2. 西北工业大学 计算机学院, 陕西 西安 710072
自Zadeh[1]提出模糊集之后, 学者们陆续提出了各类型模糊集拓展形式, 例如, 区间模糊集[2]、直觉模糊集[3]、Type-2模糊集[4]等。Torra等[5-6]认为专家在做决策时容易出现犹豫不决的现象, 故提出了犹豫模糊集的概念, 更全面地表达决策信息。在犹豫模糊集定义给出之后, 许多学者研究了大量犹豫模糊集信息的集结算法[7-10]。虽然犹豫模糊集能够表达专家犹豫不决的态度, 但对每个犹豫值的可信程度没有定量描述, 故Zhang等[11]提出了概率犹豫模糊集的概念, 它通过概率的大小描述每个犹豫值的可信程度, 使得决策信息更加全面、有效, 并针对决策问题, 提出了概率犹豫模糊加权平均算子和加权几何算子。武文颖等[12]定义了概率犹豫模糊数的Algebra运算和Einstein运算, 提出了概率犹豫模糊数的Algebra集成算子和Einstein集成算子; 梁玉英[13]将概率犹豫模糊元和Frank运算相结合, 提出了概率犹豫模糊Frank加权平均算子。Hamacher积与Hamacher和是一种范围更广的t-模和t-余模, 且Hamacher积与Hamacher和可通过自身参数实现运算的灵活性[14]。本文将Hamacher积与Hamacher和拓展到概率犹豫模糊数中, 提出相应集结算子, 具有重要的理论意义和实用价值。另外, Brauersan等[15-17]提出的MULTIMOOR方法是从比率法、全乘模型、参照点法这3个角度对方案进行比较和选择, 方法简单、易于理解。
为此, 本文给出了基于Hamacher范数的广义概率犹豫模糊MULTIMOORA决策方法。首先, 总结了概率犹豫模糊集的相关概念; 其次, 定义了概率犹豫模糊Hamacher运算, 并研究他们的运算性质; 在此基础上, 定义了概率犹豫模糊Hamacher加权平均算子和加权几何算子, 给出了集成算子的计算公式, 并研究了其性质; 最后, 结合MULTIMOORA方法对方案进行排序。通过实例分析验证算法的可行性和有效性。
1 基础知识定义1 令X={x1, …, xn}为一个给定的非空集合, 在上的一个概率犹豫模糊集(probabilistic hesitant fuzzy set, PHFS)Hp定义为
|
式中:h(px)={(h(k), p(k))|k=1, 2, …, l}为概率犹豫模糊元(probabilistic hesitant fuzzy element, PHFE), h(k)∈[0, 1]表示元素x属于Hp的隶属度, p(k)∈[0, 1]表示隶属度h(k)的可信概率, l表示h(px)中隶属度的个数。简记h(px)=h(p), 同时定义h(p)的补集为[11]
|
为了便于比较分析多个概率犹豫模糊元的大小, 规定如下:
注1 所有的概率犹豫模糊元h(p)={(h(k), p(k))|k=1, 2, …, l}中的元素h(k)按照由小到大顺序排列, 其中(h(k), p(k))表示第k大的隶属度。
注2 当h1(p), h2(p)中元素个数不相等时, 可以在个数较少的PHFE中增加元素个数, 使得h1(p), h2(p)的元素个数相同。
定义2 对任意概率犹豫模糊元h(p)={(h(k), p(k))|k=1, 2, …, l}, 其得分函数s(h)和偏差函数φ(h)定义为[11]
|
显然, s(h), φ(h)∈[0, 1]。
定义3 已知任意2个概率犹豫模糊元hi(p)={(hi(k), pi(k))|k=1, 2, …, l}, i=1, 2, 则[11]
当s(h1)>s(h2)时, 则h1≻h2;
当s(h1)=s(h2)时, 则
1) 当φ(h1) < φ(h2)时, 则h1≻h2;
2) 当φ(h1)=φ(h2)时, 则h1~h2;
3) 当φ(h1)>φ(h2)时, 则h1≺h2。
定义4 已知任意2个概率犹豫模糊元hi(p)={(hi(k), pi(k))|k=1, 2, …, li}(i=1, 2), 称
|
为概率犹豫模糊元h1(p)与h2(p)间的距离, 参数α, β, γ∈[0, 1]是为了防止大数吃小数。
定理1 已知任意2个概率犹豫模糊元hi(p)={(hi(k), pi(k))|k=1, 2, …, li}(i=1, 2), 则这2个概率犹豫模糊元间的距离满足下列性质:
1) 0≤d(h1(p), h2(p))≤1;
2) d(h1(p), h2(p))=0⇔h1(p)=h2(p);
3) d(h1(p), h2(p))=d(h2(p), h1(p))
4) d(h1(p), h2(p))≤d(h1(p), h3(p))+ d(h3(p), h2(p))
证明 1)非负性的证明:
2) 自反性的证明:
充分性:
|
必要性:
|
3) 对称性显然成立;
4) 三角不等式性的证明:
|
在概率犹豫模糊运算中, 需要计算概率犹豫模糊元中概率的乘积, 增加了计算的难度。对此, 武文颖等[12]提出了改进的标准化概率, 并验证了其有效性。在此基础上, 本文给出基于Hamacher型的概率犹豫模糊运算法则。
定义5 设hi={(hi(k), pi(k))|k=1, 2, …, l}, i=1, 2和h(p)={(h(k), p(k))|k=1, 2, …, l}均为PHFE, γ∈(0, +∞), λ>0, 基于Hamacher型的概率犹豫模糊运算法则如下:
|
式中, 
定理2 设h1(p)={(h1(k), p1(k))|k=1, 2, …, l}和h2(p)={(h2(k), p2(k))|k=1, 2, …, l}为任意2个PHFE, 则h1(p)⊕h2(p), h1(p)⊗h2(p), λh(p), hλ(p)均是PHFE。
2.2 广义概率犹豫模糊Hamacher加权平均算子定义6 已知任意一组概率犹豫模糊元hi(p)={(hi(k), pi(k))|k=1, 2, …, l}, i=1, 2, …, n, 权重向量w=(w1, w2, …, wn)T满足wi∈[0, 1], 
定理3 已知任意一组概率犹豫模糊元hi(p)={(hi(k), pi(k))|k=1, 2, …, l}, i=1, 2, …, n, 权重向量为w, 则运用GPFHWA算子得到的集成结果为PHFE, 且有
|
(1) |
式中, 
证明 1)运用数学归纳法证明公式(1)成立。当n=2时, 有
|
假设当n=m时, 公式(1)成立。则当n=m+1时
|
由数学归纳法可知, 公式(1)成立。
2) 现证明GPFHWA(h1(p), h2(p), …, hn(p))为PHFE。
记GPFHWA(h1(p), h2(p), …, hn(p))算子中第k大隶属度为多元函数g(h1(k), …, hn(k)), 令
|
上式表明隶属度函数g(h1(k), …, hn(k))的单调性与函数f(h1(k), …, hn(k))单调性一致。
对
|
对上式两边计算关于hi(k), i=1, 2, …, n的偏导数, 整理得
|
因此, g(h1(k), …, hn(k))具有单调非降性。当hi(k)∈[0, 1]时, 则有g(h1(k), …, hn(k))∈[0, 1]。
另外
定理4 已知hi(p)={(hi(k), pi(k))|k=1, 2, …, l}为PHFE, w为相关的权重向量, 则GPFHWA算子满足下述性质:
1) 当∀i, hi(p)=h(p)={(h(k), p(k))|k=1, 2, …, l}, 则GPFHWA(h1(p), …, hn(p))=h(p);
2) 设ai(p)={(ai(k), qi(k))|k=1, 2, …, l}, i=1, …, n为另一组PHFE, 当∀i, hi(k)≤ai(k), pi(k)≤qi(k), 则
|
3) 令
4) 置换不变性:设h′i(p)是hi(p)(i=1, …, n)的任意一个置换, 则
|
证明:
1) 由于∀i, hi(p)={(h(k), p(k))|k=1, 2, …, l}, 且
|
2) 在证明定理4时, 已证第k大隶属度g(h1(k), …, hn(k))为单调非降性, 故当∀i, hi(k)≤ai(k)时, 有g(h1(k), …, hn(k))≤g(a1(k), …, an(k)); 当pi(k)≤qi(k)
i=1, 2, …, n时, 
3) 根据GPFHWA(h1(p), …, hn(p))的单调非降性和幂等性可知
|
4) 置换不变性:由性质1知GPFHWA(h1(p),
定义7 已知任意一组概率犹豫模糊元hi(p)={(hi(k), pi(k))|k=1, 2, …, l}, i=1, 2, …, n, 权重向量w=(w1, w2, …, wn)T满足wi∈[0, 1], 
定理5 已知任意一组概率犹豫模糊元hi(p)={(hi(k), pi(k))|k=1, 2, …, l}, i=1, 2, …, n, 权重向量为w, 运用GPFHWG算子得到的集成结果仍为PHFE, 且有
|
(2) |
定理6 已知任意一组概率犹豫模糊元hi(p)={(hi(k), pi(k))|k=1, 2, …, l}, i=1, 2, …, n, 权重向量为w, 则GPFHWG(h1(p), …, hn(p))满足幂等性、单调非降性、有界性、置换不变性。
定理5和定理6的证明思路与定理3和定理4的证明思路基本一致。
3 决策应用 3.1 决策方法决策问题的方案集B={bi|i=1, …, m}, 属性集C={cj|j=1, …, n}, 属性权重向量w=(wj|j=1, …, n), 满足0≤wj≤1, 
下面, 将广义概率犹豫模糊Hamacher集成算子和MULTIMOORA方法相结合, 提出一种基于Hamacher范数的广义概率犹豫模糊MULTIMOORA决策方法。具体步骤如下:
Step 1 根据指标性质, 将初始决策矩阵H标准化处理, 得到标准决策矩阵H=(hij(p))m×n, 这里hij(p)={(hij(k), pij(k))|k=1, 2, …, l}, hij(k)= 
Step 2 将矩阵H每行看作一组概率犹豫模糊元, 分别采用GPFHWA算子和GPFHWG算子集成处理, 对方案bi, 令ui1=GPFHWA(hi1, hi2, …, hin), ui2=GPFHWG(hi1, …, hin)。
Step 3 应用MULTMOOR方法进行评价
1) 基于比率法对备选方案进行评价:ri1=s(ui1)(i=1, …, m), 其中s(ui1)表示ui1的得分函数值, ri1越大方案越优;
2) 基于全乘模型对各方案进行评价:
ri2=s(ui2)(i=1, …, m), 其中s(ui2)表示ui2的得分函数值, ri2越大方案越优;
3) 基于参照点法对各方案进行评价:ri3=
将比率法x1、全乘模型x2和参照点法x3作为评价属性, 建立决策矩阵R, 并将矩阵R标准化处理, 得到标准化决策矩阵R
|
式中, 当j=1, 2时, 
在此基础上, 方案bi的综合评价值为:Ei=
以文献[18-19]中的实例为研究对象, 专家对4位候选者bi(i=1, 2, 3, 4)进行面试, 评价指标分别是计算能力c1、学术能力c2和英语能力c3, 它们均为效益型指标, 指标权重向量为w=(0.39, 0.26, 0.35), 评估结果用概率犹豫模糊集的形式表示, 见表 1所示。
| 侯选者 | c1 | c2 | c3 |
| b1 | {(0.54, 0.15), (0.64, 0.25), (0.75, 0.1), (0.79, 0.5)} |
{(0.21, 0.05), (0.32, 0.325), (0.42, 0.125), (0.64, 0.25), (0.74, 0.25)} |
{(0.54, 0.5), (0.75, 0.25), (0.81, 0.15), (0.93, 0.1)} |
| b2 | {(0.39, 0.25), (0.57, 0.25), (0.68, 0.25), (0.94, 0.25)} |
{(0.34, 0.25), (0.61, 0.075), (0.66, 0.25), (0.71, 0.35), (0.82, 0.075)} |
{(0.26, 0.25), (0.46, 0.375), (0.66, 0.375)} |
| b3 | {(0.29, 0.1), (0.49, 0.35), (0.59, 0.3), (0.67, 0.25)} |
{(0.44, 0.25), (0.54, 0.125), (0.57, 0.25), (0.65, 0.125), (0.84, 0.25)} |
{(0.45, 0.25), (0.56, 0.25), (0.69, 0.25), (0.74, 0.25)} |
| b4 | {(0.14, 0.1), (0.36, 0.15), (0.41, 0.25), (0.61, 0.25), (0.72, 0.25)} |
{(0.47, 0.4), (0.54, 0.25), (0.61, 0.1), (0.66, 0.25)} |
{(0.39, 0.25), (0.51, 0.125), (0.72, 0.125), (0.74, 0.25), (0.84, 0.25)} |
Step 1 各方案集结:分别应用GPFHWA算子和GPFHWG算子得到候选人bi(i=1, 2, 3, 4)的综合属性信息ui1, ui2, 其中参数γ=0.5。
|
Step 2 应用MULTMOOR方法进行评价
1) 基于比率法的4位候选者评价:r11=0.675, r21=0.609, r31=0.588, r41=0.584;
2) 基于全乘法的4位候选者评价:r12=0.641, r22=0.553, r32=0.577, r42=0.557;
3) 基于参照点法的4位候选者评价:r13=0.011, r23=0.044, r33=0.031, r43=0.055;
建立决策矩阵R, 再获得标准决策矩阵R
|
综合属性值分别为:E1=1;E2=0.175;E3=0.292;E4=0.018;根据Ei值的大小对4位候选者的面试结果进行排序, 即b1≻b3≻b2≻b4。
3.3 参数γ的影响表 2给出了γ=0.3, 0.8, 1, 2, 10, 15时方案的综合属性值和排序结果, 从表 2可以看出, 虽然参数γ的取值不同, 但是方案的排序保持不变, 表明该方法具有非常好的稳定性。
| γ | b1 | b2 | b3 | b4 | 排序 |
| 0.3 | 1.000 | 0.181 | 0.297 | 0.025 | b1≻b3≻b2≻b4 |
| 0.8 | 1.000 | 0.169 | 0.285 | 0.010 | b1≻b3≻b2≻b4 |
| 1 | 1.000 | 0.166 | 0.281 | 0.005 | b1≻b3≻b2≻b4 |
| 2 | 1.000 | 0.165 | 0.275 | 0 | b1≻b3≻b2≻b4 |
| 10 | 1.000 | 0.179 | 0.273 | 0 | b1≻b3≻b2≻b4 |
| 15 | 1.000 | 0.184 | 0.272 | 0 | b1≻b3≻b2≻b4 |
为了验证本文方法的有效性, 将该方法与文献[18-19]的实验结果进行比较。其中, 文献[18]在定义模糊熵、犹豫熵和总熵的基础上, 结合考虑决策者偏好满意度公式和TOPSIS方法; 文献[19]提出了基于关联系数的概率犹豫模糊多属性决策模型。表 3给出了基于3种方法的方案排序结果。
从表 3可以看出, 本文方法与文献[18]和文献[19]的排序结果一致。该方法较文献[18-19]的优势在于:①本文方法的计算过程简单且易于理解, 能够从多个角度对方案进行比较和选择; ②文献[18]定义了正、负理想概率犹豫模糊集, 理想方案在现实问题中很难实现, 且在概率犹豫模糊集中定义的合理性还有待解决; ③文献[19]中2个概率犹豫模糊集间的相关系数计算过程复杂且耗时。
4 结论针对概率犹豫模糊信息决策问题, 提出了基于Hamacher范数的广义概率犹豫模糊MULTIMOORA决策方法。首先, 将Hamacher型三角模和余模推广到概率犹豫模糊数中, 定义了概率犹豫模糊数Hamacher运算, 并探讨了概率犹豫模糊数Hamacher运算的性质; 在此基础上, 提出了GPFHWA算子和GPFHWG算子, 并研究了其性质; 最后, 通过MULTIMOORA方法对各方案进行比较和选择。在研究内容上, 扩展了Hamacher算子及其应用范畴, 方案排序集结了比率系统法、全乘法、参照点法, 使得结果更加合理, 丰富了概率犹豫模糊决策理论和方法。仿真实验表明了集成方法的有效性和可行性。
| [1] | ZADEH L A. Fuzzy Sets[J]. Information and Control, 1965, 8(3): 338-353. |
| [2] | TURKSEN I B. Interval Valued Fuzzy Sets Based on Normal Forms[J]. Fuzzy Sets and Systems, 1986, 20(2): 191-210. |
| [3] | ATANASSOV K T. Intuitionistic Fuzzy Sets[J]. Fuzzy Sets and Systems, 1986, 20(1): 87-96. |
| [4] | HU J H, XIAO K L, CHEN X H, et al. Interval Type-2 Hesitant Fuzzy Set and Its Application in Multi-Criteria Decision Making[J]. Computers & Industrial Engineering, 2015, 87(9): 91-103. |
| [5] | TORRA V, NARUKAWA Y. On Hesitant Fuzzy Sets and Decision[C]//The 18th IEEE Int Conf on Fuzzy Systems, 2009: 1378-1382 |
| [6] | TORRA V. Hesitant Fuzzy Sets[J]. International Journal of Intelligent Systems, 2010, 25(6): 529-539. |
| [7] | ZHANG X L, XU Z S. The TODIM Analysis Approach Based on Novel Measured Functions under Hesitant Fuzzy Environment[J]. Knowledge-Based Systems, 2014, 61(2): 48-58. |
| [8] | JIN F F, NI Z W, CHEN H Y. Note on "Hesitant Fuzzy Prioritized Operators and Their Application to Multiple Attribute Decision Making"[J]. Knowledge-Based Systems, 2016, 96(C): 115-119. |
| [9] | LIAO H C, XU Z S, ZENG X J. Novel Correlation Coefficients between Hesitant Fuzzy Sets and Their Application in Decision Making[J]. Knowledge-Based Systems, 2015, 82(C): 115-127. |
| [10] | SUN G D, GUAN X, YI X, et al. An Innovative TOPSIS Approach Based on Hesitant Fuzzy Correlation Coefficient and Its Applications[J]. Applied Soft Computing, 2018, 68: 249-267. |
| [11] | ZHANG S, XU Z, HE Y. Operations and Integrations of Probabilistic Hesitant Fuzzy Information in Decision Making[J]. Information Fusion, 2017, 38(C): 1-11. |
| [12] |
武文颖, 李应, 金飞飞, 等. 基于概率犹豫信息集成方法的群决策模型[J]. 模式识别与人工智能, 2017, 30(10): 894-906.
WU Wenying, LI Ying, JIN Feifei, et al. Group Decision Making Model Based on Probabilistic Hesitant Fuzzy Information Aggregation Operations[J]. Pattern Recogntion and Artificial Intelligence, 2017, 30(10): 894-906. (in Chinese) |
| [13] |
梁玉英. 基于概率犹豫模糊信息集成算法的数据产品选择[J]. 计算机工程与应用, 2019, 55(3): 219-224.
LIANG Yuying. Selection of Data Products Based on Probabilistic Hesitant Fuzzy Information Aggregation Algorithm[J]. Computer Engineering and Applications, 2019, 55(3): 219-224. (in Chinese) |
| [14] |
刘卫峰, 常娟, 何霞. 毕达哥拉斯模糊Hamacher集成算子及其决策应用[J]. 系统工程理论与实践, 2018, 38(6): 1566-1574.
LIU Weifeng, GHANG Juan, HE Xia. Pythagorean Fuzzy Hamacher Aggregation Operators and Its Application to Decision Making[J]. Systems Engineering-Theory & Practice, 2018, 38(6): 1566-1574. (in Chinese) |
| [15] | BRAUERS W K M, ZAVADSKAS E K. The MOORA Method and Its Application to Privatization in a Transition Economy[J]. Control Cybern, 2006, 35(2): 445-469. |
| [16] | BRAUERS W K M, ZAVADSKAS E K. MULTIMOORA Optimization Used to Decide on a Bank Loan to Buy Property[J]. Technological & Economic Development of Economy, 2011, 17(1): 174-188. |
| [17] | BRAUERS W K M, BALEZENTIS A, BALEZENTIS T. MULTIMOORA for the EU Member States Updated with Fuzzy Number Theory[J]. Technological & Economic Development of Economy, 2011, 17(2): 259-290. |
| [18] |
朱峰, 刘玉敏, 靳琳琳. 基于关联系数的概率犹豫模糊多属性决策方法[J]. 统计与决策, 2019, 18(8): 41-44.
ZHU Feng, LIU Yumin, JIN Linlin. Probabilistic Hesitant Fuzzy Multi-Attribute Decision-Making Method Based on Correlation Coefficient[J]. Statistics & Decision, 2019, 18(8): 41-44. (in Chinese) |
| [19] |
刘玉敏, 朱峰, 靳琳琳. 基于概率犹豫模糊熵的多属性决策方法[J]. 控制与决策, 2019, 34(4): 861-870.
LIU Yumin, ZHU Feng, JIN Linlin. Multi-Attribute Decision Method Based on Probabilistic Hesitant Fuzzy Entropy[J]. Control and Decision, 2019, 34(4): 861-870. (in Chinese) |
2. School of Computer Science, Northwestern Polytechnical University, Xi'an 710072, China
