多传感器分布式多目标跟踪系统中，传感器通常不会在信号处理阶段提供时间戳，而是在其传送至数据处理节点时进行时间戳标注。由于信号处理延时、量测采集延时、数据传输和缓存延时等因素，用以标识量测对应时刻的时间戳并不总是准确的，会产生数百毫秒的时间偏差，且该偏差可能随时间变化，对于此类时间偏差的估计与补偿即为时间偏差校准^[1-2]。

针对时间偏差校准问题，文献[3]基于时间偏差与环境温度的关系构建时间偏差模型，并给出相应的偏差估计算法；文献[4]针对水下传感器构建信号传输延时模型，并提出该延时的估计与补偿算法。虽然上述两算法在其应用背景下均取得不错的效果，但由于时间偏差可能受到传感器类型、处理器性能以及其他多种外界环境因素的影响，这些算法不易推广至其他场景。文献[5]提出一种不敏Gauss-Helmert滤波器，对信号水下传输延迟所造成的时间偏差进行估计，并考虑到了声速的变化情况。但该算法是针对集中式目标跟踪系统设计的，无法直接应用于分布式结构。文献[6]将不确定时间延时建模为一个概率密度函数，并基于状态扩维卡尔曼滤波方法实现时间偏差估计，其缺点是概率密度函数必须先验。此外，在状态扩维估计方法中，全局处理器需要获取所有传感器量测才能实现时间偏差校准，而分布式融合结构中，全局处理器并不获取各传感器量测^[7]，因此状态扩维估计方法并不适用。

针对分布式融合结构，文献[8-9]在全局处理器中基于局部航迹和相应卡尔曼滤波增益构建伪量测方程进行空间偏差估计；文献[10]给出基于等效量测的分布式目标跟踪结构，在不需要卡尔曼滤波增益的情况下构建等效量测，既节省了通信带宽，又解决了融合跟踪中局部航迹和全局航迹相互耦合问题以及异步传感器时间配准问题；基于此，文献[11-12]在全局处理器仅基于局部航迹进行等效量测与伪量测构造，并给出空间偏差估计算法。

综上所述，文献[8-12]给出分布式融合结构中空间偏差校准问题的解决方法，然而，在量测信息存在时间偏差下的研究目前较为少见。因此，本文提出一种时间偏差校准分布式多传感器多目标跟踪算法，联合进行时间偏差校准和多传感器多目标跟踪，以获得更高精度的全局航迹。算法主要贡献如下：在异步分布式多传感器匀速直线运动目标跟踪系统中，基于两局部处理器等效量测推导出时间偏差伪量测方程，且在绝对时间偏差不可观测下，将其简化为传感器相对时间偏差的伪量测方程；在量测存在虚警和漏检下，构建时间偏差校准分布式多传感器多目标跟踪架构，联合进行时间偏差校准、“等效量测-全局航迹”关联与全局航迹更新，获得更高精度的全局航迹。仿真实验采用两雷达进行四目标跟踪，验证了所提算法的有效性。

1 问题描述 1.1 含有时间偏差的量测与状态方程

分布式多传感器多目标跟踪系统中，假设存在J个目标在二维笛卡尔坐标系做匀速直线运动, 系统由I个传感器实时提供极坐标系下二维量测信息。则目标j在t_kⁱ时刻的状态可以表示为

(1)

式中：k表示采样步数, i=1, 2, …, I表示传感器编号；分别表示目标在x轴和y轴的位置与速度分量。目标状态方程为

(2)

式中：F_j(t_kⁱ|t_k-1ⁱ)为t_k-1ⁱ至t_kⁱ时刻的状态转移矩阵；w_j(t_kⁱ|t_k-1ⁱ)为零均值高斯白噪声, 其噪声协方差矩阵为Q_j(t_kⁱ |t_k-1ⁱ)。

图 1给出了多传感器目标跟踪系统中时间戳、量测时刻以及时间偏差的对应关系。其中, t_kⁱ表示传感器i的第k个时间戳, t_kⁱ表示其对应的准确量测时刻, 则传感器i的量测时间偏差可表示为

(3)

参考现有传感器量测空间偏差模型^[12], 可将随时间缓慢变化的时间偏差Δt_kⁱ建模为含有过程噪声的时变量, 即

(4)

式中, ∈_i(t_kⁱ |t_k-1ⁱ)表示方差为q_i(t_kⁱ |t_k-1ⁱ)的零均值高斯白噪声。

考虑时间偏差因素, 时间戳为t_kⁱ的量测Z_{i, j}(t_kⁱ)其实是传感器i在真实采样时刻t_kⁱ所探测到的目标位置。假设传感器i在笛卡尔坐标系下的已知位置为(x_oⁱ, y_oⁱ), 则相应量测方程为

(5)

式中: v_{i, j}(t_kⁱ)为零均值高斯量测噪声向量; 噪声协方差矩阵为R_i(t_kⁱ)。系统中, 传感器i探测概率为P_dⁱ, 假设在探测区域内存在服从均匀分布的杂波, 则量测中可能出现虚警情况。

若传感器量测时间戳准确, 即t_kⁱ=t_kⁱ, 可结合状态方程(2)与量测方程(5), 通过非线性滤波方法估计目标状态X_j(t_kⁱ)^[13]。然而, 当存在时间偏差时, 由于真实量测时刻t_kⁱ未知, 只能采用目标状态方程

(6)

与量测方程(5)进行目标状态估计, 得到状态估计值。考虑时间偏差缓慢变化, 可近似认为时间戳t_kⁱ和t_k-1ⁱ的间隔与真实时刻t_kⁱ和t_k-1ⁱ的间隔相同, 因而状态转移矩阵F_j(t_kⁱ|t_k-1ⁱ)与F_j(t_kⁱ |t_k-1ⁱ)在非线性滤波中的作用也相同。又因为Z_{i, j}(t_kⁱ)实际为t_kⁱ时刻目标对应量测, 可知非线性滤波算法所获得的是目标j在t_kⁱ时刻状态X_j(t_kⁱ)的估计值。也就是说, 状态估计的时间戳也存在时间偏差, 且与传感器量测的时间偏差相同。图 2给出了目标x轴真实位置、转换量测及位置估计示意图, 以便更直观地展示时间偏差对估计结果产生的影响。

1.2 基于等效量测的分布式目标跟踪结构

针对多传感器分布式融合跟踪中局部航迹和全局航迹相互耦合的问题, 基于局部航迹和目标状态方程构建等效量测进行分布式多目标跟踪^[10], 从而实现状态估计误差间的解耦, 最终得到融合后的全局航迹。假设所有航迹均已成功起始, 则基于等效量测的分布式目标跟踪结构如下所示:

1) 传感器级跟踪:各局部处理器通过传感器获得量测信息, 通过“点迹-航迹”关联和非线性滤波更新现有局部航迹, 计算相应目标状态估计及其误差协方差矩阵。

2) 航迹通信:考虑到通信负荷, 各局部处理器以固定的时间间隔同步或异步地将其所获得的局部航迹传输至全局处理器。

3) 全局航迹更新:全局处理器基于接收到的局部航迹进行等效量测计算、“等效量测-全局航迹”关联和全局航迹更新。

若上述结构的目标跟踪系统中传感器量测含有时间偏差, 则会造成步骤1)传感器级跟踪中所获得局部航迹的时间戳不准确, 引起相应状态估计的偏差。而这种偏差会带入至步骤3)全局处理器中的等效量测计算以及后续流程, 进而影响到“等效量测-全局航迹”关联的准确度和融合后的全局航迹精度。因此, 需要在全局处理器航迹更新过程中进行时间偏差的估计与补偿。

2 时间偏差伪量测方程

全局处理器中, 基于处理器i提供的局部航迹, 可进行时间戳为t_kⁱ的等效量测计算。其对应的量测方程为

(7)

式中, 为零均值的等效量测噪声。1.1节中指出, 实际是目标状态X_j(t_kⁱ)的估计值, 因而公式(7)中采用X_j(t_kⁱ)而不是X_j(t_kⁱ)。基于逆卡尔曼滤波^[10], 可计算出等效于传感器i量测序列{ψ_i(t_k-n+1ⁱ), …, ψ_i(t_kⁱ)}的等效量测

(8)

式中, ψ_i(t_kⁱ)是时间戳为t_kⁱ的所有目标量测集合,

(9)

其等效量测噪声协方差为

(10)

需要说明的是, 由于与其他时刻等效量测噪声非正交, (8)式中构建的等效量测应用在卡尔曼滤波中并非是最优的^[13], 且等效量测计算需满足^{[10, 12]}:所需要的状态估计步数n>1;矩阵P_{i, j}(t_k-nⁱ), P_{i, j}(t_kⁱ |t_k-nⁱ)和[P_{i, j}(t_kⁱ)^-1-P_{i, j}(t_kⁱ |t_k-nⁱ)^-1]均为非奇异矩阵。

基于各局部航迹所计算出的等效量测可用来构建关于时间偏差的伪量测, 再结合相应的时间偏差伪量测方程与状态方程, 即可通过滤波方法实现时间偏差估计。本节考虑两异步传感器的分布式目标跟踪系统, 给出基于等效量测的伪量测计算方法和伪量测方程的推导过程, 其结论可以很容易地推广至同步或异步的多传感器目标跟踪场景中。

基于局部处理器1提供的局部航迹, 结合目标状态方程(2), 等效量测方程(7)可以表示为

(11)

式中: I表示与状态转移矩阵F_j(t_k¹|t_k¹)维数相同的单位矩阵; w_j(t_k¹|t_k¹)为相应过程噪声。相似的, 基于处理器2局部航迹信息的等效量测方程可表示为

(12)

将u_{1, j}(t_k¹)与u_{2, j}(t_k²)相减, 可得如下伪量测方程

(13)

将公式(3)带入公式(13), 可得

(14)

式中

(15)

ΔT_k^{1, 2}=t_k¹-t_k²表示时间戳t_k¹与t_k²间的时间差。

考虑到公式(14)的第二、四项为对时间偏差估计无作用的噪声项, 可将其乘以矩阵

(16)

得到简化的伪量测方程

(17)

式中, Π_j(k)为伪量测状态转移矩阵。

(18)

为零均值伪量测噪声。

(19)

其噪声协方差矩阵为

(20)

文献[14]给出了基于矩阵

(21)

的系统能观性判定方法。对于匀速直线运动目标, 在临近时刻目标的运动速度基本保持不变, 即。因此, Σ_j(k)为特征值极小的近似奇异矩阵。进而可知, 状态向量[Δt_k¹  Δt_k²]^T的能观性极差, 即无法获得准确的绝对时间偏差估计。若将待估计状态改为两传感器相对时间偏差Δt_k^{1, 2}=Δt_k¹-Δt_k², 可以得到伪量测方程

(22)

其对应公式(21)中的Σ_j(k)为常数, 因而Δt_k^{1, 2}可观测。针对公式(22)中目标真实速度无法直接获取的问题, 可采用速度的估计值对其进行替代, 最终得到关于Δt_k^{1, 2}的伪量测方程

(23)

3 时间偏差校准分布式多传感器多目标跟踪架构

本节设计出一个时间偏差校准分布式多传感器多目标跟踪架构, 并详细描述了目标跟踪过程中在局部处理器和全局处理器的数据处理过程。本节主要针对两局部处理器异步情况展开研究, 相应分布式融合系统的数据流如图 3所示, 本节研究成果可以拓展至多局部处理器同步或异步的情况。

3.1 局部处理器目标跟踪

基于各传感器量测, 各局部处理器采用联合概率密度关联(JPDA)算法^[15]进行“点迹-航迹”关联, 并采用扩展卡尔曼滤波(EKF)算法进行目标状态估计, 获得当前时刻目标的状态估计及其误差协方差矩阵P_{i, j}(t_kⁱ), 即需要传输至全局处理器的局部航迹信息。

3.2 时间偏差校准与全局航迹更新

由于本文主要针对跟踪系统中时间偏差校准与状态估计问题进行研究, 所有局部航迹均假设已成功起始。因此, 全局航迹可以直接采用任意一条局部航迹作为初始时刻的航迹信息, 完成航迹起始。如图 3所示, 在t_k¹时刻, 全局航迹可采用来自处理器1的局部航迹进行航迹起始。相应的, 他们的时间偏差相同。此时, 两传感器间的相对时间偏差会引起等效量测(基于局部处理器2航迹)与全局航迹的误关联以及融合后全局航迹精度下降的问题。因此, 考虑时间偏差校准, 可在全局处理器按照图 4流程分步实现全局航迹的更新。

图 4中, 依据各部分功能和数据处理顺序可将整个流程具体分为以下5个主要步骤:

1) 等效量测计算及检验

当任意局部处理器i将其所获得的目标状态估计与相应估计误差协方差{P_{i, j}(t_kⁱ)}传输至全局处理器时, 可基于公式(8)和(10)计算出相应的等效量测及其误差协方差。

由于初始时刻来自处理器1的局部航迹被作为全局航迹, 他们的时间偏差均为Δt_k¹。此后, 可基于卡尔曼滤波的预测步骤对第j条全局航迹进行预测, 获得和P_j(t_β|t_α), 其中, t_α和t_β分别为两相邻时刻时间戳。若当前从处理器1接收到时间戳为t_k¹的局部航迹, t_β=t_k¹; 当接收到的局部航迹为处理器2发送的时间戳为t_k²的航迹时, t_β取值以保证所有时刻全局航迹具有相同时间偏差, 其中为实时更新的相对时间偏差估计值, 其估计算法将在步骤3)中详细介绍。

然后, 可通过椭圆形波门筛选出落入波门的有效等效量测

(24)

式中

(25)

γ是取决于状态维数的波门门限参数^[16]。

2) “等效量测-全局航迹”关联

与JPDA算法类似, 可获得可行性关联事件{θ_l(t_β), l=1, …, L}及其事件矩阵[ρ_nm]。其中

(26)

下标n=1, …, N(t_β)和m=1, …, M(t_β)分别为航迹和等效量测编号。由于融合中心关联过程中所有等效量测均存在对应局部航迹, 因而可忽略杂波问题, 将关联过程考虑为一个二维分配过程。因此, 可采用二维分配算法^[13]进行“等效量测-全局航迹”关联, 该方法相对于JPDA效率更高, 可在保证关联正确率的同时降低计算负担。从而, 关联过程可简化为:寻找最优关联事件矩阵, 使其满足相应代价函数最小的条件, 即

(27)

式中, c_nm为负对数似然比代价函数^[13]。

3) 相对时间偏差估计

相对时间偏差伪量测方程(23)可简化表示为

(28)

相应的, 相对时间偏差的状态方程为

(29)

其过程噪声方差为

(30)

进而, 本节提出一种基于伪量测的相对时间偏差估计算法, 在各个时刻, 基于空间上多目标航迹对应的伪量测, 通过递推最小二乘估计进行状态更新, 在时间序列上, 采用卡尔曼滤波进行状态更新, 其具体流程如算法1所示。

算法1  基于伪量测的相对时间偏差估计算法

输入: ;

输出: 。

1) 基于目标1对应两局部航迹构造的伪量测z₁^{1, 2}(k)及其误差协方差Y₁^{1, 2}(k), 通过卡尔曼滤波估计第k步临时相对时间偏差, 得到

式中, Π₁(k)可基于获得,

2) For j=2, …, J, do

采用递推最小二乘估计^[12], 更新和Σ_k^t, 即

式中

End for

3) Return

当来自不同处理器的局部航迹周期不同时, 以较长周期的局部航迹为标准构建相同周期的伪量测, 进行全局航迹更新。因此, 对于处理频率较高的局部处理器, 一个全局航迹更新周期中可能存在多个时刻关于相同目标的局部航迹。为减轻计算负担, 对于每个处理器提供的局部航迹, 本算法仅采用时间戳最接近全局航迹更新时刻的一组数据进行航迹更新。相应的, 文献[17]针对空间偏差估计问题, 曾提出一种充分利用所有异步量测数据的伪量测构建方法, 可以扩展应用至本算法中进一步提高全局估计精度。

4) 基于校准时间戳的全局航迹更新

如图 3所示, 若全局处理器当前接收到来自处理器1时间戳为t_k+n¹的局部航迹, 经波门验证后, 相应的等效量测u_{1, j}(t_k+n¹)被作为目标j在t_k+n¹时刻的量测信息, 基于卡尔曼滤波进行状态更新。则时间戳为t_k+n¹的状态估计及其误差协方差矩阵为

(31)

(32)

式中, 卡尔曼滤波增益为

(33)

若全局处理器接收到来自处理器2时间戳为t_k+m²的局部航迹, 则需要先对算法1所获得的相对时间偏差估计进行补偿, 再进行状态更新。即全局状态更新时, 需要将等效量测的时间戳t_k+m²替换为t_k+m², 得到全局状态估计及其估计误差协方差。此外, 还需要将反馈至步骤1)中, 对下一时刻t_β的值进行更新, 提高“等效量测-全局航迹”关联的准确率。

5) 全局航迹时间戳修正

上述步骤所得全局状态估计仍存在时间偏差, 该偏差近似于传感器1的量测时间偏差Δt_k¹。由其成因可知, 量测时间偏差是非负的。因此, 可通过相对时间偏差估计值来找出量测时间戳更精确的传感器。当时, Δt_k¹>Δt_k², 传感器2时间戳较准确, 由于系统期望获得最小时间偏差全局航迹, 可通过将算法所得全局航迹时间戳减去来获取最终时间戳; 其他情况下, Δt_k¹≤Δt_k², 无需对时间戳进行操作。

4 实验及结果分析

不失一般性, 假设四飞行器在两部雷达监视区域内做匀速直线运动, 雷达位置分别为(-30 km, 0 km)和(0 km, -30 km)。雷达获得极坐标系下的量测信息, 其量测噪声方差阵均为

(34)

探测概率为P_d¹=P_d²=0.95, 采样周期均为0.5 s。探测区域内存在服从均匀分布的杂波, 每次量测的杂波数服从泊松分布, 其密度为2×10^-3(rad·m)^-1。两部雷达分别自0 s和0.1 s开始提供量测, 量测时间戳初始时间偏差分别为Δt₀¹=0.3 s和Δt₀²=0.05 s, 时间偏差过程噪声方差均为10^-6s²。各目标的初始速度均为250 m/s, 图 5给出他们的初始位置和速度方向, 以及各雷达位置、各目标真实航迹、二维笛卡尔坐标系下雷达转换量测与杂波。

仿真实验中, 所有目标航迹均已通过两点起始方法^[18]成功起始。各局部处理器基于相应单雷达量测, 采用JPDA-EKF算法实现多目标跟踪, 跟踪时长均为400 s, 局部处理器1和2分别以周期6 s和5 s异步地送出局部航迹。全局处理器基于算法1进行相对时间偏差估计, 以局部处理器1时间戳为基准进行全局航迹更新。由于算法1所得到的相对时间偏差估计在初始若干时刻并未收敛, 仿真实验前50 s并未基于相对时间偏差估计进行时间校准。此后, 全局处理器基于本文所提出算法联合进行相对时间偏差校准和全局航迹更新。

为验证其跟踪效果, 图 6给出估计器所得到的全局航迹、基于局部航迹计算出的等效量测以及各目标的真实航迹。由该图可以观察到, 在等效量测中存在野值, 这是由局部处理器进行跟踪过程中的量测缺失或错误的“点迹-航迹”关联引起的, 在全局处理器中可通过公式(24)进行野值剔除来消除不良影响。此外, 实验过程中注意到由公式(10)计算所得的等效量测噪声协方差矩阵U_{i, j}(t_kⁱ)并不总是正定, 该现象与等效量测中野值的成因相同。针对这种情况, 相应的等效量测将不再适合作为全局卡尔曼滤波器的量测信息进行目标状态估计。因此, 需要额外设定一个门限进行等效量测筛选, 即当|U_{i, j}(t_kⁱ)| < ε时, 不再采用该等效量测进行全局航迹更新, 其中门限可依据工程经验选取一个极小值^[11]。

图 7和图 8给出目标1的x轴与y轴位置估计RMSE曲线, 两图均显示出:处理器2提供的局部航迹精度高于处理器1所提供的局部航迹精度。这是由于, 在两雷达量测精度一致的基础上, 雷达2量测数据的时间戳精度高于雷达1。此外, 本文算法得到的全局航迹精度优于所有局部航迹和未经时间偏差校准的全局航迹。尤其在跟踪一段时间后, 当时间偏差估计收敛时, 所提算法效果更明显。本算法所得全局航迹前期表现与未经偏差校准的全局航迹一致, 这是由于仿真实验从第50 s开始进行相对时间偏差估计和补偿, 在此之前两方法是相同的。图 9给出本文算法相对时间偏差估计的RMSE曲线, 显示出其估计RMSE随跟踪时间推移收敛, 最终接近于0.025 s, 且仍具有下降趋势。

为进一步验证所提算法有效性, 表 1给出不同方法在最后时刻对所有目标位置估计的RMSE, 其中各目标位置估计RMSE的最小值均用黑体进行标注。表 1结果与图 7和图 8结论相一致, 说明本文算法对航迹精度的提升在多种情况下均适用。

5 结论

本文针对分布式多目标跟踪系统中传感器量测存在时间偏差的问题，提出一种时间偏差校准分布式多传感器多目标跟踪算法。首先，分析了分布式多目标跟踪系统中存在的时间偏差问题及其对跟踪结果造成的影响；然后，利用逆卡尔曼滤波，基于各局部航迹进行等效量测计算，并推导出相对时间偏差的伪量测方程，其中伪量测为不同局部处理器得到的等效量测差；最后，基于伪量测方程，在全局处理器提出一种相对时间偏差估计算法，并构建一个时间偏差下的分布式多传感器多目标跟踪架构，联合地进行时间偏差估计与补偿、“等效量测-全局航迹”关联、全局航迹更新，以期得到精度更高的全局航迹。本文算法不仅适用于异步航迹融合，而且适用于同步航迹融合。仿真实验表明：在量测存在虚警和漏检情况下，本文算法可获得准确的相对时间偏差估计，并提高全局航迹精度。

本文主要对匀速直线运动的目标跟踪场景进行讨论，在后续研究中，将致力于所提算法扩展至机动目标跟踪场景的研究中，进一步提升算法的工程意义。此外，本文算法局限于时间偏差缓慢变化的情况，希望在下一步的研究中，考察多类目标跟踪系统中时间偏差的变化特性，对其进行更为准确的建模，并基于此对传感器量测存在时间偏差的目标跟踪问题展开更深入的研究。