航空发动机缩短轴向尺寸、提高推重比的需求要求压气机要有更少的级数以及更高的级压比, 这对高负荷的叶片设计提出新的挑战。受制于附面层分离的影响, 传统单列叶片很难兼顾高负荷和低流动损失的特性。而对于串列叶栅, 通道内气流的转折由前后2个叶片组成, 缝隙射流效应的存在使后排叶片的附面层重新发展, 在实现较大转折角的同时不会引起较大的损失^[1], 因此其设计与优化方法受到了国内外学者的广泛研究。

早期, Spraglin^[2]、Abe^[3]利用理论解析法对串列叶栅进行了理论研究, 初步奠定了串列叶栅的理论基础。但由于理论解析法在对串列叶栅通道中的复杂流动进行求解时面临求解困难等问题, 后续的研究人员更多地利用数值和实验方法对其进行研究。Railly^[4]采用Ackeret方法得到了串列叶栅叶型几何, 结果表明在轴向重合度为0且节距系数为0.6的缝隙参数下性能最优。周盛等^[5]对超音速来流下的二维串列叶栅进行了数值计算, 结果表明当轴向重合度为0且节距系数为0.8时串列叶栅的损失达到最小。Sanger^[6]的研究表明当弦长比为1.1, 弯角比为2时串列静子叶片性能达到最优。

上述对串列叶栅的实验和数值研究大多采用枚举法, 通过对大量不同几何尺寸串列叶栅的分析得到串列叶片的性能参数变化规律, 但若对串列叶片进行进一步优化, 这种做法显然是不经济的。借助优化算法对串列叶栅进行优化是一种切实可行的办法, 宋召运等^[7]采用改进粒子群算法对串列叶型进行了优化, 结果表明合理配置缝隙参数可以减小前后叶片表面流动分离损失; 王掩刚等^[8]通过采用NSGAⅡ遗传算法结合BP神经网络算法对串列叶栅进行了优化, 结果表明优化后的串列叶栅在所有流量系数下性能都要优于单列叶栅; 程昊等^[9]采用主从式并行微分进化算法对串列叶栅进行了数值优化, 从而使得设计点总压损失系数降低的同时静压升有所提高。

然而, 由于对串列叶栅的优化设计是一种复杂、非线性、优化参数多、前后耦合的问题, 简单的优化算法已无法满足要求, 因此发展适合于串列叶片的优化算法就显得非常必要。差分进化(differential evolution, DE)算法原理简单、控制参数少、鲁棒性强、采用实数编码易于实现, 且能进行随机和并行的全局搜索^[10], 尤其是其独特的差分变异因子和建设性的选择操作因子使得DE算法具有更强的适应性和算法多样性, 因此自提出以来已广泛应用于机器智能、模式识别、图像处理等多个领域。在航空发动机领域, 曹铭栋等^[11]运用自适应三次变异差分进化算法对大涵道比涡扇发动机循环参数进行了优化且效果显著。宋立明等^[12]提出了一种多目标差分进化算法并对NASA Rotor 37转子叶栅进行了气动优化设计。

综上所述，DE算法简单有效, 其应用价值在众多领域的实际应用中得到了充分体现。因此本文针对串列叶型可调参数多、上下游叶片耦合效应明显问题, 研究差分进化算法在串列叶型的应用, 并对串列叶型轴向重合度、节距系数、弯角比、弦长比以及后排来流近似攻角5种关键参数作为可调参数, 设计优化流程、优化策略, 确定优化目标函数, 校验所发展的优化方法在串列叶型优化设计的应用, 为进一步提高串列叶型性能提供理论支撑。

1 研究方案 1.1 研究对象及计算方法

图 1给出了串列叶片的几何结构示意图, 表 1给出了轴向重合度(axial overlap, AO)、节距系数(percent pitch, PP)、弯角比(turningangle ratio, TR)、弦长比(chord ratio, CR)以及后排来流近似攻角(K_b-b)5种的参数定义, 原始几何参数如表 2所示。

本文采用NUMECA软件Fine Turbo模块求解URANS方程, 边界条件给定为进口总温293 K, 总压101 325 Pa。进口采用总温、总压边界条件, 叶片表面采用绝热无滑移边界条件, 上下2个边界采用平移周期性边界。湍流模型采用对分离流有较好模拟能力的SST两方程模型, 并保证壁面y⁺小于1, 空间离散采用二阶精度的中心差分格式。经过多次试算, 本文计算网格总数取为30万左右, 达到了网格无关性要求。

1.2 差分进化算法

差分进化算法是一种基于群体差异的启发式随机搜索算法, 通常分为4个步骤, 即初始化种群、变异、交叉及选择。按照差分进化算法的书写习惯, 不同的进化模式可以按下面的通式表示:DE/x/y/z。

式中DE代表差分进化算法, x表示种群中的待变异个体, 可以随机选择, 也可以选择当前种群中的最优个体; y表示差分修正向量的数目; z表示交叉模式。进化模式可以表示为DE/rand/1/bin, rand表示变异个体随机产生, 1表示变异操作中使用了1个差分修正向量, bin表示所选取的交叉操作模式为二项式交叉。为了进一步简化书写, 以r, b代表变异个体选取方式的rand和best, 又因为本文所涉及的进化模式的交叉模式均为二项式交叉, 故可再将bin省去, 即DE/rand/1/bin可简化为DE/r/1。

本文中一共选取了差分进化算法的5种进化模式用于对比研究以供优化时选择。5种进化模式的区别主要在于变异操作的不同, 现将实现方法说明如下

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

式中，g表示进化代数, V_i(g)表示第g代变异个体, X_b(g)表示第g代种群中适应度最佳个体, F为缩放因子, X_r1(g), X_r2(g)为种群中随机选取的2个不同个体, X_r1(g), X_r2(g)之差表示一个修正向量。

本文选取了Sphere和Rastrigin 2种测试函数来对5种进化模式的稳定性和效率进行评估。

Sphere函数

(6)

Rastrigin函数

(7)

测试过程中共分为2组, 一组维数设为5(n=5), 种群规模N_p=50, 最大迭代次数为500。另一组维数设为10(n=10), 种群规模N_p为100, 最大迭代次数为1 000。2组的缩放因子F均取0.5, 交叉概率C_r均为0.7。

表 3列出了Sphere函数2组方案的100次测试结果。从表中5维的测试结果来看, 5种进化模式均表现出很好的稳定性, 但5种进化模式的平均进化代数却有明显差异。因为Sphere函数是单峰值函数, 进化模式DE/b/1与DE/b/2的种群最优个体的导向作用得到了充分利用, 使优化结果能快速逼近最小值0, 平均进化代数就要比DE/r/1及DE/r/2进化模式少。同时也注意到DE/r2b/2进化模式也有较好的性能表现, 平均进化代数与DE/b/1, DE/b/2基本一致。当测试维数增加到10维, 除了DE/b/1进化模式算法性能发生了明显恶化, 均值变为2.957 2, 平均进化代数也增大到942代外, 其余进化模式仍然能稳定地收敛到最小值0处。不过DE/r/1及DE/r/2进化模式的计算效率依然低于DE/b/2进化模式, 而DE/r2b/2进化模式由于兼顾了当前种群最优个体的导向作用以及种群多样性的保持要求, 在计算效率上明显优于其他4种算法。

图 2和图 3分别为Sphere函数2种维度下测试适应值收敛曲线及100次测试收敛结果曲线。从图 2中可以看到在测试中, 5种进化模式在5维、10维2种维度下均收敛到了理论最小值0, 即5种进化模式下的差分进化算法均有找到局部最优解的能力。但随着测试次数的增加, 在10维下的100测试中(如图 3b)所示), DE/b/1进化模式的收敛结果出现了较大的波动, 其余4种进化模式则在5维和10维下均保持了较强的算法稳定性。

相比于单峰值的Sphere测试函数, Rastrigin测试函数的测试结果就要复杂得多。表 4为后者100次测试结果, 2种方案的某次测试适应值收敛曲线及100次测试收敛结果变化曲线分别由图 4和图 5给出。所有测试方案结果收敛值随测试次数的增加均表现出不同程度的波动状况(如图 5所示), 只在5维测试方案下DE/b/2, DE/r/1, DE/r2b/2进化模式才有可能找到全局最小值0, 体现在表 4中的最小值取0。从表 4中还可发现, DE/r2b/2进化模式在5维、10维测试方案下, 100次收敛值的均值分别为0.941 6和6.690 8, 尤其是10维下的均值6.690 8相对于其他进化模式有了很大改进, 表现出了更高的算法准确性, 并且在图 5中该进化模式的波动程度明显最小。虽然在图 4和表 4中表明该进化模式所需的平均进化代数并不是最少的, 即计算效率并不是最高的, 但为了得到更准确结果而在一定程度上牺牲计算效率是可以接受的。

综上所述, DE/r2b/2进化模式经过2种测试函数的2个测试组, 共4种测试方案的评估后, 表现出了较强的算法稳定性, 在局部寻优问题以及全局寻优问题上均有较佳的性能表现, 所以在后续对串列叶片进行优化时, 就采用DE/r2b/2进化模式下的差分进化算法。

1.3 优化参数及优化目标

本节将对原型串列叶片的轴向重合度(AO)、节距系数(PP)、弯角比(TR)、弦长比(CR)以及后排来流近似攻角(K_b-b)5种参数进行综合优化设计。在优化时, 选择0.7马赫, 大来流攻角工况, 并以静压比P_r、总压损失系数ω_c为目标函数寻求气动性能更佳的串列叶片。当目标函数不止一个目标参数时, 需对相应的目标参数进行加权法处理, 通过权重设置将该参数在目标函数中的重要性体现出来, 这样就将多目标优化问题转化成了类似单目标优化问题。在本文优化时, 同等看中静压比和损失系数, 分别乘以0.5和-0.5的权重因子, 最终得到(8)式所示目标函数。

(8)

当静压比越大、损失系数越小时, 目标函数的值就越大, 对应串列叶片的气动性能就越佳。后续亦可根据不同的侧重点, 更改权重值, 以优化得到满足不同需求的串列叶片。串列叶片5种参数在优化时的取值范围如表 5所示, 差分进化算法相关参数设置见表 6。

2 结果与分析

应用上述发展的方法, 对串列叶型进行了优化, 获得了性能更优的串列叶片。图 6为目标函数值随迭代次数变化曲线, 在差分进化算法优化进行到约400代之后, 目标函数值就维持在一个较高水平而不再变化。记录下此时最大目标函数值所对应的5个优化变量的取值, 并设计出相应的串列叶型。图 7中优化前后的叶型对比表明, 叶型优化后的串列前叶弦长稍有增加, 叶型弯角略有减少, 令前叶的抗分离能力有所增强, 后叶由于叶型弯角的增加和弦长的减少, 抗分离能力会有所减弱。优化后后叶在轴向和周向均更靠近前叶, 以及后叶进口几何角的微减, 使得串列叶片的缝隙结构更为紧凑, 在保证缝隙射流流量不至于过少的前提下, 紧凑结构能使缝隙射流的能量更集中, 吹除效果也更好。表 7给出了优化前后串列叶型参数对比以及0.7马赫, 11°来流攻角工况下的气动性能参数对比。优化后静压比增加了1.14%, 总压损失降低了6.57%。

图 8给出了来流马赫数为0.7, 11°攻角工况下优化前后串列叶型表面静压分布。从图中可以看出, 较原始叶型, 虽然优化后前叶的整体负荷增大, 但是前段吸力面逆压梯度减小, 有利于控制前段的附面层分离。后叶的负荷减小, 压力梯度减小, 附面层不易分离, 一定程度上弥补了由于叶型弯角的增加和弦长的减少所带来的抗分离能力的减弱。

图 9从前/后叶吸力面壁面切应力的角度对优化前后串列叶片进行了对比分析, 切应力为正时表示该处出现分离。由图可知, 在大攻角工况下, 优化前后前叶吸力面均出现了大范围的附面层分离, 叶型的优化并未改变前叶吸力面的分离形式和状态, 但强度减弱, 优化后前叶负荷的增加和其后段压力梯度的增大并没有加剧前叶分离。因此整体而言, 前叶叶型的优化使得其在承受较大逆压梯度的同时吸力面附面层的分离得到控制, 优化后的串列叶型兼顾了圧比的提升和损失系数的改善。

为了进一步证明优化后串列叶片气动性能的改善, 图 10展示了优化前后串列叶片在-2°~11°攻角范围内的压比、损失攻角特性对比结果。在较大攻角范围内, 优化后串列叶片的气动性能得到了一定程度的提升, 表现在静压比增加而损失有所减少, 尤其在大正攻角时, 这种提升最为明显。伴随着攻角的减小, 这种提升逐渐减少至4°攻角后, 优化前后串列叶片的气动性能已相差无几。这说明该优化串列叶片改善了原型串列叶片在较大正攻角范围内的工作性能, 增加了工作稳定性, 达到了本论文研究的设计初衷, 也证明基于差分进化算法的优化方法对串列叶片气动性能改进设计的有效性。

3 结论

本文对差分进化算法的5种进化模式进行了对比研究, 选择出较优的进化模式对串列叶片进行了优化并得到了满足要求的串列叶片, 结论如下:

1) 通过对5种差分进化算法DE/b/1, DE/b/2, DE/r/1, DE/r/2和DE/r2b/2的测试发现, DE/r2b/2进化模式的稳定性最好, 计算效率也较高, 在局部寻优问题以及全局寻优问题上有较佳表现。

2) 应用差分进化算法, 结合串列叶型的几何特点, 综合考虑轴向重合度、节距系数、弯角比、弦长比以及后排来流近似攻角5种参数的共同作用, 对串列叶型进行了优化设计。

3) 优化后的串列叶片, 在前后叶的相对位置以及前后叶几何的关联匹配上均设计得更为合理, 在保证缝隙射流流量充足的前提下, 使缝隙射流的能量更集中, 因此优化后的串列叶型在较大正攻角范围内的工作性能得到了改善, 在设计马赫数, 大攻角工况下, 较原始叶片, 优化使得串列叶型静压比的增加1.14%, 总压损失系数降低6.57%。