现代民用飞机机载系统如飞行控制系统、环境控制系统、动力装置等均是由机械、电子、电气、液压等单元组成的高集成复杂系统，对飞机的安全性有重要影响，美国联邦航空局(Federal Aviation Administration, FAA)与欧洲航空安全局(European Aviation Safety Agency, EASA)在它们各自颁布的咨询材料中均指出，系统故障导致的飞机顶层灾难性失效状态大约在100个以上，要远远高于飞机结构失效导致的灾难性失效状态，目前飞机机载系统故障已经成为仅次于人为因素的第二大空难原因。
民用飞机机载系统具有组成单元数量众多、自动化与集成化程度高、各单元间交联关系复杂等特点，由此导致其失效特性具有显著的动态性，即状态依赖行为。静态系统的故障完全由其单元故障的组合决定。而动态系统是否失效不仅取决于单元失效的组合方式，还与单元失效顺序相关[1-2]。如对于三余度的液压系统，如果自测系统(built-in test equipment, BITE)先于主用单元失效，则当主用单元失效时，系统失效；反之，系统仍能正常工作。
故障树分析(fault tree analysis, FTA)、依赖图分析(dependence diagram analysis, DDA)和马尔可夫分析(Markov analysis, MA)是目前应用最广泛的机载系统可靠性建模和安全分析工具。FTA是一种演绎分析方法，它关注于一个特定的不希望发生的事件，用于确定导致该事件的故障原因并提供了计算该事件发生概率的方法。DDA等价于可靠性工程中的可靠性框图(reliability block diagram, RBD)法，是描述系统故障逻辑的另一种图示方法。在MA中，马尔可夫链被用来表示各种系统状态及其之间的关系。从一种状态到另一种状态的转移率是单元的故障率或修复率。状态发生概率由求解马尔可夫过程对应的微分方程组得到[3-4]。在这3种方法中FTA和DDA都是静态工具，它们不能捕获系统故障机制中的状态依赖行为[5]。虽然MA可以处理状态依赖行为，但当系统规模较大且复杂时，它将面临状态空间爆炸问题。此外，马尔可夫链微分方程的求解是一项繁琐的工作，且MA只能处理其寿命服从指数分布的情况[6]。
Petri网作为一种离散事件系统仿真工具，在可靠性工程中得到了广泛的应用[7-11]。Hura和Atwood提出了一种用Petri网表示故障树的方法，他们认为这种方法可以更深入地解释系统的故障行为[7]。Malhotra和Trivedi利用随机Petri网(stochastic Petri net, SPN)和随机回报网建立可靠性模型，并考虑了不同的维修方案[8]。Liu和Chiou使用Petri网表示不同类型的逻辑操作，并使用梯形图方法来描述故障场景[9]。Schneeweiss为多种可靠性场景开发了Petri网模型，并在研究中考虑了维护成本和效益[10]。Volovoi将时效令牌应用于基于Petri网的可靠性模型中，并通过与经典可靠性工具的比较，说明了该方法的优越性[11]。Katsigiannis、Georgilakis和Tsinarakis提出了一种基于随机流体Petri网的小型孤立电力系统可靠性建模的新方法[12]。Robidoux等提出了一种将RBD模型自动转换成颜色Petri网的算法，并验证了该方法的有效性[13]。Wu等利用故障树和模糊推理Petri网建立了太阳能电池组机械系统的可靠性模型，其方法可用于确定故障机理[14]。Chu等利用广义SPN建立了射流管伺服阀的可靠性模型，并与马尔可夫模型进行了比较，说明了该方法的有效性[15]。近年来，Petri网的应用已经扩展到其他领域的可靠性和安全工程，其中包括综合模块航电设备的可靠性分析[16]，多任务分阶段系统的可靠性建模[17]，基于模型的安全性分析[18]，安全关键实时系统的可靠性分析[19]等等。
Petri网在可靠性和安全性建模方面显示出强大的能力，本文将提出一种基于SPN的动态系统可靠性建模方法，在此基础上提出了一种基于蒙特卡罗仿真的可靠性分析方法用于生成系统寿命样本，以进行系统可靠性参数的计算。最后，结合某型民用飞机交流电源系统给出了应用实例。
1 随机Petri网的相关定义 1.1 随机Petri网1个SPN被定义为1个七元组：
∑=(P, T, F, K, W, M0, Λ), 其中[20-21]:
1) P={p1, p2, …, pn}是库所的有限集合;
2) T={t1, t2, …, tm}是变迁的有限集合;
3) F⊆(P×T)∪(T×P)是弧的有限集合;
4) K: P→{1, 2, 3, …}是库所容量函数;
5) W: F→{1, 2, 3, …}是权函数;
6) M: P→{0, 1, 2, …}是网的标识, 且∀p∈P: M(p)≤K(p), M0是初始标识;
7) Λ={λ1, λ2, …, λm}是变迁引发速率集合, λi (i=1, 2, …, m)表示第i个变迁的引发速率。
1.2 前置集和后置集∀ x∈P∪T, x的前置集与后置集分别记为·x与x·, 定义·x={y|(y∈P∪T)∩((y, x)∈F)}, x·={y|(y∈P∪T)∩((x, y)∈F)}。
1.3 触发规则当且仅当满足(1)式时, 变迁t∈T是使能的
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(1) |
当变迁t被触发后, 标识将根据(2)式规则进行变化
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(2) |
当若干个变迁被触发后, Petri网的系统标识可根据(3)式所示的状态方程计算求得
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(3) |
式中：U=[Uj], Uj=0表示变迁tj未被触发；Uj=1表示变迁tj已经被触发; C=[Cij]为关联矩阵, Cij=W(tj, pi)-W(pi, tj); M为变迁触发前的系统标识, M′为变迁触发后的系统标识。
2 基于SPN的动态系统可靠性模型民用飞机机载系统通常由串联系统、并联系统、表决系统、储备系统、载荷共担系统等结构组成。其中串联、并联(热储备)、表决系统属于静态系统, 可以用故障树、可靠性框图等典型二元静态方法进行建模。而温储备、冷储备和载荷共担系统是典型的动态系统, 在这类系统中, 系统失效不仅仅取决于单元失效的组合, 还与单元失效的时间顺序密切相关, 对于这类系统, 传统的二元静态建模方法不再适用。本文将利用SPN针对上述动态结构建立相应的可靠性模型。
2.1 基于SPN的储备系统可靠性模型储备系统由1个主用单元和1个或多个储备单元组成。1个传感开关机构用于检测主用单元的故障, 并在主用单元发生故障时立即激活储备单元。储备单元可分为3种类型, 分别是热储备、温储备和冷储备。热储备类似于并联结构, 单元在储备状态的故障率与主用状态相等。冷储备系统中, 通常认为单元在储备状态不会发生故障。温储备系统中, 通常认为单元在储备状态的故障率要远小于其在主用状态的故障率[22]。
基于SPN的由n个单元组成的温储备系统的可靠性模型如图 1所示。
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| 图 1 温储备系统的可靠性模型 |
图中, Pk.active、Pk.down和Pk.standby分别表示第k个单元的主用状态、失效状态和储备状态。它们的容量函数为1, 因此
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(4) |
当有1个令牌在Pk.active、Pk.down或Pk.standby里时, 意味着单元k分别处于主用、失效、储备状态。库所Ps.down表示系统故障状态, 其容量函数为n, 即K(Ps.down)=n。当Ps.down内的令牌数为n时, 系统失效。
时间变迁Tk表示第k个单元在其主用状态下发生故障, 其触发时间等于第k个单元的故障前时间。时间变迁Tk.standby表示第k个单元在储备状态失效, 其触发时间等于第k个单元在储备状态的故障前时间。变迁Ti1到Tin为瞬时变迁。每个Tik通过一个双箭头弧连接所有的Pl.down(l < k), 这意味着从单元1到单元k-1的失效是使变迁Tik触发的必要条件, 库所Pl.down(l < k)在被触发之后将仍然有一个令牌。由Ps.down出发的弧的权值为n, 其他所有弧的权值为1。图 2给出了由n个单元组成的冷储备系统基于SPN的可靠性模型, 在冷储备系统中, 库所Pn.down就是库所Ps.down。
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| 图 2 冷储备系统的可靠性模型 |
在载荷共担系统结构中, 单元之间存在依赖关系。如果1个单元发生故障, 其他单元的故障率会由于负载的增加而升高。基于SPN的三单元载荷共担系统结构的可靠性模型如图 3所示。
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| 图 3 三单元载荷共担结构的可靠性模型 |
在图 3中, Pk.up为3个单元全部正常工作时, 第k个单元的运行状态。Pk′.up表示当其他2个单元之一失效时, 第k个单元的状态。Pk″.up表示当其他2个单元都失效时, 第k个单元的状态。Pk.up, Pk′.up和Pk″.up的容量函数等于1, 即
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(5) |
Ps.down表示载荷共担系统的失效状态。当且仅当3个单元都失效时, 载荷共担系统才会失效。因此, 当系统失效时, Ps.down内将有3个令牌, Ps.down的容量函数等于3, 即
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(6) |
Tk表示当所有3个单元都在工作时, 第k个单元失效。Tk′表示当其他2个单元之一失效时, 第k个单元失效。Tk″表示当其他2个单元都失效时, 第k个单元失效。Tk、Tk′和Tk″的触发时间等于第k个单元分别在全部单元都工作、1个单元失效、2个单元都失效的情况下的故障前时间。Ti1到Ti6都是瞬时变迁。由Ps.down出发的弧的权值为n; Ti2和Ps.down、Ti4和Ps.down、Ti6和Ps.down之间的弧的权值都等于2;其他所有弧的权值都等于1。
图 4在图 3的基础上进行了简化, 给出了两单元载荷共担系统基于SPN的可靠性模型。
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| 图 4 两单元载荷共担结构的可靠性模型 |
为大型复杂系统构建基于Petri网的可靠性模型是一项繁琐的工作。为简化大型系统的可靠性建模过程, 提出了一种基于Petri网的层次可靠性模型, 可以在一定程度上避免状态空间爆炸问题。在模型中, 1个变迁可以表示1个子网, 这种变迁称为可替换变迁。因此, 1个大型Petri网可以用可替换变迁来表示子网以简化网络结构。本文用正方形来表示可替换变迁。当用可替换变迁表示子网时, 应该添加2个瞬时变迁, 一个连接到库所Ps.down, 另一个连接到初始标记中具有令牌的库所。以图 4所示的载荷共担结构为例, 可替换变迁所表示的子网如图 5所示。
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| 图 5 用可替换变迁表示的载荷共担结构 |
本节提出了一种基于SPN的蒙特卡罗仿真方法, 用于生成系统寿命样本, 以进行系统可靠性参数的计算。本算法的基本思想为:用随机数表示Petri网模型中各个变迁的触发时间, 即相应部件在不同状态下的失效时间; 通过触发规则确定哪些变迁会被触发, 即哪些部件会在何种状态失效; 通过(3)式所示的状态方程确定变迁发生后系统所处的状态, 并记录此刻的时间; 当系统由初始状态演变到失效状态(Ps.down中令牌的数量达到其容量函数的值)时, 则得到一个寿命样本; 多次仿真后可以得到多个寿命样本。通过这些寿命样本进行参数估计与拟合优度检验, 求得系统寿命分布, 从而可进行可靠性分析与评估。
3.1 基于SPN的蒙特卡罗仿真程序蒙特卡罗仿真流程如图 6所示。通过一次仿真可以得到系统寿命的一个样本。
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| 图 6 SPN的蒙特卡罗仿真步骤 |
蒙特卡罗仿真的输入项包括:
1) 输入关联矩阵W-=[W(pi, tj)];
2) 输出关联矩阵W+=[W(tj, pi)];
3) 初始标识M0;
4) 各库所的容量函数K(·);
5) 变迁的触发速率集Λ={λ1, λ2, …, λm}或触发时间分布;
6) 蒙特卡罗仿真的最大次数Nmax。
蒙特卡罗仿真的具体步骤如下。
步骤1 令N=1, 并开始第N次仿真。
步骤2 变量初始化。令Mcurrent=M0, πcurrent=0, πj=0(j=1, 2, …, m)。式中, Mcurrent为模型的当前标识, πcurrent为当前时间, πj为变迁tj的触发时间。
步骤3 决定是否可以终止第N次模拟。当M(Ps.down)=K(Ps.down), 即Ps.down中令牌的数量达到其容量函数的值, 模拟终止。如果M(Ps.down)=K(Ps.down), 前往步骤10;否则前往步骤4。
步骤4 确定使能变迁。布尔变量Ej用于判断变迁tj是否使能。当Ej=1时, tj使能; 否则, tj非使能。令Ej=0, 可以通过(1)式确定哪些变迁是使能的。如果tj是使能的, 令Ej=1。
步骤5 更新所有变迁的触发时间。对于每个非使能变迁(Ej=0), 令其触发时间为0(πj=0)。对于每个使能变迁(Ej=1), 如果其初始触发时间为0(πj=0), 则根据其触发速率λj生成一个随机变量作为其新的触发时间; 否则, 其触发时间不变。
步骤6 确定触发的变迁。在所有使能的变迁中, 有最小触发时间(πmin)的变迁将被触发, 如果多个变迁同时具有最小的触发时间, 则随机选择其中一个进行触发。布尔变量Uj用于表示变迁tj是否是被触发。如果Uj等于1, 则tj是使能的; 否则, tj不是使能的。
步骤7 更新当前时间πcurrent。当前时间将更新为πcurrent+πmin, 即πcurrent=πcurrent+πmin。
步骤8 更新所有使能变迁的触发时间。所有使能变迁tj的触发时间πj将更新为πj-πmin, 即
πj=πj-πmin。
步骤9 更新标识数。标识数将由Petri网的状态方程进行更新, 即令M=M+C×U。布尔变量Uj为U的第j个元素。前往步骤2。
步骤10 获取系统寿命样本。当前时间πcurrent将是系统寿命的一个样本。
步骤11 确定是否完成所有的仿真。如果N=Nmax, 则表示所有模拟都已完成, 程序将结束; 否则, 令N=N+1, 开始下一次仿真(回到步骤2)。
3.2 基于系统寿命样本的可靠度计算威布尔分布是可靠性中常用的失效分布, 可以描述失效率递增、恒定、递减等多种情况下的寿命分布类型, 被广泛应用于各种寿命数据的建模。本节以威布尔分布为例, 说明如何利用寿命样本进行可靠度计算。威布尔分布的可靠度函数为[22]
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(7) |
经变换可得
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(8) |
假设通过3.1节得到的Nmax组有序寿命样本为t1≤t2≤…≤tNmax, 则在ti(i=1, 2, …, Nmax)时刻, 对应的可靠度估计值可表示为
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(9) |
如果(xi, yi)在普通坐标轴上描点连线后是一条直线, 则说明样本服从威布尔分布。
通过极大似然估计或者最小二乘估计可得参数η与m的估计值, 再通过Kolmogorov-Smirnov(K-S)检验可以判断是否接受该寿命样本服从该分布的假设。
4 实例分析 4.1 系统描述本节以某飞机交流电源系统为例给出了应用实例。该交流电源系统由主电源、辅助电源与应急电源等部分组成。
主电源是由2个发动机分别驱动的2个集成驱动发电机(integrated drive generators, IDG), 在飞行中为所有用电设备提供电力。2个IDG(GEN1和GEN2)都正常时, 两者共同供电, 故障率相同。当其中一个失效时, 另一个可独自为飞机供电, 但其故障率增加。2个IDG为载荷共担关系。主电源失效时, 辅助动力装置(auxiliary power unit, APU)驱动辅助发电机(APU GEN)工作, 它可以取代任意一个IDG(GEN1或GEN2)工作; 且辅助发电机在储备状态时故障率低于工作状态的故障率, 与主电源形成温储备结构。当主电源和辅助电源全部失效时, 使用应急电源; 通常认为应急电源在储备状态下不会发生故障, 即与主电源、辅助电源形成冷储备结构。
4.2 结果及分析整个交流电源系统的可靠性模型如图 7所示, 其中T1为表示主电源子系统的可替换变迁。其对应的子网如图 5所示。
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| 图 7 交流电源系统结构的可靠性模型 |
交流电源系统各个单元的故障率见表 1。表 1中, λM为主电源子系统中2个IDG都正常工作时的故障率。当其中一个IDG失效时, 另一个IDG独自为飞机供电, 但其故障率增加, 此时的故障率为λM+。λA为APU GEN工作状态下的故障率, λA-为APU GEN在储备状态下的故障率。λB为应急电源的故障率。
令Nmax=1 000, 通过蒙特卡罗仿真可以得到该电源系统的1 000个寿命样本。由(9)式进行变换后, 在普通坐标系描点连线, 如图 8所示, 可以看出xi与yi近似满足线性关系, 因此可初步确定系统寿命样本服从威布尔分布。
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| 图 8 寿命样本及对应可靠度估计值变换后的线性拟合 |
采用极大似然估计法拟合两参数威布尔分布表达式, 可得形状参数m=1.219 1, 尺度参数η=1.148 2×107。通过K-S检验, 接受寿命样本符合威布尔分布。
因此, 该交流电源系统的可靠度函数的表达式为
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(10) |
(10) 式给出的可靠度曲线见图 9中虚线。本实例中单元寿命服从指数分布, 且所有故障率均为常数, 因此, 同可以利用马尔可夫过程求解。该交流电源系统的马尔可夫状态转移图如图 10所示, 图中M1, M2分别表示主电源的2个IDG正常, A表示APU GEN正常, B表示应急电源正常。1, 2, ,分别表示相应部件失效。根据状态转移图列出的微分方程见(11)式, 可靠度函数的解析表达式可表示为R(t)=1-P12(t)。由马尔可夫过程解析法求得的可靠性曲线见图 9中实线。由图 9可知, 本文方法求得结果与马尔可夫过程方法求得结果非常接近。
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| 图 9 不同方法得到的交流电源系统的可靠度曲线 |
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| 图 10 交流电源系统的马尔可夫状态转移图 |
图 11为解析法(马尔可夫过程)求得的可靠度曲线与基于SPN的蒙特卡罗数值仿真求得的可靠度曲线之间的误差, 误差最大值为0.045 8。
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| 图 11 解析法曲线与蒙特卡罗数值仿真曲线之间的误差 |
对于民用飞机系统, 我们通常关心的是平均航段时间内的任务可靠性, 一般民用飞机的平均航段时间从几小时到十几小时不等。取平均航段时间为15 h, 在该时间内, 由解析法得到的可靠度曲线和由基于SPN的蒙特卡罗数值仿真求得的可靠度曲线如图 12所示, 该时间段内可靠度均大于99.999 9%。
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| 图 12 平均航段时间内交流电源系统的可靠度曲线 |
在平均航段时间内, 解析法求得可靠度曲线与基于SPN的蒙特卡罗数值仿真求得可靠度曲线最大误差为1.779 1×10-7, 最小误差为1.212 9×10-7。
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(11) |
本例中，利用前述的冷储备、温储备和载荷共担3种结构对交流电源系统进行可靠性建模，克服了传统故障树方法和可靠性框图法无法表征系统失效的时序特性的缺点。同时，本例中各部件的寿命均服从指数分布，可以通过马尔可夫过程进行建模求解；但是，当存在寿命不服从指数分布的部件时，马尔可夫模型无法使用。本文利用SPN提出的基于蒙特卡罗仿真的可靠性评估方法则不存在此项缺陷，在已知部件寿命分布的前提下，可以通过生成服从该分布的随机数进行仿真，从而能够求得各种寿命分布类型下的系统可靠性参数。此外，利用马尔可夫过程进行建模时，对于新系统，需要设计人员根据自己经验重新构建马尔可夫模型，对设计人员有较高要求；而利用本文方法建模时，对于新系统，可利用前述的各种基于SPN的动态系统可靠性模型进行组合，建模过程简洁方便。
5 结论本文针对温储备、冷储备、载荷共担等典型机载系统动态结构，建立了基于SPN的可靠性模型。并针对SPN可靠性模型，提出了一种蒙特卡罗仿真的可靠性评价方法。与传统可靠性建模工具相比，本文方法具有以下优点：
1) 与RBD(DDA)、FTA等静态可靠性建模工具相比，本文提出的基于Petri网的建模方法能够表示失效特征的时序特性，描述系统失效之间的依赖关系；
2) 与MA方法相比，基于蒙特卡罗仿真的模拟方法适用于各种寿命分布，克服了马尔可夫模型中所有单元寿命必须服从指数分布的局限性；
3) 对于新系统，利用马尔可夫模型进行可靠性分析需要重新构建新模型，本文只需利用已有的各种动态模型进行组合重构，避免了繁琐的建模过程。同时，本文仿真方法得到的可靠度误差在2×10-7以下，能够满足工程需要。
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