随着近些年科技的快速发展，系统可靠性评估越来越受到重视。多数系统失效模式呈现出多样化，并且一些长寿命产品由于很少产生失效数据, 给当前的可靠性评估过程带来困难。常见的失效模式可分为两类：退化失效与突发失效。系统的性能随着时间的增加逐渐发生退化，当退化量达到某个阈值后会发生退化失效；系统的性能也会由于某种原因完全丧失导致系统的突发失效。退化过程具有多样性，系统的失效实际上为多退化失效与突发失效相互竞争的结果。因此，在进行系统的可靠性评估时，应考虑各失效模式之间的相关性，进行相关性分析，可提高系统可靠性评估精度。

目前，在研究相关性竞争失效建模方面，文献[1]基于状态空间模型利用多组性能退化数据来评估系统的退化过程，并建立了竞争失效模型；文献[2]使用协方差矩阵对多退化数据之间的相关性进行分析，选用了多元正态分布函数来建立退化失效模型，进一步建立了竞争失效的可靠性评估模型；文献[3-5]则通过使用Copula函数对多退化模式相关下竞争失效的产品进行了可靠性分析；文献[6]假定产品的多失效模式之间独立，将其视为串联系统进行寿命分析；文献[7]在不区分退化失效与突发失效的基础上，应用Weibull函数和Copula函数建立了相关竞争失效模型；文献[8]使用Vine-Copula函数解决多元退化相关的竞争失效问题，采用蒙特卡罗法和一次二阶矩法提高了可靠性评估的精度。

在对系统的可靠性测试数据进行评估时，经常存在样本数量较少或者样本很少出现失效数据等问题。为了避免在可靠性评估时产生较大误差，可靠性的参数估计也得到了广泛重视。文献[9]使用最大期望算法通过递归迭代方式求得含有隐含变量的极大似然估计值；文献[10]采用基于支持向量回归的数据驱动方法对系统进行了可靠性分析；文献[11]提出一种新贝叶斯评估方法用来解决Weibull分布函数下的早期失效过程的参数估计；文献[12]使用百分位法估计了随机效应和非恒定形状模型的参数。

对于系统相关性建模方面，上述文献只研究了多退化失效模式之间相关性问题或单一退化失效和突发失效之间的相关性问题。实际上，系统的失效模式比较复杂，其失效常为多元退化失效与突发失效之间相关竞争所造成。本文基于退化过程描述突发失效过程，首先探究多种退化失效模式之间的相关性，以Wiener随机过程与Inverse Guassian随机过程描述多元退化失效过程，用Copula函数建立模型解决多退化失效之间的相关性问题，采用条件概率描述突发失效与退化失效的关系，在估计相关参数后，建立系统相关竞争失效模型。以航空发动机的退化数据为基础，来验证多参数退化失效下系统竞争失效可靠性模型的有效性。

1 相关竞争失效下的可靠性建模

系统的退化失效可能由于零部件磨损、腐蚀、疲劳或者其内部的电子元器件发生温度形变等引起，其失效过程为多种退化模式之间共同作用的结果。若系统中某一退化量达到其对应的退化失效阈值时就会发生退化失效。系统的突发失效可由外界的随机冲击(温度冲击、振动冲击、电冲击等)导致；也可由系统逐渐退化的性能导致。本文考虑系统突发失效的发生与退化失效有关的情况，且突发失效发生的概率和性能退化程度有关。

基于上述分析，系统相关竞争失效可靠性模型的建立如下：

1) 系统的失效模式是多退化失效与突发失效之间相互竞争的结果。

2) 系统的多种退化失效之间具有相关性，并且可以用某种Copula函数表示。

3) 突发失效发生的概率与退化程度有关，系统退化程度越大越容易发生突发失效。

1.1 多元退化失效建模

假设系统有i种退化失效模式, 若第n(n=1, 2, …, i)个退化过程的退化量X_n(t)达到其对应的失效阈值D_n时, 即发生退化失效。该退化失效过程对应的可靠度R_n(t)可表示为

(1)

式中，f(x_n(t))为第n个退化过程对应的概率密度函数。若系统中i种退化失效之间相互独立, 可将系统多退化失效的可靠度R′(t)视为串联系统进行运算

(2)

描述性能退化常采用的随机过程有Wiener过程、Inverse Gaussian过程、Gamma过程、Guassion Poisson过程等。若系统退化过程为非单调递增的, 应使用Wiener随机过程拟合数据; 若性能退化过程为严格单调递增的, 可使用Inverse Gaussian过程或Gamma过程拟合数据。Inverse Guassian过程参数物理意义相对Gamma过程更加明确, 在实际工程运用中更易融入各种物理模型。因此, 本文选用Wiener过程与Inverse Gaussian过程来对多退化过程进行分析。

Wiener过程的退化模型为

(3)

多数情况下, 系统的退化特性具有非线性, 通常用时间尺度转换函数将非线性特性转换成线性特性, 时间尺度转换函数表示为

(4)

式中，μ为漂移参数, σ为扩散参数, γ为形状参数。Wiener过程中X(0)=0, 并且无交集的时间段的退化增量之间相互独立, 退化增量ΔX(t)服从正态分布:ΔX(t)~N(μΔt, σ²Δt), 则其分布函数F(ΔX(t))表达式为

(5)

设Wiener退化过程为X₁(t), 对应的失效阈值为D₁, 则其失效时所用时间T₁为

(6)

T₁服从Inverse Gaussian分布, 所以其累积分布函数F₁(t)可分别描述为

(7)

用X₂(t)表示Inverse Guassian退化过程, 其满足X₂(0)=0。X₂(t)具有独立的增量, 无交集的时间段内增量之间也相互独立, 并且增量服从Inverse Guassian分布

(8)

式中，IG(·)表示Inverse Guassian分布, ΔΛ=Λ(t+Δt)-Λ(t), ΔΛ为单调增函数, μ为均值, λ为尺度参数。设r为形状参数, 有

(9)

依据Inverse Guassian分布的性质, 可知X₂(t)的概率密度函数为

(10)

假设X₂(t)的退化失效阈值为D₂, 则其失效所用时间T₂表示为

(11)

则其失效累积分布函数F₂(t)可分别描述为

(12)

系统的多退化失效过程往往受到复杂因素的影响, 某些退化过程之间会具有一定的相关性。若用(2)式对系统多退化失效进行分析, 会使多退化失效可靠度R′(t)的评估产生偏差。因此, 需进一步对多元退化相关性做分析。

1.2 多退化失效相关性建模

分析系统失效的相关性问题常使用相关系数、协方差分析等方法, 但它们在刻画变量之间的互动关系时(二阶、多变量线性等)往往存在分析偏差。而采用合适的Copula函数进行相关性分析, 可有效提高分析的准确性, 对(2)式进一步建立多元退化相关失效可靠性模型

(13)

式中，C(F_j(t), F_k(t), …)表示除F_j(t)和F_k(t)以外所有的变量都等于1, 其他同理。

为便于进行多退化相关性问题的分析, 考虑以二元退化过程为例进行Copula函数的相关性建模。系统的性能退化函数F(ΔX₁(t))与F(ΔX₂(t))可看成边缘分布函数, 其联合分布函数F(ΔX₁(t), ΔX₂(t))可使用Copula函数表示为C(F(ΔX₁(t)), F(ΔX₂(t)); θ), 其中θ为Copula函数的相关参数, 表示变量之间相关性强弱。表 1为常见的Copula函数, 对于Guassian Copula、t-Copula、Frank Copula和Clayton Copula函数, 其θ值越接近0, 变量间相关性越弱, 反之越强。Gumbel Copula函数的θ值越接近1相关性越强, 反之越弱。依据Copula函数的性质, 其联合概率密度函数f(ΔX₁(t), ΔX₂(t); θ)可表示为

(14)

式中，c(·)为C(·)的概率密度函数。

1.3 突发失效过程建模

系统中的突发失效与退化失效之间具有一定的相关性, 即突发失效发生的概率与退化量有关。由于系统突发失效往往比较复杂, 可依据试验数据中的图表进行特征分析, 若突发失效只存在于系统退化的初期, 可认为它们不相关; 若突发失效始终伴随着退化过程, 则认为它们相关。

用T_c表示突发失效过程发生失效时所需要的时间, 系统t时刻退化量为x时, 此时突发失效的失效率记为λ_c(t|x), 记R_c(t|x)为t时刻退化量为x时突发失效的可靠度, 可表示为

(15)

式中，α为形状参数, υ是时间t的积分变量, 其条件概率密度函数为

(16)

突发失效与退化失效相关时, 通过建立突发失效有关退化量的条件概率以表示突发失效的可靠性。当t时刻产品的退化量为X(t)时, 突发失效的条件概率可表示为

(17)

1.4 相关性竞争失效建模

对系统来说, 多退化失效与突发失效相互竞争时, 任何一个失效的发生都会造成系统的失效。由于系统在t时刻多退化失效的分布函数为F(ΔX₁(t), ΔX₂(t), …, ΔX_i(t)), 设第n个退化失效过程失效所用时间为T_n, 于是系统t时刻的相关竞争失效可靠度表示为

(18)

则相应的二元参数相关退化过程的可靠度可表示为

(19)

式中的C(R₁(t), R₂(t))可根据(13)式得到

(20)

2 参数估计 2.1 多参数退化失效过程相关的参数估计

对基于Copula建立的退化失效进行参数估计, 有全局极大似然法、两阶段极大似然法、三阶段极大似然法等。其中全局似然法与三阶段极大似然法对于高维数、复杂模型结果的运算效率较低, 于是本文考虑使用两阶段极大似然法估计参数。

对于Wiener过程和Inverse Guassian过程描述的边缘分布中的未知参数(μ, σ, γ)与(δ, λ, r), 可记ϕ₁=[μ σ γ]、ϕ₂=[δ λ r]。使用两阶段极大似然法估计未知参数, 先估计边缘分布的参数ϕ₁与ϕ₂, 再估计Copula函数的参数θ。

第一阶段对Wiener过程参数与Inverse Guassian过程参数进行估计。依据Wiener过程的特性可知, 对某退化过程每隔Δt记录一次数据, 共记录样本N次, 则服从Wiener过程样本的极大似然函数为

(20)

式中, τ=t^γ。相同条件下, 服从Inverse Gaussian过程样本的极大似然函数表示为

(21)

式中, ΔΛ(t)=t^r。第二阶段对Copula函数的参数θ进行估计, 对(14)式建立对数似然函数

(22)

式中，ϕ₁与ϕ₂中的参数可由(20)式与(21)式得出。Copula参数θ可采用Bayesian MCMC方法对其进行估计。MCMC法依靠Markov对数据的后验分布中产生足量的样本, 并使用Gibbs抽样从随机变量的条件概率中生成一系列样本, 从而得到Copula函数中θ的值。

从表 1中选择合适的Copula函数, 分别估算相应的θ值, 并使用Akaike Information Critetion(AIC)准则判别较优的Copula函数, 并选用其进行多退化失效相关性建模

(23)

式中，L为Copula函数的似然函数, K为模型中待估计参数的数量。AIC值可以反应出Copula函数结果和退化数据之间的差异。AIC值最小, 则该Copula函数描述退化过程之间的相关性最优。

2.2 突发失效过程参数估计

假设待测数据中有M个样本发生退化失效, N个样本发生突发失效, 对M+N个样本进行分析, 若突发失效始终出现在性能退化过程中, 则认为突发失效与退化量相关。从退化量的角度对突发失效进行参数估计, 记第l个(l=1, …, N)突发失效样本失效时, 其对应的性能退化量为X_l。对X_l进行升序排列, 得到{X_k}, k=1, …, N。依照此方法可获得突发失效下随退化量变化的若干个可靠度点估计值。当退化量为X_k时, 则突发失效的累积失效分布函数为

(24)

若t时刻退化过程的退化量为X(t)时, 突发失效的可靠度用双参数Weibull分布表示为

(25)

式中，η为尺度参数, λ为形状参数。通过(24)式得到若干突发失效可靠度点值后, 使用极大似然法对点值进行拟合, 可以得到Weibull分布的参数与。

考虑试验中突发失效的数据往往较少, 则所得到的点值为小样本数据, 直接使用极大似然法进行拟合时会存在一定的误差, 本文提出使用Bayes-Bootstrap法^[13]对极大似然法估计所得的参数与进行修偏。Bayes-Bootstrap法可对样本进行多次抽样, 获得的样本点包含原始样本点, 并在此基础上进行拓展, 再利用Bayes公式进行参数估计。在小样本的参数估计方面, 其具有较高的估计精度。对极大似然法修偏的步骤为:

1) 利用计算机生成服从已知参数的Weibull分布随机数ϑ;

2) 令∂=(n-1)ϑ, i=[∂]+1, 其中的[·]为向下取正;

3) 令t^*=t_i+(∂-i+1)(t_i+1-t_i);

4) 重复上述步骤s次, 于是得到一组再抽样样本t^*=(t₁^*, t₂^*, …t_S^*);

5) 使用极大似然法对再抽样样本t^*进行估计, 计算相应的Weibull分布参数λ和η的估计值, 并重复k次上述过程, 得到k组估计值;

6) 构造λ和η的先验概率密度π(λ)和π(η), 其联合先验概率密度为π(λ, η)=π(λ)π(η); 依据Bayes公式得到λ与η的后验分布π′(λ)与π′(η), 进一步得到后验分布的期望值E(λ)与E(η)作为λ与η的点估计;

7) 使用Bayes-Bootstrap法修偏后得到参数λ与η的最终估计值与与。

3 案例分析

航空发动机是一种典型的复杂系统, 其失效形式大致可分为突发失效和退化失效两类, 则系统最终失效为多种失效模式之间相互竞争产生的结果。在航空发动机工作过程中, 系统可能会出现某些机械故障, 使功能完全丧失, 如发动机连杆疲劳断裂; 其工作性能也会逐渐退化至发动机失效, 如燃油消耗量偏差(DWF)或发动机排气温度偏差(DEGT)偏高、排气温度裕度(EGTM)偏低等。本文选用某航空公司对同时投入使用的15台航空发动机的数据样本作分析, 由排气温度裕度(EGTM)与燃油消耗量偏差(DWF)这2个性能参数组成, 如表 2所示。排气温度裕度(EGTM)表征发动机的涡轮燃气温度, 其与发动机的推力有关。随着航空发动机性能的降低, 导致推力的下降, 会造成燃油消耗量偏差(DWF)的增大, 其中由于发动机性能的降低常常会引起涡轮的突然故障。表 2中的退化数据为航空发动机运行中采集与使用插值法拟合所得。

表 2中EGTM的失效阈值D₁=26, DWF的失效阈值D₂=2.3。由于EGTM数据不是严格单调递减的, 对其采用Wiener过程拟合较为合适; DWF数据是严格单调递增的, 采用Inverse Guassian过程拟合为宜。解得EGTM数据的退化过程参数ϕ₁=[5.820×10^-3  6.910×10^-2  1.102];DWF数据退化过程参数ϕ₂=[1.117×10^-5  3.453×10^-3  1.184]。

采用Kolmogorov-Smirnov(K-S)检验对EGTM与DWF 2个退化数据进行分布假设检验, 以95%的置信度为标准, 检验结果显示K-S检验概率大于显著水平5%, 可知EGTM退化数据服从Wiener过程, DWF退化数据服从Inverse Guassian过程。

其次对Coupla参数θ进行估计, 将一阶段极大似然法得出的参数ϕ₁与ϕ₂带入(22)与(23)式, 使用表 1中的Coupla函数对其进行极大似然估计, 并计算其对应的AIC值, 结果如表 3所示。

从表 3中可以看出, Gumbel Coupla函数的AIC值最小, 则选用此函数进行相关性退化建模。使用Gumbel Copula函数得到的联合分布函数(CDF)与概率密度函数(PDF)如图 1与图 2所示, 其中EGTM退化数据用F(X₁(t))表示, DWF退化数据用F(X₂(t))表示, 其Gumbel Copula函数θ值反映了EGTM和DWF之间具有一定的相关性。

多退化失效之间独立与相关情况下对应的多元退化失效可靠度R′(t)示意图如图 3所示, 可以看出利用Gumbel Copula函数可以有效解决多退化失效相关性问题, 提高退化失效过程的可靠性评估精度。

再对突发失效过程建模。由表 2中可知, 编号为4, 6, 11, 13的航空发动机发生了突发失效, 并且突发失效一直伴随着退化失效过程, 则突发失效与退化失效之间具有相关性。按升序排列, EGTM退化量分别达到20, 26, 29, 46时, DWF发生突发失效模式下的可靠度为14/15, 13/15, 12/15, 11/15。使用极大似然法进行参数估计后, 再使用Bootstrap进行10 000次样本抽样, 经过Bayes分析得到Weibull分布的后验参数, 经过修偏后的结果如表 4所示。

将估计出的参数带入(19)式, 可以得到多元参数退化下航空发动机在各时刻对应的竞争失效的可靠度, 如表 5所示, 并将退化失效下系统可靠度R′(t)与之对比。

通过表 5可以看出, 随着航空发动机的运行, 突发失效对航空发动机总体可靠度的影响逐渐增加, 多元退化失效下系统可靠度R′(t)与竞争失效可靠度R(t)之间的偏差逐渐增大。对航空发动机的可靠性评估中, 若仅考虑多元退化失效, 而忽略了突发失效对可靠性的影响, 就会使得航空发动机的可靠性评估结果偏大, 易导致飞行中出现重大安全隐患。

图 4为考虑航空发动机发生相关性竞争失效的可靠度曲线, 本文另使用协方差分析法^[2]对竞争失效中退化相关性进行分析, 并与本文方法进行比对。

由图 4可以看出本文建立的相关竞争失效模型得到的可靠度曲线略低于协方差分析法得到的曲线。虽然该竞争失效模型对航空发动机可靠性评估较为保守, 但是航空发动机对可靠性要求特别高的系统, 一旦发生故障, 将造成重大损失, 其符合工程上的做法。航空发动机在运行前中期, 性能相对稳定, 失效率近似不变, 可靠度降低较慢; 随着时间的增加, 由于系统内部零部件的老化、疲劳等问题导致突发失效的发生, 失效率增大, 可靠度迅速降低。当发动机性能退化到一定程度时, 在运行的循环次数达到约9 000次时, 航空发动机的可靠度迅速降低。

对于航空发动机来说, 考虑多元参数退化并存及相互作用的问题, 可减少或避免航空发动机潜在的多种失效间相关性对可靠性评估的影响; 忽略航空发动机在运行过程中的突发失效, 可能会使航空发动机存在重大的安全隐患。因此考虑相关竞争失效可以提高发动机可靠性的评估精度, 避免了对航空发动机可靠性较高的估计。结合相关竞争失效分析结果可制定合理的维修策略, 降低飞行过程中所面临的风险, 方便对发动机进行灵活管理。

4 结论

1) 系统具有多个退化过程, 在判断退化数据是否符合严格单调的基础上, 使用合适的退化过程拟合相应的退化数据, 可使模型更加严谨、合理。

2) 选用合适的Copula函数来分析退化过程之间的相关性, 依据AIC法则寻求Copula函数的最优函数, 可较好地计算多元参数退化之间地相关性。

3) 考虑突发失效与退化量之间的相关性, 建立的模型能够客观反映出性能退化对突发失效的影响; 使用Bayes-Bootstrap法对小样本下极大似然估计的参数进行修偏, 可使参数估计的结果更加精确。

4) 基于系统多参数退化与突发失效间的竞争失效模型, 通过与协方差分析方法进行对比, 结果验证了本文方法的合理性与有效性, 在解决工程性问题上具有较好的应用价值。