2. 航空制导武器航空科技重点实验室, 河南 洛阳 471009;
3. 北京宇航系统工程研究所, 北京 100076;
4. 西北工业大学 航天学院, 陕西 西安 710072
现代战争正在由信息化时代向着智能化时代转变，空空导弹作为空中战场的核心武器，其性能和制导技术在空战中有着至关重要的作用[1]。美国为了夺取军事优势，构建了“网络中心战”作战体系，并不断地完善，朝着“分布式作战”、“决策中心战”等新的方向转变。在转变的过程中美国提出了大量的新技术和新装备，以提高作战能力，进一步加强作战优势，战场中出现了新环境和新目标。随着新型干扰的出现，空战环境的变得更为复杂。空中目标性能的提高，数量和种类的增多，对空空导弹的性能提出了新的更高的要求。
传统空空导弹作战都是单对单的，导弹在平台或者体系的信息支援下获取目标信息，通过自身的制导控制系统，完成对于目标的精确打击。为了适应未来智能化战争的新需求，采用多枚空空导弹协同攻击，构建智能化制空作战的空空导弹群体，能够大大提高反隐身，抗干扰等制空作战能力。空空导弹协同制导已经成为目前研究的新方向。
在空空导弹协同制导问题[2]中，要求获得最小的脱靶量[3]，同时满足导弹的末端攻击角、碰撞时间等末端约束条件[4]。控制末端攻击角能够有效提高战斗部杀伤能力，而通过导弹间通信拓扑使得碰撞时间相同，可实现饱和攻击[5]；协同制导技术作为协同攻击中的核心技术，在协同作战中起着至关重要的作用，因此对导弹协同制导的研究具有非常重要的意义[6-8]。
近年来，在协同制导技术研究方面，各国学者提出了许多先进的制导律设计方法，包括最小时间控制、最小能量控制、冲击时间控制和冲击角控制等[9-11]。对于单枚导弹，上述方法已经达到较高的精度。而对于空中大机动目标的制导问题，采用多枚导弹协同制导，能够达到更好的攻击效果。然而，由于初始条件的不同和各导弹之间的通信限制，对机动目标的同时攻击更加困难[12]。
在现有文献中，很多学者提出了不同典型方法来研究多枚导弹的协同制导问题。具有代表性的一类是将剩余时间作为协调变量的攻击时间协同的制导律，如文献[13]中设计了线性系统的攻击时间约束的闭环制导律，它可以导引多枚导弹在适当时间同时攻击静止目标。文献[14]提出了时间约束条件的扩展，同时控制了攻击时间和攻击角度。对于上述2种方法，需要对每枚导弹进行剩余时间控制。为了提高攻击时间约束的制导律性能，文献[15]提出了基于通信协议的分布式二维协同制导模型，根据一致性理论设计了协同制导律。
另一类方法是，采用“领弹-从弹”模型来描述多导弹协同制导。如文献[16]在传统比例导引的基础上，提出了一种“领弹-从弹”策略来实现多枚导弹的协同攻击，将领弹的剩余距离和弹道偏角误差作为参考状态变量。文献[17]则提出设置1枚虚拟领弹，从而把时间约束转换为非线性化跟踪问题。文献[18]设计了反馈线性化的协同制导律，使每个从弹的攻击时间都能够在有限时间内收敛。
文献[19]采用剩余时间估计方法，提出了一种角度约束的制导律来实现在指定时间内的截获，是一种用于三维场景中分布式导引律。文献[20]提出一种基于扩展比例导引制导律的协同策略，使得低速拦截器对高速目标实施齐射攻击。这些都是解决三维作战中运动目标协同制导问题的初步尝试。
综上，目前的研究中，大多只考虑了二维平面，设计了二维平面内的多导弹协同制导律。在三维作战中，协同制导策略情况较为复杂，对于三维空间内的多导弹同时攻击高速大机动目标的分布式协同制导律较为少见。
针对上述问题，本文重点研究了多导弹协同的三维制导律，提出了一种针对三维空间内高速大机动目标的协同制导律。其中，视线方向对文献[13]中的剩余时间给出了三维情况下的表达式，将其作为协调变量加入协同制导模型，并根据有限时间理论设计了视线方向的制导律。将视线法向分为侧向和纵向，在这2个平面分别采用了快速趋近律来设计快速终端滑模制导律，并对末端期望的弹道倾角和弹道偏角进行约束。最后将本文提出的方法进行仿真分析，验证了本文方法的有效性和合理性。
1 模型建立图 1为三维空间制导示意图, 其中导弹和目标的质心分别是M和T, 坐标系Mxyz与参考惯性坐标系平行, Mx4y4z4为视线坐标系, r为目标和导弹的相对距离，qε与qβ分别表示视线倾角和视线偏角[19, 21]。
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| 图 1 三维空间弹目几何关系示意图 |
导弹与目标的相对速度矢量在视线系下的表达式为
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(1) |
对(1)式求导可得
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(2) |
式中：
将向量ω进行叉乘转化为矩阵，形式如下所示：
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(3) |
结合(2)式和(3)式可得
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(4) |
因此得到三维制导模型下弹-目相对运动方程：
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(5) |
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(6) |
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(7) |
式中，aT=[aTraTεaTβ]T, aM=[aMεaMεaMβ]T是目标加速度的矢量和导弹加速度的矢量在视线坐标系下的投影。
规定状态变量为:x1=r, x2=, x3=qε-qεd, x4=ε, x5=qβ-qβd, x6=β其中, qεd, qβd分别为期望的终端视线倾角和终端视线偏角。结合方程(6)和(7), 可得到带有终端攻击角约束的三维制导系统状态方程如下[21]
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(8) |
引入n个导弹的末制导剩余时间tgoi
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(9) |
对(9)式求导可得
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(10) |
将末制导剩余时间tgoi作为三维空间协同制导模型的状态变量, 则弹目相对运动方程可以表示为[21]
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(11) |
令
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(12) |
将(12)式代入状态方程(11)可以推出具有角度约束的三维协同制导模型[21]
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(13) |
由(13)式可知, 系统的协同制导律设计是由两部分组成的:一方面, 外界存在干扰的情况下, 设计新的视线方向加速度指令
变量tfi指单枚导弹在t时刻预测的能够攻击目标的时间, 可得[22]
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(14) |
由(14)式可得, 要使tgoi趋于一致, 只需使得tfi趋于一致。
根据(13)式可得
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(15) |
选取积分滑模面
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(16) |
式中：tfi(0)是tfi的初始值；uinorm是一致性协议, 其表达式为[21]
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(17) |
根据文中采用的积分滑模面和三维制导模型(13)提出基于有限时间的一致性协议
定理1 对于制导系统(13), 当其通信拓扑图G无向并连通, 设计一致性协议[21]
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(18) |
式中：
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(19) |
可以保证滑模面s0在控制器(17)式作用下能够在有限时间内收敛到滑模面s0→0。协同制导系统中tfi能够在有限时间趋于一致, 同理剩余时间tgoi也能够趋于一致。
证明 根据(17)式对s0求导可知
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(20) |
令
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(21) |
考虑(19)式和(20)式, 并对(21)式相对时间求导, 可得[21]
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(22) |
由(22)式得
构造Lyapunov函数为
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(23) |
对(23)式求导
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(24) |
由(24)式可知
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(25) |
又
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|
(26) |
根据(26)式可得
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(27) |
因此, 有限时间内s0i=0, 可以确定当滑模面收敛到0时, 
选择非线性快速终端滑模面
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(28) |
式中:
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选取幂次趋近律如下
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(29) |
对滑模面(28)式求导可得
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(30) |
由(29)式和(30)式得
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(31) |
将(8) 式中
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(32) |
(32) 式中含有sigγ1(s1)为变结构项, 该制导律为滑模变结构控制, 鲁棒性强。
根据上述分析, 给出末端攻击角约束的有限时间收敛的快速终端滑模的视线方向制导律, 即定理2。
定理2 对于制导系统(13)式, 选取滑模面(28)式和趋近律(29)式, 所设计的制导律如(32)式所示。
证明 选取Lyapunov函数为
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(33) |
对(33)式求导可得
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(34) |
将(28)式和(29)式代入(34)式可得
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(35) |
由于
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(36) |
即
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(37) |
所以
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(38) |
由于制导阶段x1>0, ρ1>0, 因此
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(39) |
故系统状态可以到达滑模面。
根据(39)式可知
系统状态沿滑模面运动时已达到收敛, 此时系统状态为
|
(40) |
此时状态方程可表示为
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(41) |
选取Lyapunov函数为
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(42) |
对(42)式求导可得
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(43) |
将(41)式代入(43)式得
|
(44) |
根据(44)式可知
进一步可以得到
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(45) |
从(45)式可得, 系统状态x4在有限时间收敛到一定区域。
由Lyapunov稳定性理论可知, 系统渐进稳定, 当t→∞时, x3→0。
|
(46) |
由(46)式可得, 系统末端视线角最终收敛到qεd。至此, 定理证毕。
然而, 变结构项会引起系统的抖振问题, 使得导弹的过载产生震荡现象, 因此本文采用饱和函数代替制导律中的变结构项。下面给出饱和函数[21]
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(47) |
式中, k=const>0是一个非常小的值。可以看出, 当|s1|>k时, sat(s1)=sign(s1)因此用饱和函数代替符号函数后的制导律不影响收敛效果。
2.3 视线侧向制导律设计选择非线性快速终端滑模面
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(48) |
式中
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选取幂次趋近律如下
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(49) |
对滑模面(48)式求导可得
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(50) |
由(48)式和(49)式得
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(51) |
将(8)式中
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(52) |
根据上面的分析, 给出定理3。
定理3 对于制导系统(13)式, 选取滑模面(48)式和趋近律(49)式所设计的制导律如(52)式所示。
证明 选取Lyapunov函数为
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(53) |
对(53)式求导可得
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(54) |
将(48)式和(49)式代入(54)式可得
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(55) |
由于
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(56) |
即
|
(57) |
所以
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(58) |
由于制导阶段x2>0, ρ2>0, 因此
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(59) |
故系统状态可以到达滑模面。
系统状态沿滑模面运动至收敛, 此时系统状态为
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(60) |
此时状态方程可表示为
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(61) |
选取Lyapunov函数为
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(62) |
对(62)式求导可得
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(63) |
将(61)式代入(63)式得
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(64) |
根据(64)式可知
进一步可以得到
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(65) |
从(65)式可得, 系统状态x6在有限时间收敛到一定区域。
由Lyapunov稳定性理论可知, 系统渐进稳定, 当t→∞时, x5→0, 即
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(66) |
由(66)式可得, 系统末端视线角最终收敛到qβd。至此, 定理证毕。
3 仿真分析为了验证本文提出的协同制导算法, 设计了3枚导弹协同攻击高速大机动运动目标的作战场景, 仿真条件设置如下:
末制导初始时刻, 导弹和目标的参数如表 1所示。各导弹提供的视线方向最大加速度为25g, 视线纵向和侧向最大加速度均为50g, 目标在视线侧向和视线纵向机动加速度分别机动为:aTε=10g, aTβ=10g, 仿真步长0.001 s。导引头盲区:r0=50 m, 3枚导弹之间的通讯网络为中c=[0, 1, 1;1, 0, 1;1, 1, 0](该矩阵表示在末制导过程中, 各个导弹之间的通讯关系)。
| 实体 | 位置/m | 速度/(m·s-1)) | 弹道倾角/(°) | 弹道偏角/(°) | 期望视线倾角/(°) | 期望视线偏角/(°) |
| 导弹1 | (1 000, 10 000, 1 000) | 900 | 10 | 15 | 6 | 3 |
| 导弹2 | (1 900, 900, 500) | 900 | -10 | -15 | 13 | -2 |
| 导弹3 | (900, 10 500, 50) | 900 | 20 | 30 | 3 | -4 |
| 目标 | (10 000, 9 500, 1 000) | 600 | 130 | 0 |
制导律仿真参数如下:
视线方向:θi=0.5, σi=1.5, b1i=6, λi=0.6, b2i=2。
视线纵向:k1=0.5, k2=0.6, k3=0.5, α1=1/3, γ1=0.05, ρ1=5。
视线侧向:l1=0.5, l2=0.6, l3=0.5, α2=1/3, γ2=0.05, ρ2=5。
根据上述仿真条件与仿真参数，仿真结果如所图 2~图 7所示。由图 2至图 4可以看出，针对高速大机动运动目标，本文的三维协同制导律中，3枚导弹几乎在同一时间内到达目标。此外，根据图 4可知，在文中给出的有限时间一致性协议下，3枚导弹的末制导剩余时间能够在大约3 s趋于一致。图 5表明了各导弹的在视线方向的加速度在合理范围内，初始阶段波动较大是为了能够调整导弹的末制导剩余时间使得同时攻击机动目标。图 6和图 7分别表明3枚导弹在视线纵向和视线侧向上的加速度，在制导过程开始时该值较大，其原因是保证视线角速率可以收敛到零，随着视线角速率收敛后加速度曲线逐渐平缓。因此，根据仿真结果可以看出，本文所设计的有限时间滑模导引律针对高速大机动目标具有很好的适应性和有效性。
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| 图 2 目标和导弹轨迹示意图 |
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| 图 3 导弹和目标的相对距离 |
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| 图 4 剩余时间 |
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| 图 5 视线方向过载 |
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| 图 6 视线纵向过载 |
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| 图 7 视线侧向过载 |
另外，表 2给出了各枚导弹击中目标时的脱靶量与攻击时间。从表中可以看到，本文提出的协同制导律所产生的导弹的脱靶量较小且能够保证同时攻击。
本文提出了三维空间内多枚空空导弹针对高速大机动目标攻击角约束的协同制导律。主要研究成果包括：
1) 建立了考虑剩余时间和攻击角度约束的三维协同制导模型。
2) 结合图论、自适应控制理论和有限时间收敛理论，设计视线方向的制导律使得3枚导弹可以同时攻击目标；视线纵向、视线侧向设计了攻击角度约束的导引律，使弹目视线角在有限时间收敛至期望值。
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