自Zadeh^[1]提出模糊集之后，学者们陆续提出了各种类型的模糊集拓展形式^[2-4]。例如直觉模糊集^[3]、正交模糊集^[5]等。随后，Yager^[6]又提出了q-Rung orthopair模糊集(q-ROF)的概念，q-ROF比IFS与PFS有更加广泛且更强表达模糊信息的能力。学者针对基于q-ROF的多属性决策问题，提出了许多决策方法^[7-14]。例如，但上述决策方法没有考虑决策者的心理行为，影响了决策结果的有效性。经典TODIM方法^[15]借鉴了前景理论的思想，重点考虑了决策者参照依赖和损失规避行为。随后，在研究实际多属性决策问题过程中，许多学者发展了经典TODIM方法^[16-18]。其中，Liamazares^[19]在分析经典TODIM方法的2个悖论的基础上，建立了广义的TODIM方法。刘熠等^[20]将广义TODIM应用到q-ROF，提出一种广义的q-ROF TODIM方法。该方法能够有效解决q-ROF多属性决策问题，但它仅针对属性相互独立的情形。在实际多属性决策问题中，属性之间存在着相关性。梁霞等^[21]和张永政等^[22]将经典TODIM方法与Choquet积分相结合，分别解决了基于模糊数的多属性决策问题和基于犹豫模糊的多属性决策问题。

为了解决属性相关条件下的q-ROF多属性决策问题，同时考虑到决策者的心理因素，提出了一种属性相关条件下广义q-ROF TODIM决策方法。该方法应用广义TODIM方法建立收益损失矩阵，再应用Choquet积分思想集成属性关联情形下方案关于所有属性的收益或损失值，最后通过方案的总体感知优势度对方案进行排序。将所提方法应用于投资公司筛选中，并对参数的灵敏度进行分析，试验结果验证了该方法的可行性和稳定性。

1 基本理论 1.1 q-ROF集

定义1^[6]  设X是任意一个非空集合, X上q次orthopair模糊集q-ROF定义如下

式中：u_p(x), v_p(x):x→[0, 1], 对任意的x∈X, 使得u_p^q(x)+v_p^q(x)≤1(q≥1)。u_p(x), v_p(x)分别是x隶属于X和非隶属于X的程度。为了方便起见, 称p=(u, v)为q-ROFN。其犹豫度记为γ, 表达式为γ=。

定义2  设p=(u, v)是q-ROFN, 则p的记分函数定义为: 。

定义3  设p=(u, v)是q-ROFN, 则p的准确函数定义为:H(p)=u^q+v^q。

定义4  设p₁, p₂是2个q-ROFN, 则

1) 如果S(p₁) < S(p₂), 则p₁ < p₂;

2) 如果S(p₁)=S(p₂),

(1) 当H(p₁) < H(p₂), 则p₁ < p₂;

(2) 当H(p₁)=H(p₂), 则p₁=p₂。

定义5  设p₁=(u₁, v₁), p₂=(u₂, v₂)是2个q-ROFN, 则p间的距离定义为

(1)

1.2 模糊测度和Choquet积分理论

定义6  设有限集X上的幂集P(X), 定义在P(X)上的模糊测度ψ:P(X)→[0, 1], 满足

1) ψ(ø)=0, ψ(X)=1;

2) 如果A, B∈P(X), A⊆B则ψ(A)≤ψ(B)。

3) ψ(A∪B)=ψ(A)+ψ(B)+λψ(A)ψ(B), 其中-1 < λ。则称ψ是X上的λ-模糊测度。

若λ=0, 有ψ(A∪B)=ψ(A)+ψ(B), 则属性A, B相互独立; 若-1 < λ < 0, 有ψ(A∪B) < ψ(A)+ψ(B), 则属性A, B具有冗余关联; 若λ>0, 有ψ(A∪B)>ψ(A)+ψ(B), 则属性A, B具有互补关联。

在多属性决策问题中, λ-模糊测度能够更精确地描述指标间相互关系。对∀A∈P(X), A的模糊测度由(2)式计算

(2)

当A=X时, ψ(A)=ψ(X)=1。则有

(3)

定义7  非负函数f在X上关于模糊测度ψ的离散Choquet积分为

(4)

或者

式中, (i)为向量f(x_(i))的任意一个置换, 使得f(x₍₁₎)≤…≤f(x_(n)), A_(i)=(x_(i), …, x_(n)), 且A_(n+1)=0。

1.3 广义TODIM方法

Liamazares给出了广义的TODIM方法

(5)

式中, g₁, g₂:(0, 1)→(0, +∞), 且f₁, f₂:(0, 1)→(0, +∞)。

当g₁, g₂, f₁, f₂为不同函数时, 可得到一些特殊的TODIM方法。例如:若g₁=g₂=x,

1) f₁(x)=x^α, f₂(x)=0

(6)

2) f₁(x)=0, f₂(x)=θx^β

(7)

3) f₁(x)=x^α, f₂(x)=θx^β

(8)

式中, α, β∈(0, 1), θ>0。

2 决策应用 2.1 问题描述

决策方案集为A={a_i|i=1, …, m}, 属性集为C={c_j|j=1, …, n}; 决策者用q-ROF模糊数p_ij=(u_ij, v_ij)表示方案a_i关于属性c_j的属性值, 得到决策矩阵P=[(u_ij, v_ij)]_m×n。设ψ(C)=(ψ(c₁), ψ(c₂), …, ψ(c_n))为属性集C的权重向量, 且ψ(c_j)∈[0, 1]。当属性间存在关联性时, 如何评价方案的优劣性。

2.2 决策方法

为了解决属性相关条件下的q-ROF多属性决策问题, 同时考虑到决策者的心理因素, 提出了一种属性相关条件下广义q-ROF TODIM决策方法, 具体步骤如下:

Step 1  决策矩阵规范化处理

将决策矩阵P规范化处理, 得到标准决策矩阵P=(p_ij)_m×n, 这里

(9)

式中：D₁为效益型属性集合；D₂为成本型属性集合。

Step 2  对每个属性c_j, 计算收益损失矩阵Y_j=[y_it^j]_m×m, 其中元素y_it^j计算公式如下

(10)

式中：y_it^j表示两方案a_i和a_t中, a_i相对于a_t在属性c_j的收益或损失；s(·)表示q-ROFN的记分函数, d(·)表示2个q-ROFN间的距离。

Step 3  应用公式(3)计算模糊测度λ, 再应用公式(2)计算属性集C的所有子集对应的权重。

Step 4  将y_it¹, y_it², …, y_itⁿ 按由小到大顺序排列, 假设排序结果为:y_it⁽¹⁾≤y_it⁽²⁾≤y_it^(q)≤0≤y_it^(q+1)≤…≤y_it⁽ⁿ⁾; 再应用(11)式计算方案a_i相对于方案a_t的优势度

(11)

式中：α, β∈(0, 1), θ>0为损失衰退系数；θ越小表示决策者的损失规避程度越大; U_(i)=(c_(i), c_(i+1), …, c_(n)), 且U_(n+1)=0。

Step 5  方案a_i相对于方案a_t关于所有属性的个体感知优势度ϕ_it由下述计算

(12)

在此基础上, 方案a_i总体感知优势度δ_i定义如下

(13)

方案优劣排序标准:δ_i值越大, 表示方案a_i。

3 实例分析 3.1 决策实例

某投资公司需对备选公司a₁, a₂, a₃进行评价, 评价指标分别为Risk analysisc₁, growth conditionsc₂, social and political impactc₃, environmental impactc₄ and social developmentc₅, 其中指标c, c₃, c₄, c₅存在冗余关系, 决策者给出属性的权重向量为ψ=(0.45, 0.4, 0.35, 0.38, 0.42), 决策矩阵P如下

Step 1  获得规范化决策矩阵

由于风险分析c₁是成本型指标, 需对决策矩阵P规范化处理, 得到规范化决策矩阵

Step 2  计算指标c_j(j=1, 2, 3, 4, 5)下的收益-损失矩阵Y_j, 其中, q=3。

Step 3  应用公式(3)得到模糊测度λ=-0.89, 表明属性间存在冗余关联, 这与实际分析相符。再应用公式(2)计算属性集C={c₁, c₂, c₃, c₄, c₅}幂集的模糊测度, 见表 1所示。

Step 4  应用公式(11)和公式(12)得到个体感知优势度矩阵Φ=[ϕ_it]_3×3, 其中α=β=0.5, θ=1

再应用公式(13)计算方案a_i(i=1, 2, 3)的总体感知优势度δ_i为:δ₁=0.715, δ₂=0.428 5, δ₃=-0.163 7。根据δ_i的大小, 得到方案的排序结果为:a₁≻a₂≻a₃。

3.2 灵敏度分析

本节讨论参数θ, α, β, q改变时, 该方法对决策结果的影响。

1) 当q=3, α=β=0.5时, 表 2为θ改变时方案的排序。

2) 当q=3, θ=1, β=0.5时, 表 3为α改变时方案的排序。

3) 当q=3, θ=1, α=0.5时, 表 4为β改变时方案的排序。

4) 当α=β=0.5, θ=1时, 表 5为q改变时方案的排序。

通过表 2至表 5可知:随着θ越大, 备选项的总体感知优势度在减小, 表明决策者是风险偏爱的; 随着α增大, 各方案的总体感知优势度在减小, 这是因为q-ROF的距离测度介于0, 1之间, 且α∈[0, 1], 由公式(11)知, 总体感知优势度随着α的增大在减少; 随着β增大, 各方案的总体感知优势度在增加, 同理, 由公式(11)知, 总体感知优势度随着β的增大而增大; 随着q的增大, 各方案的总体感知优势度大致在减小。该试验表明:参数θ, α, β, q的改变, 不影响排序的稳定性。

3.3 对比分析

为了说明该算法的有效性, 下面将基于广义q-ROF TODIM决策方法和q-ROF TOPSIS决策方法对比分析。利用TOPSIS方法对第3.1节示例进行计算, 得到各备选方案的相对贴近度和排序结果见表 6。

从表 6可以看出, 备选方案的排序为a₁≻a₃≻a₂。虽然2个方法的最优方案均为a₁, 但方案a₂, a₃的排序相反, 且基于TOPSIS方法获得的评价值区分度比较低。从实际分析可知, 基于广义TODIM方法更优。其主要原因在于, 广义TODIM方法是基于决策者的心理行为特征, 符合决策者的实际需要, 更具有说服力。

4 结论

q-ROF是模糊集更一般的形式，用于描述决策问题中的不确定性。本文在考虑决策者参照依赖和损失规避心理行为的情形下，对属性具有关联关系的多属性决策问题，提出了一种属性相关条件下广义q-ROF TODIM决策方法。该方法通过q-ROF距离公式计算各方案的收益损失矩阵，结合广义TODIM方法和Choquet积分的思想得到方案的感知优势度，通过感知优势度对方案进行排序。并以投资公司筛选为例，通过本文算法的仿真结果和灵敏度分析表明方法的有效性和适用性，既能充分考虑决策者的心理因素，也能解决属性之间的关联性。