齿轮作为传递运动和动力的关键部件, 被广泛应用于各类军用和民用机械装备中, 其减振降噪及非线性动力学研究^[1]一直是国内外学者研究的重点。为了保证齿轮的正常传动和良好的润滑, 设计时必须预留齿侧间隙。随着齿轮转速和载荷变化, 在高速、轻载等工况下, 齿侧间隙的存在使齿轮啮合时出现齿面啮合、轮齿脱啮、齿背啮合、齿背冲击等多工作状态啮合情况, 也称为齿轮拍击现象。这些工作状态之间相互切换时, 由于主、从动轮齿间的速度差异等, 引起齿面、齿背冲击, 进而引起齿轮振动和噪声。为了准确分析齿轮系统的动力学特性、掌握其运动机理, 基于齿轮副系统的多工作状态, 建立考虑摩擦影响的多状态啮合齿轮系统动力学模型是有必要的。Kahraman等^[2]首先提出含间隙的齿轮系统动力学模型, 并用谐波平衡法求解, 发现了跃迁频率、亚谐波共振及混沌现象。Ozgurn^[3]建立了考虑齿侧间隙引起的齿背冲击作用的齿轮系统动力学模型。张锁怀等^[4]在考虑轮齿间隙、脱齿、挤齿及齿背接触等因素的情况下, 建立了齿轮耦合的转子-滑动轴承系统的动力学模型, 并用数值仿真法和映射法研究了齿轮系统的拍击振动特性^[5]。Wang等^[6]建立了一种考虑间隙、时变刚度和传递误差的准双曲面齿轮扭转振动模型, 研究了轮齿间隙对轮齿接触区域、动态响应的作用。Vaishya等^[7-8]研究了齿轮系统的摩擦力, 建立了计及摩擦力的齿轮系统动力学模型。王三民等^[9]建立了考虑摩擦、时变刚度、齿侧间隙的单自由度齿轮系统非线性动力学模型。唐进元等^[10]建立了一种考虑齿面摩擦、时变刚度和齿侧间隙的改进动力学模型。盛冬平等^[11]采用集中质量法, 建立了齿轮-转子-轴承系统的四自由度的弯扭耦合非线性振动模型。苟向锋等^[12]基于Blok闪温理论, 建立了考虑齿面接触温度的齿轮系统非线性动力学模型。向玲等^[13]综合了动态侧隙、齿面摩擦、齿轮偏心及时变啮合刚度等因素, 建立了齿轮-转子-滚动轴承系统的弯扭耦合非线性动力学模型。任薇等^[14]考虑时变啮合刚度、综合传递误差和齿侧间隙等因素的影响, 建立了圆柱齿轮分流传动系统的弯扭耦合动力学模型。张靖等^[15]建立了考虑齿面摩擦影响的六自由度直齿轮系统非线性动力学模型, 基于混合润滑模型分析了齿面粗糙度对齿轮啮合力、摩擦力、轴承力等信号的时频特征的影响。钱露露等^[16]用有限元节点建模方法建立考虑轴、齿轮转子陀螺效应的单级齿轮传动系统动力学模型。张笑等^[17]计入温度效应并考虑齿面摩擦、齿侧间隙等非线性因素, 建立了直齿轮系统的动力学微分方程。卢少波等^[18]引入空间特殊环境下的温度交变效应, 建立了适用于空间环境的单自由度直齿轮系统非线性动力学模型。最近, 刘更等^[19]详细综述了齿面摩擦对齿轮振动噪声影响的研究现状和发展趋势, 并对现有研究中存在的主要问题及研究方向提出了建议。以上模型考虑的因素越来越全面、工况越来越复杂且具体。但建模的基本思想仍沿用分段间隙函数的简化处理, 未按照齿轮传动的啮合原理分段处理不同的工作状态。不同啮合状态下齿轮副的啮合齿廓、啮合线和受力情况等有所不同, 如齿背啮合时, 从动轮齿背齿廓推动主动轮齿背齿廓实现啮合。故在不同的啮合状态, 根据齿轮传动的啮合原理和轮齿受力情况, 应分段建立不同啮合状态下齿轮系统动力学模型。

本文考虑摩擦对齿轮副系统的影响, 基于渐开线标准直齿轮传动的啮合原理和轮齿的受力情况, 分别建立齿轮副系统在齿面啮合、轮齿脱啮、齿背啮合、齿面冲击及齿背冲击等多状态下的动力学模型, 考虑不同润滑方案对齿面摩擦因数的影响, 分别将不同润滑方案的时变摩擦因数引入多状态啮合齿轮系统动力学模型中, 研究了不同润滑方案对系统动态啮合力、振动位移的影响规律, 分析了载荷变化对弹流润滑影响的齿轮系统齿面啮合、轮齿脱啮、齿背啮合等啮合状态和振动特性的影响规律。

1 考虑润滑影响的多状态啮合渐开线直齿轮传动系统动力学模型

假设齿轮副为刚性支撑, 直齿轮系统可简化处理为齿轮副的扭转振动系统, 其简化的物理模型如图 1所示^{[2, 9, 12, 15]}。

该模型中主、从动轮的转矩分别为T_p和T_g, 转动角位移分别为θ_p和θ_g, 转动惯量分别为I_p和I_g, 基圆半径分别为R_bp和R_bg, c_g为齿轮副的线性啮合阻尼, 2为齿侧间隙, μ(t)为齿面时变摩擦因数(见1.2节); k(t)为时变啮合刚度, 可表示k(t)=k_av+k_acos(ω_ht), 其中k_av为平均啮合刚度, k_a为刚度波动系数, ω_h为啮合频率。e(t)为齿轮副动态传递误差, 根据文献[2]等的研究, 动态传递误差可表示为e(t)=E_aω_h²cos(ω_ht), 其中E_a为误差波动系数。便于计算和分析, 本文选取相同结构参数的主、从动轮, 其相关参数见表 1。不同结构参数的主、从动轮对本文分析结果不会产生较大影响。

假设用单对轮齿啮合代替齿轮传动的啮合过程, 基于齿轮传动的啮合原理和轮齿的受力情况分别建立齿面啮合、脱啮和齿背啮合下齿轮系统的非线性动力学模型。

1.1 考虑摩擦的多状态啮合动力学模型 1.1.1 齿面啮合状态下的运动方程

图 2为渐开线直齿轮副在齿面啮合状态下的示意图。主动轮作为驱动轮, 由主动轮的齿面齿廓推动从动轮的齿面齿廓沿着啮合线N₁→N₂移动, 进而传递运动和动力。主、从动轮的转速分别为ω_p和ω_g, 沿压力线(啮合线)所受的动态啮合力分别为F_Np和F_Ng, 垂直于啮合线方向所受齿面摩擦力分别为F_fp和F_fg, 其方向如图 2所示。便于分析, 设沿着啮合线N₁→N₂的方向为正方向, 两轮齿在啮合线方向的相对位移量为 , 基于齿轮副啮合原理和两轮齿受力情况, 齿轮副满足齿面啮合状态的条件为:①从动轮受齿面法向正压力大于零, 即F_Ng>0;②齿轮副在啮合线方向的相对位移量大于齿侧间隙值, 即 。根据牛顿第二定律可得主、从动齿轮的绝对转动方程

(1)

式中, 两轮齿齿面法向正压力F_Np=F_Ng, 可由(2)式计算得到。

(2)

式中, 作用在两轮齿齿面的摩擦力F_fp和F_fg与时变摩擦力方向系数λ_m(t)、时变摩擦因数μ_m(t)和齿面法向正压力成正比, 可由(3)式计算得到^[15]。

(3)

(1) 式中, 时变摩擦力方向系数λ_m(t)与啮合点的位置有关, 在节点附近齿面滑移速度方向发生变化, 导致摩擦力方向发生变化。故时变摩擦力方向系数λ_m(t)与齿面滑移速度v_ms(t)相关, 可由(4)式计算得到。

(4)

式中：sgn(·)为符号函数；齿面滑移速度v_ms(t)与啮合点位置和两轮齿转速相关, 可由(5)式计算得到。

(5)

式中, R_mp(t)和R_mg(t)分别为啮合点到主、从动轮轴心的距离, 可由(6)式计算得到。

(6)

(5) 式中, α_mp(t)和α_mg(t)分别为主、从动轮啮合点处的压力角, 可由(7)式计算得到。

(7)

(1) 式中, S_mp(t)和S_mg(t)为主、从动轮摩擦力臂, 可由(8)式计算得到。

(8)

将(2)至(3)式带入(1)式, (1)式中方程两边分别同乘以R_bp/I_p和R_bg/I_g后相减, 并引入轮齿相对位移可得

(9)

式中：为当量质量；g_m(t)= 为等效摩擦力臂； 为内部误差激励；负载为 。

系统固有频率为为平均啮合刚度, 无量纲啮合频率为ω=ω_h/ω_n, ω_h为啮合频率。引入特征尺寸D_c, 则无量纲间隙。令 。取无量纲时变啮合刚度为k_m(t)=1+kcos(ωt), 无量纲内部误差激励为F_h(t)=εω²cos(ωt), (1)式可无量纲化为

(10)

1.1.2 脱啮状态下的运动方程

随着齿轮传动工况条件的变化, 齿轮副会出现轮齿脱啮情况。图 3为渐开线标准直齿轮副在脱啮状态下的示意图, 主、从动轮的啮合齿面相互分离, 系统处于完全脱啮状态, 两齿轮为相互独立的转动体, 两轮齿齿面法向啮合力和齿面摩擦力均为零。基于齿轮副啮合原理和轮齿受力情况, 齿轮副满足轮齿脱啮状态的条件为:①从动轮受齿面法向正压力为零, F_Ng=0;②齿轮副在啮合线方向的相对位移量的绝对值小于齿侧间隙值, 。根据牛顿第二运动定律可得主、从动齿轮的绝对转动方程

(11)

无量纲之后, 可得

(12)

1.1.3 齿背啮合状态下的运动方程

齿轮传动系统在轻载或高转速工况下工作时, 齿轮副两轮齿可能出现齿背冲击或齿背啮合的情况。图 4为渐开线标准直齿轮副在齿背啮合状态下的示意图。从动轮作为驱动轮, 由从动轮的齿背齿廓推动主动轮的齿背齿廓沿着啮合线M₁→M₂移动。主、从动轮的转速分别为ω_p和ω_g, 齿背法向啮合力分别为F_Np和F_Ng, 垂直于啮合线方向的齿背摩擦力分别为F_fp和F_fg, 其方向如图 4所示。便于分析, 设沿着啮合线M₁→M₂的方向为正方向, 为了与齿面啮合状态相对位移量统一, 令齿轮副齿背啮合的相对位移量为且沿着啮合线M₁→M₂的反方向, 即, 基于齿轮副啮合原理和两轮齿受力情况, 齿轮副齿背啮合状态的条件为:①从动轮受齿背法向正压力小于零, 即F_Ng < 0;②齿轮副在啮合线方向的相对位移量小于齿侧间隙的负值, 即。根据牛顿第二运动定律得主、从动齿轮的绝对转动方程

(13)

假设主、从动轮齿背齿廓与齿面齿廓完全相同且材料也相同, 即, 齿背啮合和齿面啮合的时变啮合刚度和线性啮合阻尼相同, 则齿背法向啮合力可由(2)式计算得到。由于齿背啮合时齿轮副的啮合线发生变化(两轮齿齿背进行啮合), 故啮合点的相关时变几何参数的计算发生了变化, 如主、从动轮啮合点处压力角、啮合点到两轮齿轴心的距离、摩擦力臂等, 进而导致齿背摩擦因数、齿背摩擦力、齿背摩擦力方向系数、等效摩擦力臂等的计算方法发生变化。因此, 需根据齿背啮合时两轮齿间的几何位置关系重新推导计算。(13)式中, S_ip(t)和S_ig(t)为齿背啮合时主、从动轮摩擦力臂, 根据两轮齿齿背啮合关系, 可由(14)式计算得到。

(14)

(13) 式中, 作用在两轮齿齿背的摩擦力F_fp和F_fg, 可由(15)式计算得到。

(15)

式中, 时变摩擦力方向系数λ_i(t)与齿背滑移速度v_is(t)相关, 可由(16)式计算得到。

(16)

齿背滑移速度v_is(t), 可由(17)式计算得到。

(17)

式中, R_ip(t)和R_ig(t)分别为齿背啮合点到主、从动轮轴心的距离, 可由(18)式计算得到。

(18)

(17) 式中, α_ip(t)和α_ig(t)分别为主、从动轮齿背啮合点处的压力角, 可由(19)式计算得到。

(19)

与1.1.1节相似, 将(2)式和(15)式代入(13)式, 对(13)式进行无量纲处理后, 可得无量纲的齿轮副齿背啮合的动力学方程

(20)

由以上分析可得, 齿轮副系统在齿面啮合、脱啮、齿背啮合3种啮合状态下的无量纲动力学方程可分别用(10)式、(12)式和(20)式表示。

1.2 不同润滑方案下时变摩擦因数的计算

工程实际中, 随着润滑油膜厚度的变化, 齿轮系统出现混合润滑(ML)、弹流润滑(EHL)和干摩擦等状态。不同润滑状态的齿面摩擦因数不同。

1.2.1 混合润滑(ML)

混合润滑的时变摩擦因数可由(21)式得到^[20]。

(21)

式中, R_aavg=(R_a1+R_a2)/2为平均齿面粗糙度, 其中R_a1和R_a2分别为主、从动轮轮齿表面粗糙度; η_M=0.058为考虑齿面接触温度的动态黏度; f_e为齿面法向单位载荷, 根据文献[20], 可以表示为f_e=T_p/(bR_bpcosα); v_s(t)为啮合面滑移速度, 齿面啮合时v_s(t)可由(5)至(7)式计算得到, 齿背啮合时可由(17)至(19)式计算得到; v_e(t)为卷吸速度, 齿面啮合时可由(22)式、(6)式和(7)式计算得到, 齿背啮合时可由(23)式、(18)式和(19)式计算得到。

(22)

(23)

1.2.2 弹流润滑状态(EHL)

弹流润滑的时变摩擦因数可由(24)式得到^[20]。

(24)

式中

(25)

式中, 无量纲滚滑率R_i(t)=2v_s(t)/v_e(t), 最大赫兹压力P_hi(t)可由(26)式计算得到。

(26)

式中：μ_i(i=1, 2)和E_i(i=1, 2)分别为主、从动轮的泊松比和弹性模量；ρ_r(t)为相对曲率半径。(24)式和(25)式中, b_i(i=1, 2, …, 9)为经验因子, 其值参见文献[20]。

1.2.3 干摩擦状态

干摩擦下, 两轮齿间的润滑油膜厚度近似为零。其摩擦因数可作为一个常数处理, μ_B(t)=μ_B。

不同润滑状态可用油膜参数Λ(中心油膜厚度与啮合齿面等效粗糙度的比值)区分, 根据文献[20]的研究, 当4≤Λ < 10, 为齿面弹流润滑, 当1 < Λ < 4, 为齿面混合润滑, 当Λ较小时, 近似为干摩擦状态。油膜参数Λ可由(27)式计算得到^[20]

(27)

式中, L_X为滤波器截止波长, b_H(t)为接触带半宽, 可由(28)式计算得到, H_c(t)为中心油膜厚度, 可由(29)式计算得到。

(28)

(29)

式中

1.3 考虑润滑的齿轮传动系统冲击动力学模型

基于1.1节的推导, 下面分别建立渐开线标准直齿轮传动系统齿面冲击和齿背冲击的无量纲方程。

当x=D时, 齿轮副处于齿面冲击状态, 其无量纲齿面冲击方程为^[5]

(30)

当x=-D时, 齿轮副处于齿背冲击状态, 其无量纲齿背冲击方程为^[5]

(31)

(30) 式和(31)式中, 下标“+”和“-”分别表示冲击前和后的速度, R为冲击前后能量损失系数(0 < R < 1)。

基于以上分析, 考虑润滑影响的多状态啮合齿轮冲击振动模型可表示为(32)式

(32)

分别将2.2节中不同润滑方案的时变摩擦因数带入(32)式, 可得不同润滑方案下含时变摩擦的多状态啮合齿轮系统冲击动力学模型。便于分析齿轮副系统的冲击振动和多状态啮合特性, 下面定义3种不同的Poincaré映射截面:①频闪映射截面:σ_n= ; ②齿面冲击映射截面: ; ③齿背冲击映射截面: 。基于3种不同的映射, 齿轮副系统在啮合过程中的多状态动力学特性可用符号n-p-q表征, 其中n表示频闪映射截面σ_n上的周期数, p表示齿面冲击映射截面σ_p上的周期数, q表示齿背冲击映射截面σ_q上的周期数。

2 多润滑方案下齿轮系统动力学分析

针对含摩擦的多状态啮合齿轮系统(32), 分别考虑其在无齿面冲击、齿面冲击和齿背冲击3种啮合状态下不同润滑方案(摩擦因数)对其动力学特性的影响, 基于四阶变步长Runge-Kutta法进行数值求解。齿面和齿背啮合时的动态啮合力可分别表示为(33)式和(34)式

(33)

(34)

2.1 无齿面冲击

取齿轮副系统参数如下:主、从动轮转动惯量为I_p=I_g=3.52×10^-3 kg·m², 平均啮合刚度为k_av=4.0×10⁸ N/m, 输入转速为n=1 000 r/min, 负载转矩为T_g=100 N·m, 齿侧间隙为2 =200 μm, 啮合阻尼为C_g=1 000 N·s/m。经无量纲后, 可得无量纲参数为:k=0.25, ξ=0.05, ε=0.12, F=0.1, D=1.0, ω=0.2。图 5为齿轮副系统在无摩擦、弹流润滑、混合润滑以及干摩擦4种方案下动态啮合力随时间变化的叠加图, 图 6为系统在相应4种方案下的相轨图。根据图 5和图 6, 系统动态啮合力始终大于零(F_m>0), 齿轮副相对位移始终大于间隙(x>D), 故齿轮系统始终处于齿面啮合状态。由图 5可知, 摩擦加强了系统动态啮合力的振动幅值, 不同润滑方案对其振动幅值的影响程度不同, 相比而言, 弹流润滑对系统动态啮合力振动幅值的影响较小, 混合润滑对其振动幅值的影响较大, 而干摩擦对其振动幅值的影响最大。故齿轮副在实际啮合过程中应尽量避免干摩擦的轮齿啮合。

图 6中, 无摩擦时系统相轨迹表现为黑色的光滑曲线, 考虑不同的润滑时系统的相轨迹受到不同程度的扰动。相比之下, 弹流润滑对系统运动轨迹扰动的影响较小, 混合润滑对其扰动的影响较大, 而干摩擦对其扰动的影响最大。

与文献[20]的计算结果相比较, 齿轮系统在弹流润滑下的摩擦因数小于混合润滑, 且弹流润滑下系统相对位移的振动幅值小于混合润滑, 故弹流润滑下齿轮系统动态特性较稳定, 这与本文分析结果相一致。此外, 在齿面啮合状态下, 系统表现为振动幅值较小的稳定周期1运动, 这与文献[5]的分析结果相一致。

2.2 齿面冲击

图 7a)为齿轮副系统(32)在无摩擦、弹流润滑、混合润滑以及干摩擦4种方案下发生齿面冲击的动态啮合力随时间的演变图, 图 7b)为图 7a)的一个局部放大图, 图 8为系统在相应4种方案下的相图。根据图 7和图 8, 系统动态啮合力出现等于零的情况(F_m=0), 齿轮副相对位移出现小于间隙的情况(x < D), 系统出现齿面冲击, 且伴随周期性的脱啮状态。图 7中, 齿轮副系统由齿面啮合向脱啮状态转迁时, 其动态啮合力发生突变。故齿轮副发生脱啮的条件为:齿面动态啮合力不断减小为零随后反向增大(啮合力方向由正变负)。不同的润滑方案对齿面动态啮合力的影响与无齿面冲击(见图 5)时相似, 弹流润滑对其影响较小, 混合润滑对其影响较大, 而干摩擦对其影响最大, 见图 7a)~7b)。齿面冲击时, 由于周期性脱啮状态的出现, 在不同的润滑方案下, 系统相图没有发生较大的变化, 见图 8。与图 5相比, 由于周期性脱啮状态的出现, 齿面摩擦力间断性地影响着齿轮副动态特性, 故无齿面冲击(见图 5和图 6)和齿面冲击(见图 7和图 8), 其动态啮合力图和相轨图相差较大。可见, 发生齿面冲击时, 齿轮副出现周期性的脱啮状态, 不同的润滑方案对动态啮合力振动幅值的影响较大, 而对其运动轨迹的影响较小。

2.3 齿背冲击

图 9和图 10为齿轮副在无摩擦、弹流润滑、混合润滑以及干摩擦4种方案下发生齿背冲击的动态啮合力图和相轨图, 图 9b)为图 9a)的一个局部放大图。由图 9和图 10可知, 系统动态啮合力出现等于零(F_m=0)和小于零(F_m < 0)的情况, 齿轮副相对位移出现小于间隙值(x < D)和小于间隙负值(x < -D)的情况, 故齿轮副发生齿背冲击时, 系统出现周期性的脱啮和齿背啮合状态。

图 9a)~9b)中, 齿轮副系统由齿背啮合状态向脱啮状态转迁时, 其动态啮合力发生突变。故齿轮副由齿背啮合到脱啮的条件为:齿轮副动态啮合力不断增大为零后继续增大(啮合力方向由负变正)。与齿面冲击时相似, 发生齿背冲击时, 由于周期性脱啮和齿背啮合的出现, 不同的润滑方案对系统动态啮合力的影响较大, 对系统运动轨迹的影响较小。

由以上分析可知, 在不同的啮合状态下, 不同的润滑方案对系统动态特性有不同的影响。无齿面冲击时, 不同润滑方案对系统动态啮合力和运动轨迹都具有较大的影响; 发生齿面、齿背冲击时, 由于周期性脱啮和齿背啮合的出现, 不同润滑方案对动态啮合力的影响较大, 对运动轨迹的影响较小, 且随着脱啮和齿背啮合的出现, 摩擦因数对动态啮合力的影响程度较小。

3 考虑弹流润滑的齿轮副冲击振动特性分析

基于1.3节定义的3种不同的Poincaré映射, 研究载荷变化对齿轮副系统在弹流润滑下的啮合状态和冲击、振动特性的影响规律。图 11为系统随载荷系数F减小的分岔图, 图中蓝色为系统在频闪映射截面σ_n上的输出图, 紫色为系统在齿面冲击映射截面σ_p上的输出图, 红色为系统在齿背冲击映射截面σ_q上的输出图。由图 11可知, 当载荷系数较大时(F>0.11), 系统表现为1-0-0运动, 图 1a)和b)分别为F=0.14的相图和动态啮合力随时间变化图, 其相轨迹和动态啮合力受摩擦因数的影响较大, 且相对振动位移始终大于间隙(x>D), 动态啮合力始终大于零, 此时齿轮副无齿面、齿背冲击, 系统一直处于齿面啮合状态。

图 11中, 随F减小到F=0.11时, 齿轮副系统发生一次齿面冲击, 系统出现脱啮状态, 随后系统表现为1-1-0运动, 图 13a)和13b)分别为F=0.10的相图和动态啮合力图, 系统出现周期性的齿面啮合和脱啮状态, 由于脱啮的出现, 相轨迹受摩擦因数的影响较小, 动态啮合力受摩擦因数的影响较大。

随F继续减小, 1-1-0运动经周期倍化分岔转迁为2-2-0运动, 随后经周期倍化分岔序列进入混沌运动, 进入混沌运动后系统经齿背冲击进入齿背啮合状态, 表现为n-p-q运动, 图 14a)和14b)分别为F=0.03的相图和动态啮合力图, 相轨迹变得杂乱无章, 动态啮合力出现小于零和等于零的情况, 系统出现了齿面啮合、脱啮和齿背啮合, 并分别在x=1.0和x=-1.0处出现了齿面冲击和齿背冲击。对比文献[4-5]的计算结果, 齿轮系统在无齿面、齿背冲击。

由以上分析可知, 当载荷较大时(重载), 齿轮副系统处于齿面啮合状态; 随着载荷的减小, 系统出现脱啮和齿面冲击状态; 当载荷较小时(轻载), 系统出现齿背啮合和齿背冲击状态。

4 研究模型与结果对比分析

Kahraman等^[2]建立了含时变啮合刚度和齿侧间隙的齿轮系统动力学模型, 为齿轮传动系统的非线性动力学研究提供经典物理模型。文献[6-12, 15-18]等考虑各种影响因素, 对该动力学模型进行了完善和发展, 但其物理模型并未改变。本文模型源于这些模型, 创新之处在于本文基于齿侧间隙和啮合力引起的齿面啮合、脱啮和齿背啮合3种状态分别建立其动力学方程, 并结合啮合状态切换时的冲击方程^[5], 得到无量纲的多状态啮合齿轮冲击振动模型(32)式。该模型与经典模型在结构形式上相似, 但更能反映齿轮的啮合状态; 该模型包含齿廓的啮合位置参数, 为研究齿廓变形或齿廓修行对齿轮系统非线性特性的影响提供模型基础。本文模型中不同润滑方案的摩擦因数来自文献[20]的研究, 保证不同润滑状态下齿面摩擦力的正确性。

文献[1-13]研究了齿轮传动系统在各种工况下的非线性动力学特性, 得到系统亚谐波、周期和混沌响应以及冲击振动特性。这些研究对本文研究和结果非常重要, 不同之处在于本文考察了动态啮合力的时域特性, 包括周期性和混沌特性; 通过定义3种不同的Poincaré映射截面, 基于经典变步长四阶Runge-Kutta法研究了齿轮传动系统的多状态啮合特性和非线性动力学特性。通过与文献结论的对比, 验证本文结果的正确性。

5 结论

1) 在考虑齿面摩擦、齿轮时变啮合刚度、齿侧间隙和综合传动误差的情况下, 基于渐开线标准直齿轮传动的啮合原理和轮齿受力情况, 分别建立了齿轮系统在齿面啮合、脱啮、齿背啮合、齿面冲击及齿背冲击工作状态下的动力学方程。考虑弹流润滑、混合润滑及干摩擦等不同润滑方案的摩擦模型, 并将其引入齿轮系统动力学方程, 分析了不同润滑方案对齿轮系统动力学特性的影响。

2) 不同润滑方案对齿轮副动态啮合力振动幅值的影响程度不同, 弹流润滑对动态啮合力振动幅值的影响较小, 混合润滑对其影响较大, 而干摩擦对其影响最大。不同润滑方案对相轨迹的影响与齿面、齿背冲击有关, 无齿面、齿背冲击时, 不同润滑方案对相轨迹的影响较大, 发生齿面、齿背冲击时, 不同润滑方案对相轨迹的影响较小, 这是因为出现齿面、齿背冲击时系统出现周期性的脱啮状态, 导致齿面摩擦力间断地影响系统动态特性。

3) 定义了3种不同的Poincaré映射, 研究了载荷变化对考虑弹流润滑的齿轮系统啮合状态及振动特性的影响规律。当载荷较大时(重载), 系统一直处于齿面啮合状态; 随着载荷减小, 系统出现脱啮和齿面冲击状态; 当载荷较小时(轻载), 系统出现了脱啮、齿背啮合、齿背冲击及齿面冲击状态, 导致系统进入混沌运动, 加强了系统振动和噪声。本文所建立的模型能在一定程度上反应齿轮系统的实际传动过程, 为齿轮传动系统的动力学稳定性分析及参数设计的选择提供了参考, 也为齿轮传动系统动力学建模和分析提供了新的方法和思路。