2. 西北工业大学 电子信息学院, 陕西 西安 710072
阵列的综合问题属于多参数、非线性优化问题，引力搜索算法(gravitational search algorithm, GSA)[1-2]由于具有控制参数少等特点，在众多的优化算法[1-6]中脱颖而出，在天线设计及综合领域得到了广泛应用。文献[7]使用GSA来设计偶极子线性阵，获得了期望的方向图；文献[8]将GSA用于直线阵中，有效降低了线阵的旁瓣电平；文献[9]将GSA用在同心圆环阵列中，在保持零功率波束宽度(first null beamwidth, FNBW)不变的同时，很大程度地降低了阵列的峰值旁瓣电平(peak sidelobe level, PSLL)；文献[10]将一种改进算法用于综合圆形和同心圆环阵列，并且改变阵元个数，用改进算法和GSA分别实现阵列的综合，最后利用t-Atest来计算分析仿真结果，结果证明了改进算法良好的优化效果。
尽管GSA在天线综合中有着成功的应用，但是由于算法的适应度函数对惯性质量具有累积效应，迭代后期，在万有引力的作用下，种群中粒子惯性质量的差距变得越来越小，粒子所受的引力就会被中和，移动到最优位置的速度会大幅下降，从而使得GSA不能有效地找到问题的最优解，算法的优化性能受到很大程度削弱。针对上述问题，文献[11]提出了一种改进算法(gbest-guided gravitational search algorithm, GGSA)，在GSA中将具有最优适应度值的个体储存起来用于速度的更新，最优个体所带来的“外力”促使粒子更快地朝着最优位置移动，算法在开采阶段的收敛速度得以提高，但是GGSA在提高算法开采能力的同时，种群的多样性遭到破坏，算法的探索能力被削弱，针对这个问题，本文定义了“精英粒子”，并在GGSA的实现过程中加入了这类粒子的影响，通过设计合理的最优粒子gbest以及精英粒子ep的加权系数可以更好地平衡算法的探索和开采能力；其次，粒子最优位置的产生除了直接受到速度影响外，还间接受到引力的影响，而衰减因子对引力的影响呈指数级，算法不同迭代阶段需要不同大小的衰减因子来平衡其速度和精度，综合考虑上述因素，设计了一种自适应衰减因子。把精英粒子、自适应衰减因子用于GSA中，提出了自适应引力搜索算法(adaptive gravitational search algorithm, AGSA), 论文中将AGSA和GGSA[11]用于圆环阵列的优化过程中，进一步验证了AGSA的有效性。
1 阵列方向图综合同心圆环阵列中，假设阵元为无方向性天线，则远区辐射场的阵因子[12]可以表示为
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(1) |
式中：M为圆环数目；Ni是第i个圆环上阵元的个数；Iil, αil, φil表示第i个圆环上第l个阵元的激励幅度、相位以及方位角; ρi表示对应圆环的半径, θ和φ代表子午角和方位角。
1.1 均匀同心圆环阵列适应度函数阵元均匀分布的同心圆环阵列, 以降低方向图的峰值旁瓣电平和零功率波束宽度为优化目标, 因此根据优化目标确定的适应度函数可以设置如下
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(2) |
式中：LMSL, LESL为实际方向图和期望方向图的最大旁瓣电平; AFNBW以及EFNBW是零功率点波束宽度的实际值以及期望值。α, β是加权系数。
1.2 稀布圆环阵列适应度函数稀布同心圆环阵列的设计过程中, 为了减小互耦的影响, 要求同一圆环上相邻阵元弧向间距不小于0.5λ, 对电流激励及阵元位置同时进行优化。以降低PSLL和FNBW为优化目标, 适应度函数设置如下
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(3) |
式中：d, dmin为阵元间距以及最小间距, 在优化过程中, 如果LMSL < LESL, AFNBW < EFNBW, d>dmin, 则(2)式、(3)式对应的加权系数为0。为防止出现适应度函数值等于0的情况, 把最小值问题可以转化为(4)式的最大值问题
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(4) |
本节中设计了一种随迭代次数t变化的自适应衰减因子αi(t):定义第i个粒子的αi(t)的变化符合高斯分布, 其概率密度分布函数随迭代次数的更新如下式所示
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(5) |
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(6) |
式中：σ2, u(t)是αi(t)的方差和均值; 根据αi(t)计算的引力常数G(t)要控制在一定的范围内, 否则会对算法的探测能力和开采能力的平衡带来很大影响, 本文中G(t)的范围要满足
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(7) |
记录满足(7)式的u(t), 计算其均值um, 再将um代入(6)式来更新u(t)。
2.2 粒子记忆能力增强GSA中, 第i个粒子第t+1次迭代时, 第d维的速度为
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(8) |
文献[11]的GGSA算法中, 最优粒子gbest对粒子i施加的外力如下
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(9) |
设Xi, Xopt是种群中第t次迭代时的第i个粒子以及最优粒子, Di是二者之间的距离。本节中定义满足(10)式的粒子为精英粒子(elite particles, ep)
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(10) |
为进一步平衡算法搜索解空间探索能力和收敛于最优解的开采能力, 规定精英粒子数量Kep(t)随着迭代次数逐步减小:
定义ep对粒子i施加的外力
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(11) |
将这2类粒子对粒子i施加的外力加入GSA中, 得到增强记忆以后的速度如下式
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(12) |
c1和c2分别是最优粒子和精英粒子对个体i施加外力影响的加权系数, 如果c1>c2, 则算法的开采能力要占上风, 否则探测能力要强于开采能力, 因此在算法的不同阶段, c1和c2的取值要符合算法的迭代特点, 因此本节中对这2个系数定义如下
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(13) |
将α(t)以及重新定义的vid (t+1)用于GSA中, 得到AGSA, 其实现步骤如下:
Step1:种群初始化;
Step2:最优粒子gbest以及精英粒子ep的选择;
1) 根据(4)式、(10)式计算fiti(t)(i=1, 2, …, N), 从中选择gbest、ep;
2) 根据式(13)计算速度加权系数c1, c2。
Step3:计算GSA中粒子的惯性质量;
Step4:引力及加速度计算;
1) 衰减因子均值u(t)初始值设为15, 计算满足式(5)的自适应衰减因子αi(t);
2) 利用αi(t)计算引力常数G(t), 更新引力、加速度大小。
Step5:计算GSA中的速度和位置。
Step6:均值um的计算。
将满足(7)式的u(t)进行保存, 根据其均值um, 利用(6)式来更新u(t)的值。
Step7:若满足停止准则, 则算法终止, 输出最优结果; 否则, 重复step2-step6。
注: Step3-Step5中惯性质量、引力、加速度等的计算在文献[1]中均有具体公式。
3 算法的验证及分析 3.1 测试函数的性能分析为进一步明确引力常数衰减因子α对GSA性能的影响, 使用CEC2005中测试函数[1]对算法进行基准测试。G0=100, α取10~100时, 对算法独立运行30次, 篇幅的原因, 对其中3个函数的测试结果进行具体分析。
1) 图 1是单峰测试函数F1的优化结果, 图 1a)图中, 在α=40时, 函数的求解精度最高; 图 1b)图中, 随着α从10增加到100的过程中, 求解精度先提高, 后迅速下降。
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| 图 1 测试函数F1的进化曲线 |
2) 图 2中是F2的优化结果, α从10增加到100的过程中, 求解精度先提高, 后迅速下降; 在α=30时, 函数的求解精度最高。
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| 图 2 测试函数F2的进化曲线 |
3) 对于高维度多峰测试函数F10, 从图 3a)中可以判断, α取40时优化效果最佳; 图 3b)中, α从10增加到40时, 求解精度提高, 40~60的过程中精度没有明显变化, 从60增加到70的过程中, 最优解的精度急剧下降。
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| 图 3 测试函数F10的进化曲线 |
综上, α值的合理增大可以拓宽算法的搜索空间, 提高优化性能; 但取值过大时, GSA会迅速收敛到局部解, 求解质量下降。由于算法不同迭代阶段对探索能力以及开采能力的要求不同, 算法迭代初期, 需要强的探索能力来拓展搜索空间以避免陷入局部最优; 在迭代后期, 算法对开采能力的需求超过探索能力, 开采能力越强, 算法收敛于最优解的速度就越快。因此, 寻找适合算法不同迭代阶段的α值至关重要。
算法不同迭代阶段对衰减因子的需求变化符合高斯分布的特点, 因此论文中设计了一种满足高斯分布变化的衰减因子, 且通过上述不同衰减因子时算法性能的影响分析, 以及反复实验确认, 论文中的衰减因子在[0, 40]之间取值, 超出这个范围要重新对其进行计算。
3.2 均匀同心圆环阵列天线优化将AGSA和文献[11]中的GGSA用于天线优化, 2种算法参数设置如表 1所示。
| 算法 | 参数设置 |
| GGSA | G0=100, α=20, c′1=(-2t3/T3)+2, c′2=2t3/T3, 种群规模50 |
| AGSA | G0=100, c1=3·(t/T)1/3, c2=-3(t/T)1/3+3, σ2=0.16, γ=0.8, u(0)=15, 种群规模50。 |
本节的目标是设计一个37元均匀分布的同心三圆环阵列, 为了减小互耦的影响, 同一圆环上相邻阵元、相邻圆环之间的距离均为0.5λ; 电流幅度和相位作为优化变量。目标中笔状波束的PSLL不超过-30 dB, AFNBW为2*30°, (2)式中, α=0.6, β=0.4。
图 4a)至4d)是AGSA的优化结果, PSLL和FNBW均优于GGSA算法的结果。
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| 图 4 2种算法综合均匀同心圆环阵的结果 |
收敛曲线的对比图(见图 4e))中, AGSA的收敛速度一直快于GGSA, 适应度达到65时, 前者只需要800次迭代, 后者则要2 000次; 当迭代次数为1 400次时, AGSA的适应度值稳定在95, 超过GGSA约30, 说明AGSA能以更快的收敛速度获得更小的误差, 得到更理想的方向图; 图 4f)是均匀圆环阵的分布图。表 2中是方向图详细的结果, 包括了方向图的主瓣波束宽度和旁瓣电平, AGSA的优化结果和GGSA相比, E面和H面的峰值旁瓣电平分别降低了5.1 dB和1.8 dB, 零功率波束宽度的展宽变窄, 2种算法的结果相差6.7°。
| 指标 | E面 | H面 | |||||
| 期望值 | GGSA | AGSA | 期望值 | GGSA | AGSA | ||
| Half FNBW/(°) | 30 | 37.5 | 30.8 | 30 | 38.8 | 32.1 | |
| PSLL/dB | -30 | -27.6 | -32.7 | -30 | -28.3 | -30.1 | |
设计一个稀布同心圆环阵列。为了减小互耦的影响, 要求同一圆环上相邻阵元弧向间距不小于0.5λ, 阵元个数N=37, 相邻圆环之间径向间距d=0.65λ; 对电流激励及阵元位置同时进行优化。笔状波束期望PSLL不超过-30 dB, 半波束FNBW为20°。(3)式中, α=γ=0.4, β=0.2, 2种算法优化的结果如图 5所示。算法迭代3 500次的方向图结果如图 5a至5d)所示, AGSA的优化方向图更接近期望方向图。
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| 图 5 2种算法综合稀布同心圆环阵列的结果 |
图 5e)中, 算法迭代约800次时, AGSA和GGSA性能相当, 随着迭代次数增加, 前者的收敛速度明显快于后者(曲线更陡峭); 迭代超过2 000次, AGSA的性能稳定, 适应度值达到90以上, 而GGSA在优化过程中, 经常会陷入局部最优, 优化性能不变, 且经过3 500次迭代后, 其适应度值为70, 远小于AGSA, 说明和GGSA相比, AGSA在收敛速度和优化准确度方面均有大幅度提高; 图 5f)是AGSA优化得到的阵列分布图。
4 结论针对GSA在迭代后期惯性质量的累积效应对算法性能带来的影响, 提出了一种自适应引力搜索算法(AGSA)。首先设计了一种随迭代次数变化, 符合高斯分布的自适应衰减因子α(t), 当前迭代时α(t)的均值会受之前衰减因子的影响, 将α(t)用于算法中, 提高了算法的收敛速度; 同时为了改善文献[11]中GGSA开采能力增强对探索能力的削弱, 在速度的变化过程中, 增加了精英粒子的影响, 加强了种群中粒子对速度的全局记忆能力。为了验证AGSA的性能, 将其用于2种不同类型的同心圆环阵列的综合过程中, 并且和GGSA的结果进行比较, 仿真结果验证了AGSA收敛速度提高的同时, 优化精度也比GGSA更高。和GGSA相比, AGSA的计算复杂度有一定程度增加, 且考虑到互耦效应, 论文中的仿真实验是在阵元间距限定的条件下进行的, 因此对于阵元间距要求小的大型面阵天线, 要综合评估AGSA的性能和计算复杂度。
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2. School of Electronics and Information, Northwestern Polytechnical University, Xi'an 710072, China
