面齿轮传动是一种锥齿轮与直齿圆柱齿轮(小轮)啮合的传动机构^[1]，由于具备某些特定的传动性能，在直升机主减速器、汽车差速器等传动系统中获得了应用。但由于面齿轮加工过程和刀具复杂，致使加工成本高昂，限制了该传动机构的广泛应用。面齿轮的传统加工方法依赖于定义面齿轮齿形曲面的插齿法，一方面需要以插齿刀的渐开线作为各种刀具切削曲面的产形线^[2-4]，并且为了将啮合局部化，插齿刀一般比小轮多1~3个齿^[1]，因此刀具廓形的修正、修整费时费力且通用性差；另一方面由于刀具常常为渐开线螺旋面或旋转曲面，刀具与待加工齿面在任意瞬时均为点接触，从而除连续分度加工效率较高之外，单齿分度的加工效率难以满足面齿轮大批量生产的需求^[5]。另外面齿轮传统的加工方法还伴随着复杂机床的使用^[6]。

鉴于此寻求利用通用刀具的面齿轮线接触单齿分度、甚至连续分度的加工方法，已成为一项重要课题。Kubo等从齿条、齿轮和面齿轮啮合的角度出发，提出了一种用平面刀具加工新型锥齿轮的方法，加工效率提高了10倍，并认为齿轮的齿廓是加工方法的函数^[7]，但主要针对的是锥齿轮。唐进元等提出了一种面齿轮的数控插铣方法^[8]，其课题组还研究了面齿轮的刨削方法^[9]，这两种方法实现了刀具的通用，但刀具均是沿插齿刀渐开线进行仿形加工，因此属于点接触加工方法。格里森的赫尔曼博士提出了一种基于高阶滚比的平面刀具加工面齿轮的方法，其中高阶滚比用于逼近插齿刀的渐开线^[10]，并阐述了这种方法连续分度加工面齿轮的原理^[11]，但是齿面偏差大、呈现两片分离的接触印痕。为实现连续的接触印痕，毛石民等针对这种方法提出按预定轨迹走刀可以控制接触印痕，但不能在全齿宽上降低齿面偏差^[12]。本文笔者阐述了平面刀具运动规律的综合方法，并对其几何啮合性能进行了预控^[13]，依然存在齿面偏差大，接触椭圆较短的问题。实际上从面齿轮的齿面形状上看，其齿廓曲线特别接近于直线，虽然Buckingham认为面齿轮的轮齿为变位变齿厚齿条^[14]，至目前将此认识用于面齿轮的加工还未得到充分的开发。本文基于面齿轮的插齿法，提出面齿轮的可展直纹面，论述其展开方式和过程、阐述其加工原理与方法，说明其相对面齿轮传统齿面的差异并比较其几何啮合性能。

1 面齿轮齿面上的可展直线族 1.1 面齿轮的齿面方程

图 1所示为面齿轮2与插齿刀s(i=s)或小轮1(i=1)啮合的示意图, 设插齿刀或小轮的齿面位置、法向矢量分别为R_i(θ_i, u_i), n_i(θ_i, u_i), θ_i、u_i为齿面的曲面参数。若由插齿刀加工面齿轮, 则面齿轮传统理论齿面Σ₂的位置、法向矢量可分别表示为

(1)

(2)

式中：M_2s^s是插齿刀坐标系S_s到面齿轮坐标系S₂的坐标变换矩阵(上标s表示由插齿刀展成, 坐标系均为右手笛卡尔坐标系)；γ为轴夹角；L₀=(L₁+L₂)/2, L₁、L₂分别是由根切和变尖条件确定的面齿轮的内径和外径；r_ps是插齿刀分度圆半径, 法矢n_s第四个元素为0；φ_s, φ₂分别是展成过程中插齿刀与面齿轮的转角, 满足齿数比关系

(3)

N_s, N₂分别是插齿刀与面齿轮的齿数, 转角φ_s与曲面参数θ_s, u_s满足啮合方程

(4)

(1)~(4)式完整地描述了面齿轮的插齿展成过程及其齿面法矢, 其详细信息可见文献[1]。

1.2 齿面上的直线族

为了说明理论齿面Σ₂可近似为一系列直线构成的可展直纹面, 可按如下方式在Σ₂上建立空间直线方程。

1) 面齿轮节锥面O₂^*P上齿面Σ₂的任一点可用(5)式表示, 式中R_2i(i=x, y, z)是矢量R₂在其坐标轴i2上的投影, j=1, 2, …, n, n是不小于2的正整数。通过求解(5)式可以得到面齿轮齿面Σ₂在其节锥面上离散点的位矢数值, 设为R_2j^*。

(5)

2) 引入与齿面Σ₂相同的另一齿面Σ₂^#, 其位矢和曲面参数由上角标#予以标记, 则可以建立如下直线方程

(6)

式中，m为面齿轮副的模数, 式中将直线另外2个点分别限定在齿顶和齿根上, 第五和第六个方程表示直线。上述直线相对坐标轴i2(i=x, y, z)的方向角可以用(7)式表示

(7)

1.3 面齿轮齿面上的直线族算例

算例1  面齿轮副的参数为:压力角α=25°; 轴夹角γ=90°; L₁=475 mm; L₂=565 mm; 模数m=6.35 mm; 插齿刀齿数N_s=30;面齿轮齿数N₂=160;小轮齿数N₁=30。

利用(5)式、(6)式求解的面齿轮齿面上的直线s_j如图 2所示, c_j为理论齿面Σ₂的齿廓曲线, (6)式的收敛精度为10^-9, 由此可知面齿轮齿面的齿廓曲线c_j从数值解上看可以认为是直线s_j。图 3是该直线相对面齿轮理论齿面Σ₂的法向距离, 除内端齿顶处直线s_j相对Σ₂略有差异之外, 其他部分基本相同, 进一步说明c_j可以认为是直线s_j。

图 2中, Σ_s¹, Σ_s²均属于插齿刀理论渐开线齿面Σ_s, 前者边界为设计齿面边界, 后者边界为与Σ₂完全共轭的边界。L_2s是ϕ_s=ϕ₂=0°时两曲面Σ₂, Σ_s的接触线, 为使其经过内端齿顶点和外端齿根点, 图 2和图 3中, L₁=477.72 mm、L₂=579.32 mm。

直线s_j与各坐标轴的方向角如图 4所示, 与x₂, z₂的夹角之和始终为90°, 即α_x+α_z=90°, 但两夹角此消彼长, 意味着直线c_j的压力角是不断变化的。直线s_j与y₂不完全垂直, 其最小夹角为88.02°, 最大夹角为90.74°, 这意味着, 即使将直线s_j视作为垂直于y₂的直线并由该直线族表达面齿轮的齿面, 由此引入的齿面偏差也将是一个微观量。

2 直线展成面齿轮齿面 2.1 渐开线与变位变压力角直线的共轭

图 2中渐开线t_j与齿廓曲线c_j完全共轭, c_j可以等同于s_j, 由该图可以得出以下几点认识:

1) 渐开线t_j和0°接触线L_2s均位于齿面Σ_s上, 从端面上看, L_2s是渐开线。面齿轮内端(图 2左侧)齿顶齿厚恰好等于插齿刀齿根齿槽宽, 面齿轮外端(图 2右侧)齿根齿厚恰好等于插齿刀齿顶齿槽宽。

2) 渐开线t_j自内端至外端与直线c_j啮合过程中不断改变始点与终点, 在内端主要是齿根部渐开线(考虑根切), 外端主要是齿顶部渐开线, 这意味着在不同截面(垂直z_s)L_j上, 渐开线是变位的。

参考图 1, 插齿刀(小轮)与面齿轮的啮合, 可以视为以O₂P作为假想节锥面的两圆锥齿轮啮合, 在O₂P上两轮瞬时接触点的线速度相等。因此从截面L_j上看, 插齿刀(小轮)相当于与变位齿条啮合, 又由于面齿轮是一刚性体, 由截面L_j截取的齿条位置并未改变(齿高未变), 则该齿条只能变压力角。

另外点P是插齿刀(小轮)节圆柱面与面齿轮节锥面O₂^*P的唯一节点, 且在P点有

(8)

由于齿面方程、三角函数的非线性, 点P不一定处于齿宽的中间, 但接触轨迹一般位于P点截面处。进一步根据图 1和(8)式还有

(9)

3) 假设用直线s_j替换c_j并使其相切于L_2s, 自内端至外端, s_j连续改变其压力角就构成了面齿轮的新齿面。显然若将s_j绕L_2s转至同一角度, 如0°, 再将L_2s展成直线, 则该新齿面就被展成了平面, 因此从这个角度说, 该新齿面属于可展直纹面, 并记为Σ₂^D。

4) 渐开线t_j与齿廓曲线c_j啮合, t_j上各点不在同一截面上, 即有一定的挠曲, 反之若t_j上各点在同一截面上, 则c_j有一定的挠曲。

该现象通过图 5解释:在面齿轮自cφ₂转至aφ₂的过程中, 截面Π上的渐开线t_j与齿面Σ₂的啮合轨迹为q^*de^*, 并非qde, 因为c_j绕z₂旋转, 其上的点q、e以半径|pq|=|be|=|gd|=L_j旋转, 因此|q^*q|, |e^*e|就是端面渐开线t_j与c_j啮合过程在齿顶和齿根产生的挠曲量。该挠曲量是一微量, 并且随着旋转半径(即传动比N₂/N₁)的增大而减少, 而面齿轮传动常用于大传动比场合。N₁是小轮齿数, 本文中N₁=N_s。

2.2 由渐开线展成面齿轮齿面

图 6所示为渐开线与变位变压力角直线的关系, 轴线y_a始终与渐开线相切于O_a, 切点法矢与y_s相交于O_b, O_b到O_s的距离r_Ob与r_ps之差就是变位量, θ_s是该直线压力角的变化量。据该图有

(10)

(11)

式中, α₀=0.5π/N_s-tanα+α, 当O_b始终在节锥面O₂P上时, 根据(9)式和图 1可得(12)式。

(12)

设y_a上动点的矢量为R_a=[0   u_a   0   1]^T, 将该矢量从坐标系S_a变换到S₂中, 即可得到面齿轮齿面Σ₂^Dinv(上标Dinv表示通过渐开线表达的可展直纹面)的位矢方程

(13)

式中, θ=α+θ_s。实际上由(13)式可知, R_sa^Dinv所表示的是一平面直线族, 由该直线族可以包络出平面渐开线。坐标变换矩阵M_2s则使该平面直线族沿齿宽方向重新排列为空间直线族。(13)式通过双参数表达了面齿轮的可展直纹面Σ₂^D, 其法矢可以表示为

(14)

2.3 由齿条展成面齿轮齿面

如上所述, 面齿轮齿面可以视为沿齿宽方向排列的包络平面渐开线的直线族, 因此从齿条与圆柱齿轮的啮合出发, 亦可形成该直线族。

如图 7所示, 当齿条从其初始位置移动r_psφ_s时, 插齿刀渐开线转过转角φ_s, 从坐标系S_s中看, 就产生了一条变位变压力角的直线, 并且此时亦有|O_bO_s|=r_Ob。需要注意的是:由于是要取包络渐开线的直线族, 而不是取直线族的包络, 因此不能建立表示参数u_a、φ_s函数关系的啮合方程, 本文此处u_a是表示直线y_a的独立参数, φ_s是表示从基圆上展开的渐开线的独立参数。此时M_2s中的θ_s用φ_s替换。

图 7中w_t是齿槽宽, 同样将矢量R_a=[0   u_a   0   1]^T从坐标系S_a变换到S₂中, 即可得到面齿轮齿面Σ₂^Drac(上标Drac表示通过齿条表达的可展直纹面)的位矢方程式(15), 进一步求偏导得其单位法矢。

(15)

2.4 直线展成面齿轮齿面算例

图 8所示为根据算例1参数计算的由直线展成的面齿轮全齿高齿面Σ₂^Dinv相对其理论齿面Σ₂的法向距离, 由齿面Σ₂^Dinv建立的面齿轮模型如3.2节图 11所示。最小法向距离为-5.8 μm, 位于外端齿顶, 最大法向距离为189.4 μm, 位于内端齿根, 沿0°接触线L_2s(即沿内端齿顶到外端齿根的对角线)齿面Σ₂^Dinv相对Σ₂的法向距离最小, 沿内端齿根到外端齿顶这一对角线齿面Σ₂^Dinv偏离Σ₂的程度最大。负值法向距离表示Σ₂^Dinv上的点位于Σ₂内部, 正值则反之。正值法向距离随内端内径L₁的减小而增大, 即根切愈严重正值法向距离愈大。而在节点L_p=508 mm截面处, 法向距离极值分别为-1.4 μm和0.0 μm。

由渐开线和齿条展成的齿面Σ₂^Dinv, Σ₂^Drac是相同的, 两数值齿面之间法向距离数量级为10^-6 μm。

随齿数比的变化, 在内端L₁的齿根和外端L₂的齿顶Σ₂^Dinv相对Σ₂的法向距离δ₁(对应内端L₁的齿根)、δ₂(对应外端L₂齿顶)的变化如图 9所示, 随齿数比和L₂的增大, 法向距离δ₂逐渐趋近于0 μm, 这与2.1节的第4)点认识是一致的。由于所取内径L₁小于根切条件确定的半径, 齿面偏差偏大, 但总体上未超过160 μm。由于齿数比和内径L₁取值不同于算例1参数, 图 8和图 9中内端齿根法向距离略有差异。

据上述可知直线展成的面齿轮齿面不仅保持了很高的齿面精度, 最大法向距离不到模数的1/30。这一结论的意义在于:用可展直纹面替代面齿轮的传统理论齿面具有可行性, 从而利用直线刃刀具加工面齿轮成为了可能。进一步, 基于上述原理和下文所阐述的加工方法, 用直刃刀具单齿分度加工面只有一个运动参数, 并且对单齿来说是连续的加工方式, 即无须在齿宽方向不断停留以展成齿顶到齿根的一小片区域, 无论切齿或磨齿, 效率得到了大幅提高。再进一步将图 10所示刀具制作为直线蜗杆刀具, 有望实现单侧连续分度加工面齿轮, 但还有待进一步的研究。

3 直刃刀具加工面齿轮 3.1 直刃刀具

图 10所示为基于直线展成面齿轮所用的一种直刃刀具, 该刀具的产形线为直线SL, 将该直线绕刀具轴线z_p旋转, 就得到了刀具的工作锥面Σ_p。显然若用合金钢等材料制作刀具并在径向开制排屑槽, 可以用于切削面齿轮工件, 若在锥面上覆盖立方氮化硼等硬质材料, 可以用于磨削面齿轮工件。

直线SL的锥角为α_p, 其上的固定点和动点相对坐标系S_p的关系如图 10所示, 设直线SL绕z_p旋转的转角为θ_p, 则Σ_p的位矢方程可以表示为

(16)

锥面Σ_p的单位法矢为

(17)

3.2 直刃刀具加工面齿轮的原理及其齿面

图 11所示为用上述直刃刀具加工面齿轮的原理的示意图, 涉及6个运动, 具体为:①刀具沿y₂轴的平移C_y, 其作用在于在齿宽方向排列变位变压力角直线; ②刀具沿z₂轴的平移C_z, 用于提供齿高方向的变位量; ③刀具沿x₂轴的平移C_x, 相当于齿轮齿条啮合时齿条的平移运动; ④刀具绕x_p轴的旋转C_B, 改变刀具倾角以获得不同角度的直线; ⑤面齿轮绕自身轴线z₂的分度运动C_A; ⑥刀具绕自身轴线z_p的旋转Ω_p, 用于切削工件。显然运动C_A、Ω_p与齿面的展成无关, 平移运动参数C_x, C_y, C_z都是C_B=φ_s的函数。虽然采用单侧齿面和单齿分度加工, 但刀具产形面与待加工齿面是线接触, 因此效率不低。图 11与图 7和图 1所表达的运动形式虽有差异(其目的是为了简洁地表达刀具与工件的相对运动关系), 但其本质是相同的。

参考图 2以及可展直纹面相对理论齿面的法向距离图 8可知, 当N₁=N_s时, 小轮渐开线齿面与可展直纹面的啮合极易出现线接触现象, 为此通过齿向修形将接触限制在局部十分必要。如图 11所示当令直刃刀具中心沿抛物线P运动时, 即可实现可展直纹面的齿向抛物线修形, 图中a_p是抛物线修形系数, p₀用于控制抛物线顶点的位置, P_m=a_p(| O₂O_s|-p₀)²(此时θ_s=ϕ_s)是该抛物线的表达式。

图 7表示了直刃刀具坐标系S_p与插齿刀坐标S_s之间的关系, 由S_p到S_c的坐标变换矩阵为

式中:α_p0=α_p-α; w_tx=-0.5w_tcos²α; u_prx=u_p0sinα- r_p·sinα_p0; w_ty=0.5w_tcosαsinα; u_pry=u_p0cosα+r_pcosα_p0。从S_c到S_s的坐标变换矩阵为

利用(13)式中的坐标变换矩阵M_2s(此时θ_s=ϕ_s), 刀具锥面Σ_p在S₂中的曲面族为

(18)

上标p表示直刃刀具加工的齿面, 其法矢为

(19)

联系(18)式中2个曲面参数和1个运动参数的啮合方程可以表示为

(20)

联立(18)~(20)式并应用边界条件即可求解用直刃刀具加工的面齿轮齿面Σ₂^p。

显然矩阵M_2p=M_2sM_scM_cp的前三阶系数矩阵L_2p表达了直刃刀具在坐标系S₂中的旋转, 转角变量为φ_s, 该矩阵第四列的第一、二、三个元素分别表达了直刃刀具在S₂中的移动C_x, C_y, C_z。

4 齿面加工与TCA算例 4.1 齿面的加工

此处及下文均以算例1的参数作为齿轮副的参数。刀具参数为r_p=18 mm, u_p0=11.23 mm, α_p=45°。

图 12所示为根据(18)~(20)式计算的由直刃刀具锥面Σ_p展成的面齿轮工作齿面Σ₂^p(其宏观轮齿模型可参考图 13)相对理论齿面Σ₂的法向距离。根据图 13可以说明以下问题:

1) 法向距离小:工作齿面最小法向距离仅有-85.7 μm, 不到模数的1/70, 其分布规律与图 8相似。过渡曲面的法向距离未示出, 其最小距离为-323.6 μm, 约是模数的1/20, 但过渡曲面不参与齿轮的啮合, 对啮合性能无影响。所有法向距离均为负值, 说明Σ₂^p与Σ₁的啮合不存在干涉问题。

2) Σ₂^p与Σ₂^Dinv(Σ₂^Drac)不同:图 8所示Σ₂^Dinv(Σ₂^Drac)相对Σ₂的法向距离有正有负, 但图 12所示法向距离全为负值, 说明Σ₂^p不同于Σ₂^Dinv(Σ₂^Drac)。由于Σ₂^Dinv(Σ₂^Drac)直接由包络渐开线的平面直线族沿齿宽排列而成, 该直线族与渐开线均相切, 但不要求直线移动速度与法矢垂直; 对于Σ₂^p, 要求锥面Σ_p移动速度须垂直于其法矢, 须满足(20)式。

3) 存在根切:随面齿轮内径的减小, 齿面Σ₂^Dinv(Σ₂^Drac)偏离Σ₂的程度越来越大, 并受刀具参数的影响。例如当进一步增大刀具的半径r_p后, 图 12内端齿根部的最小法向距离将进一步减小, 根切导致求解结果发散。因此需要根据根切, 合理设计刀具参数, 若保持内端根部相同, 则刀具半径和锥角的取值是此消彼长的关系。限于篇幅, 本文对此问题不做进一步的展开。

另外对于直刃刀具展成的面齿轮齿面, 齿数比对齿面法向距离的影响与图 9类似, 亦不再赘述。

4.2 TCA结果

齿面接触分析算法和所用坐标系与文献[1]中第17章的相同。当无齿向修形齿面Σ₂^p与小轮渐开线齿面Σ₁啮合时, 同一转角下接触点不唯一, 并呈现发散的接触路径, 为避免误解未示出其结果。

面齿轮齿向修形齿面Σ₂^p与小轮齿面Σ₁啮合的几何接触特性如图 13所示, 其中图 13a)至13b)中的齿向修形系数为:a_p=0.000 45, p₀=-12 mm, 其目的是将接触路径限制在节点P附件, 以便与Σ₂的接触特性比较; 图 13c)至13d)中a_p=0.000 45, p₀=-2 mm, 以将接触路径限制在齿宽中间并获得连续传动误差。

由图 13, 可以看出:①通过齿向修形和选取不同的抛物线顶点参数, 可以将接触路径限制在不同的齿向位置从而获得局部接触, 图示接触线端点到齿面的法向距离小于0.006 35 mm。为进一步降低对安装误差的敏感性, 可以增大a_p。②将接触路径限制在齿廓方向, 产生了抛物线几何传动误差; 当接触路径趋于齿宽的中央时, 传动误差逐渐变为对称的抛物线; 总体上外端传动误差的幅值小于内端传动误差的幅值。结合图 12可知, 齿面Σ₂^p与Σ₁在齿廓方向是局部共轭的。

图 13a)的接触路径与理论齿面的接触路径(N_s-N₁=1~3)几乎相同, 但前者呈现出传动误差(见图 13b)), 后者传动误差一般为0, 为减振降噪, 后者通常需要齿廓抛物线修形以预置抛物线传动误差^[2], 即类似于图 13c)，13d)所示路径和传动误差。

综上Σ₂^p与Σ₁的啮合呈现的特性是:齿廓方向是局部共轭的, 齿宽方向须修形以将接触限制在局部, 因此利用齿面主动设计^[15]等方法进一步预控其啮合性能的空间巨大。面齿轮齿向修形可展直纹面的几何啮合性能与理论齿面的几何啮合性能相当。

5 结论

1) 基于传统的插齿方法，建立面齿轮齿面，在该齿面上建立了空间直线的方程，基于数值计算，说明了面齿轮齿面可以视为空间变压力角变位直线族。

2) 根据面齿轮与小轮的啮合，阐述了渐开线与变位变压力角直线的啮合过程，并对啮合的几何关系进行了说明，建立了面齿轮可展直纹面，数值计算表明，在齿数比较大时，用可展指纹面替代面齿轮理论齿面具有可行性，并带来加工优势。

3) 根据面齿轮可展直纹面这一结论，提出了一种直刃刀具加工面齿轮的方法，设计了直刃刀具，阐述了直刃刀具加工面齿轮的原理，建立了直刃刀具加工面齿轮的齿面位矢方程，数值计算表明相对传统插齿法的齿面，齿面法向距离属于微观量，并且刀具与待加工齿面是线接触的，凸显出这种方法高效较准确加工面齿轮的重要意义。

4) 对直刃刀具加工的齿面和小轮标准渐开线齿面的啮合进行了齿面接触分析，通过适当的齿向修形可以将接触限制在局部，并可获得较理想的几何啮合性能。但未来为获得更好的几何啮合性能，应用齿面局部综合法、齿面差曲面主动设计法，有望进一步优化其几何啮合性能甚至承载性能。