冲击的能量分布非常集中，但该频段的频谱表现为连续谱。

4.3 内圈故障分析

图 8为内圈故障测试信号的时域波形。由图可知：时域信号中含有非常明显的循环冲击响应现象，冲击间隔比较均匀。每个冲击响应都包含2个部分，其中前一个冲击响应的起始端存在明显的去应力特征；后一个冲击响应的起始端存在显著的回复应力特征。该现象表明：滚动体通过轴承缺陷时会产生双冲击响应现象，其中第一个冲击响应对应着滚动体进入缺陷时的去应力过程，而第二个冲击响应对应着滚动体离开缺陷时的回复应力过程。常用的单冲击响应模型不能描述该现象。

图 9为内圈故障测试信号的短时Fourier变换。由图可知，声发射信号在频域表现出显著的连续谱特征，能量主要集中在[100, 300] kHz频段内，非常接近声发射传感器的固有频率。从时频面上可以发现，去应力过程产生的声发射信号与回复应力产生的声发射信号的载波频率相差不大，该现象与文献[18]结论相差较大。该结果表明：与振动信号中的双冲击现象相比，声发射信号中双冲击现象的能量更集中，更有利于故障特征的提取。

5 结论

本文通过对轴承故障声发射信号产生机理的深入分析，提出了含双冲击响应的声发射信号解析模型，揭示了声发射信号的时域与频域特征，为滚动轴承的故障测试信号的准确描述提供了新手段，对轴承故障诊断的应用与发展具有较高的理论与实用价值。主要结论如下：

1) 当滚动体通过内圈或外圈故障时会产生双冲击响应现象。其中第一个冲击响应现象对应滚动体进入故障时产生的去应力过程；第二个冲击响应现象对应滚动体离开故障时产生的回复应力过程。这两个过程都会释放出突发型的声发射信号。

2) 在频域，故障信号的功率谱由低频段的离散谱和高频段的连续谱共同组成。双冲击响应的能量均集中在声发射传感器的共振频率附近。