2. 北京动力机械研究所, 北京 100074;
3. 中国船舶工业系统工程研究院, 北京 100094;
4. 西安交通大学 电子与信息工程学院, 陕西 西安 710049;
5. 西北工业大学 航天学院, 陕西 西安 710072
据非线性振动理论, 如果旋转机械系统受到外部扰动, 容易引发不稳定的非线性自激振动[1]。应用于油气井钻探的钻柱系统, 属于一种特殊的旋转机械。钻柱系统主要包括顶驱、钻柱和井底钻具组合(bottom hole assembly, BHA)等。随着钻井深度增加, 钻柱达到几千米且钻柱横截面积小, 导致钻柱刚度系数下降。BHA(包含钻具)转动惯量小, 钻具受到非线性扰动作用, 容易产生黏滑振动。钻柱黏滑振动主要表现为, 顶驱转速小幅度波动, 钻具转速“黏滞-滑动-黏滞”交替出现[2]。Brett[3]提出, 钻柱黏滑振动是由钻具和岩石间的非线性扰动引发的自激振动。钻具和岩石间的非线性扰动扭矩(torque on bit, TOB)主要包括钻具破碎岩石时的剪切应力(扭矩)和钻具与岩石间的摩擦扭矩[4]。
钻柱系统的特点还在于, 只有顶驱驱动扭矩和驱动转速可测, 其他状态均位于地下难以获取。这大大增加了研究钻柱黏滑振动产生机理和抑制振动控制算法的难度。Richard等[5]建立钻具切割岩石的数学模型, 分析了钻具破岩对激发钻柱黏滑振动的作用。Jansen等[6]研究了钻柱横向振动与扭转振动的相互耦合, 并指出钻具动力响应具有极强的非线性。Mihajlovi等[7]基于Lyapunov稳定性分析以及数值分岔分析, 研究了在实验环境下钻具摩擦极限环对激发钻柱黏滑振动的影响。李江红等[8]研究了摩擦磁滞效应对钻柱黏滑振动的作用机理, 分析了钻井深度、驱动转速和钻压对钻柱黏滑振动的影响规律。祝效华等[9]针对钻柱横向振动引起钻具失效的问题, 考虑钻具纵横扭耦合以及钻具与井壁随机接触, 建立了系统非线性动力学模型, 研究了BHA横向振动特性。刘永升等[10]综合考虑了钻柱黏滑运动、扭转变形及钻井液阻尼的影响, 建立了非线性动态模型, 分析了斜直井中钻柱非规则运动。
虽然相关文献指出了钻柱系统的非线性特征, 但是没有任何研究阐释钻柱系统阻尼对激发自激振动的作用, 也没有揭示发生钻柱黏滑振动时能量的变化规律。针对上述不足, 基于Karnopp摩擦模型[11]简化钻具破碎岩石时受到的非线性外部扰动TOB, 并通过受力分析建立了钻柱系统的双自由度集中质量模型, 提出了相对于平衡位置的钻柱系统等效阻尼扭矩及其能量变化公式, 在MATLAB仿真环境下研究了钻柱系统的非线性自激振动机理, 并探讨了抑制钻柱黏滑振动的方法。
该研究的贡献在于揭示了钻柱系统等效阻尼扭矩对激发钻柱黏滑振动所起的作用, 探索了发生黏滑振动时钻柱系统能量变化规律。同时该研究为抑制钻柱黏滑振动的控制算法设计提供理论基础。
1 钻柱系统非线性动力学模型 1.1 非线性扰动扭矩模型钻柱系统的非线性主要体现在钻具和岩石间的扰动扭矩TOB上。为描述钻具和岩石间的相互作用过程, 特别是为了较准确描述钻具转速在黏滞区间的连续性, 建立Karnopp摩擦模型[11]简化钻具破碎岩石时受到的非线性外部扰动TOB[2], 如图 1所示。非线性扰动扭矩的表达式
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| 图 1 非线性扰动扭矩模型 |
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(1) |
式中, Tf为钻具受到的非线性扰动扭矩, ω2为井底钻具组合转速, m为钻柱耦合扭矩, Ma为最大静摩擦扭矩, Mo为滑动摩擦扭矩, Δω为零速区间阈值, ξ为经验常数并且定义了摩擦扭矩的下降率。
1.2 钻柱系统动力学模型在钻井现场, 钻柱系统的控制模式主要为速度控制。忽略变频器和电机的动力学特性(电流、电压与扭矩的转换关系), 钻柱系统的驱动扭矩
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(2) |
式中, ωref为输入速度参考值, 
基于文献[4]对钻柱系统的假设, 将顶驱转盘和井底钻具组合简化为有集中惯量的质量块, 钻柱简化为具有刚度系数的扭转弹簧, 使用双自由度集中质量模型模拟钻柱系统, 如图 2所示。
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| 图 2 钻柱系统双自由度集中质量模型 |
Serrarens等[4]指出, 钻柱系统的双自由度模型可以满足黏滑振动机理研究和抑制黏滑振动控制算法研究的需求。Nandakumar等[12]分析了钻柱系统双自由度模型的稳定性。钻柱系统动力学模型
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(3) |
式中, J1为顶驱转动惯量, J2为井底钻具组合转动惯量, c1为顶驱阻尼系数, c2为井底钻具组合阻尼系数, c为钻柱阻尼系数, k为钻柱刚度系数, φ1为顶驱角位移, φ2为井底钻具组合角位移, 
以角位移差Δφ=φ1-φ2为变量, 将Δφ带入公式(3)得钻具运动规律
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(4) |
如果钻柱系统处于平衡位置ω1=ω2=ωref, 则
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(5) |
将平衡位置(5)式带入公式(4)可得钻柱系统平衡位置的角位移差Δφ0
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(6) |
以平衡位置的角位移差Δφ0为新的坐标原点, 引入新的变量
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(7) |
将变量(7)式带入公式(4)可得
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(8) |
定义
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(9) |
在平衡位置, 钻柱系统的总能量(机械能)
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(10) |
以平衡位置作为坐标原点(x=0, y=0), 任意时刻钻柱系统的机械能
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(11) |
式中, ΔEP为相对于平衡位置的势能(等效势能), ΔEK为相对于平衡位置的动能(等效动能)。
顶驱为钻柱系统输入恒定的能量ΔEIN, 在没有发生钻柱黏滑振动时ΔE=0, 能量关系
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(12) |
式中, ΔEOUT为系统消耗的能量。
在发生钻柱黏滑振动时, 能量关系
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(13) |
因此，ΔE即为发生钻柱黏滑振动时钻柱系统吸收的能量。
3 仿真分析利用MATLAB, 基于钻柱系统模型(3), 分析了发生黏滑振动时钻柱系统等效阻尼扭矩和能量的变化规律, 仿真结构如图 3所示。钻柱系统力学参数主要来源于文献[4], 如表 1所示。速度参考值ωref=8.9 rad/s, 控制系数Kp=98, Ki=51。
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| 图 3 钻柱系统2DOF仿真结构图 |
| 模型参数 | 仿真数值 |
| 刚度系数k/(Nm·rad-1) | 473 |
| 钻柱阻尼系数c/(Nms·rad-1) | 23.2 |
| 顶驱转动惯量J1/(kg·m2) | 2 122 |
| 顶驱阻尼系数c1/(Nms·rad-1) | 425 |
| BHA转动惯量J2/(kg·m2) | 374 |
| BHA阻尼系数c2/(Nms·rad-1) | 50 |
| 最大静摩擦扭矩Ma/Nm | 12 148 |
| 滑动摩擦扭矩M0/Nm | 7 600 |
| 经验常数ξ | 0.9 |
| 零速区间阈值Δω/(rad·s-1) | 0.001 |
钻柱黏滑振动发生时, 角位移差Δφ=φ1-φ2和钻具转速ω2的仿真结果如图 4所示(为清楚显示钻柱黏滑振动运动规律, 仿真中显示时间为180~200 s)。图 4显示钻柱黏滑振动现象, 钻具转速ω2(虚线)周期性地交替出现“滑动-黏滞-滑动”; 角位移差Δφ(实线)的波动反映了钻柱储存扭转能量的大小。图 4中钻具转速和角位差变化规律符合钻柱黏滑振动运动规律。因此, 建立的双自由度集中参数模型(3)可以较准确地模拟钻柱系统。
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| 图 4 角位移差Δφ与钻具转速ω2 |
钻柱黏滑振动发生时, 角位移差相对于平衡位置的变量x=Δφ-Δφ0(等效钻具角位移差)及其导数
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| 图 5 等效角位移差x与等效钻具转速y |
黏滑振动发生时, 系统等效阻尼扭矩的函数曲线F(y)↔y, 如图 6所示。图 6表明原点附近等效阻尼扭矩几乎为零, 机械能守恒, 但在5 rad/s＜y＜9 rad/ s, 阻尼特性具有负阻尼的性质, 等效阻尼扭矩对系统做正功, 使系统从外界吸收振动能量, 机械能增加。该负阻尼扭矩破坏了系统平衡点的稳定性, 激励钻柱系统发生自激振动。
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| 图 6 钻柱系统等效阻尼扭矩的函数曲线F(y)↔y |
相对于平衡位置, 系统相平面极限环如图 7所示, 该图描述了钻具转速的反馈调节过程。图中横坐标为等效钻具角位移x=Δφ-Δφ0, 纵坐标为等效钻具角速度
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| 图 7 钻柱系统相平面极限环y↔x |
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(14) |
由图 7知, 原点附近零等倾线(14)几乎与纵轴重合, 系统表现出简谐振动的性质。当y增加到[5 rad/s, 9 rad/s]时, 零等倾线位于第一象限, 系统出现负阻尼, 进而激发钻柱黏滑振动的发生。
图 7中封闭的相轨迹对应稳定的周期振动。当Δφ因外部扰动偏离Δφ0, 速度变量
钻柱黏滑振动发生时, 相对于平衡位置钻柱系统势能ΔEP(等效势能)和动能ΔEK(等效动能)的时间响应曲线如图 8所示。
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| 图 8 钻柱系统相对于平衡位置势能ΔEP和动能ΔEK |
相对于平衡位置钻柱系统机械能ΔE(等效机械能)的时间响应曲线如图 9所示。
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| 图 9 钻柱系统相对于平衡位置机械能ΔE |
由图 8和图 9可知, 在发生钻柱黏滑振动时, ΔE>0恒成立(没有黏滑振动时ΔE=0恒成立)。说明钻柱系统从外部吸收了能量, 维持周期振动。同时, 相对角位移差比较大时, 系统机械能比较大；转速振幅较小时能量总在增加, 而当转速振幅较大时能量减少；ΔEP最大值大于ΔEK最大值, 钻柱系统吸收的能量主要转化为系统的势能。
发生钻柱黏滑振动时, 相对于平衡位置钻柱系统能量变化规律如图 10~图 12所示。每个振动周期内, 钻柱系统等效势能ΔEP变化规律如图 10所示; 钻柱系统等效动能ΔEK变化规律如图 11所示; 图 12描述了动能ΔEP和势能ΔEK相互转换的关系。其中, 图 10~图 12横轴为相对于平衡位置钻具转速
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| 图 10 钻柱系统相对于平衡位置的ΔEP↔y |
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| 图 11 钻柱系统相对于平衡位置的ΔEK↔y |
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| 图 12 钻柱系统能量转换曲线ΔEK↔ΔEP↔y |
发生钻柱黏滑振动时, 系统总输入能量、总耗散能量与钻具转速的关系曲线如图 13所示。
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| 图 13 能量-振幅关系曲线 |
由图 13可知, 钻柱系统输入能量为定值, 耗散的能量会产生波动。输入能量和耗散能量的交点对应的钻具转速即为对应的平衡位置钻具转速ω2=ωref。并且, 当钻具转速(振动幅值)大于平衡态转速时, 耗散能量大于输入能量; 反之, 耗散能量小于输入能量。转速偏离平衡态转速时, 能量的增减促使转速恢复至稳态值, 钻柱黏滑自激振动稳定。在实际系统中, 顶驱为钻柱系统输入恒定的能量，井底钻具转速反馈作用调节系统能量输入, 使钻柱系统维持稳定的自激振动。
本文揭示了等效阻尼扭矩对激发钻柱自激振动所起的作用, 探索了钻柱系统能量的变化规律。但是在实际中发现, 钻进处于浅地层或者疏松地层也会激发钻柱黏滑振动。经研究发现, 该振动类似于受迫振动, 是由钻柱横向碰摩频率接近钻柱系统的自然振动频率导致的。
4 主动阻尼减振方法钻进过程中, 为抑制钻柱黏滑振动, 常用方法包括:优化钻进器械、降低钻压、提高转速等。其中, 优化钻进器械属于被动控制, 而且大大提高钻进成本。降低钻压会降低钻进渗透率。提高系统转速相当于降低了系统发生钻柱黏滑振动的阈值, 可以减轻黏滑振动, 但是不能消除黏滑振动。基于本文研究, 可以通过调节变频器控制参数的方式, 或设计主动阻尼的控制算法, 提高闭环系统的阻尼, 改变钻柱系统对振动能量的吸收, 抑制黏滑振动。由于只有顶驱扭矩和顶驱转速可测, 在控制算法设计过程中状态观测器的设计也是必不可少的环节。
提高钻柱系统阻尼后, 等效钻具角位移差x及等效钻具转速y的时域响应如图 14所示。
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| 图 14 高阻尼系统等效角位移差x与等效钻具转速y |
相对于平衡位置, 高阻尼系统相平面极限环如图 15所示。提高钻柱系统阻尼后, 等效钻具角位移差x、等效钻具转速y及系统的等效阻尼扭矩F(y)逐渐收敛为零, 系统能量被耗散。相平面原点处的奇点变为稳定结点, 系统的运动为衰减的非往复运动。
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| 图 15 钻柱系统等效阻尼扭矩的函数曲线F(y)↔y |
建立了钻柱系统双自由度集中参数模型, 并以此为基础计算了相对于平衡位置的钻柱系统等效阻尼扭矩和能量变化公式。通过仿真分析, 研究结论如下:
1) 在非线性扰动的作用下, 钻柱系统出现负阻尼, 等效阻尼扭矩对系统做正功, 系统从外界吸收振动能量, 破坏了系统平衡点的稳定性;
2) 井底钻具转速反馈作用调节能量输入, 维持不衰减的持续振动, 并且钻柱系统在一个振动周期内吸收和耗散的能量相等;
3) 钻具转速振幅较小时能量增加, 较大时能量减少, 且钻柱系统吸收的能量主要转化为系统的势能。
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2. Beijing Power Machinery Institute, Beijing 100074, China;
3. Systems Engineering Research Institute, China State Shipbuilding Corporation, Beijing 100094, China;
4. Faculty of Electronic and Information Engineering, Xi'an Jiaotong University, Xi'an 710049, China;
5. School of Astronautics, Northwestern Polytechnical University, Xi'an 710072, China
