脉冲微分方程对在瞬时干扰下状态发生突然变化的演变过程提供了一种自然的描述，关于该类方程的基本理论可参考文献[1]。周期解理论是脉冲微分方程理论中的重要分支^[2]，Mawhin延拓定理则是研究脉冲微分方程周期解存在性的一种有利工具^[3-4]。事实上，Mawhin延拓定理也常被用来研究其它类型微分方程周期解的存在性，例如：泛函微分方程^[5]，Lienard型方程^[6]，P-Laplacian方程^[7]等等，限于篇幅，此处不一一赘述。

2008年，谢毅、李宪高教授在文献[8]中首次利用Mawhin延拓定理证明了一类单种群模型的概周期解的存在性。随后, J O Alzabut等人延续文献[8]的思路, 利用Mawhin延拓定理证明了一类Logarithmic种群模型的概周期解的存在性^[9]。本文作者在文献[10]中通过研究逐段连续的概周期函数性质, 将Mawhin延拓定理应用到了证明带脉冲的一类种群模型的概周期解的存在性上。到目前为止, 还未发现有文献利用Mawhin延拓定理研究方程的渐近概周期解的存在性。事实上, 渐近概周期作为概周期的一种推广, 具有重要的实际意义及研究价值^[11], 鉴于此, 本文将利用Mawhin延拓定理研究一类脉冲扰动下的种群模型的严格正的渐近概周期解的存在性。显然, 本文具有一定的创新性。除此之外, 本文结论部分也说明了, 本文的主要结果是已有相关结果的推广。

1 预备知识

在这一节我们将给出一些预备知识, 为后面主要结论的证明做准备。首先要注意到的是, 脉冲方程的解是分段连续的, 所以, 区别于Bohr意义下连续的渐近概周期函数^[12](这类函数的全体组成的空间用AAP(R)表示), 本文首先给出分段连续的渐近概周期函数定义, 令PC(R, R)表示全体从R到R的具有第一类间断点t_k并在t_k处左连续的分段连续函数全体。

定义1^[2]   函数ϕ(·)∈PC(R, R)被称为概周期函数是指:①函数间断点组成的序列{t_k}是一致概周期的且; ②对∀ε>0, ∃δ>0使得若t₁和t₂属于ϕ(·)的同一个连续区间, 当|t₁-t₂| < δ时, 有|φ(t₁)-φ(t₂)| < ε; ③对∀ε>0, 存在相对稠密的集合T(ϕ, ε), 对∀τ∈T(ϕ, ε)均有|ϕ(t+τ)-ϕ(t)| < ε, ∀|t-t_k|>ε成立, 用AP(R)表示全体该类函数组成的空间。

定义2  称函数ϕ(·)∈PC(R, R)是渐近概周期函数是指:ϕ(·)=ϕ₁(·)+ϕ₀(·), 其中, ϕ₁(·)∈AP(R), ϕ₀(·)∈C₀(R)={ϕ(·)|ϕ(·)∈PC (R, R)且表示全体该类函数组成的集合。

注1   分段连续的渐近概周期函数定义2是Bohr意义下连续的渐近概周期函数定义^[12]的推广。

为方便起见, 我们引入一些基本的记号:若函数φ(·)∈AAP(R)(或AAP(R)), 则φ(·)=φ₁(·)+φ₀(·), 其概周期部分记为φ₁(·), 扰动部分记为φ₀(·), 其平均极限值用表示; 若ϕ(·)∈AP(R)或AP(R), 用Λ_ϕ表示函数ϕ的Fourier指数, mod()表示ϕ的模, 其平均极限值也用m(ϕ)表示。

本文主要研究一类带脉冲的种群模型：

(1)

进一步的, 假设方程(1)中参数满足如下条件:

(H1) a(·), b(·), d(·)∈AAP(R), τ(·)∈AP(R), b(·), d(·)的概周期部分b₁(·), d₁(·)非负, {c_k}是概周期序列, {t_k}是一致概周期序列;

(H2) 是正的概周期函数且;

在开始研究方程(1)的严格正的渐近概周期解的存在性之前, 我们首先考虑方程:

(2)

注意到条件(H2), 类似于文献[10]可知, 方程(1)和(2)的解有如下关系:

引理3   若方程(1)存在正解N(t)∈ 是方程(2)的正解; 若方程(2)存在正解y(t) ∈是方程(1)的正解。

令y(t)=e^x(t), 则x(t)满足方程:

(3)

显然, 若方程(3)存在AAP(R)解, 则方程(2)存在严格正的AAP(R)解。结合引理3可知, 为了证明方程(1)存在严格正的渐近概周期解, 只需证明方程(3)的Bohr意义下的渐近概周期解的存在性。本文用到的方法Mawhin延拓定理可参见文献[4-10, 13], 为节省篇幅, 此处省略不提。

2 论证过程

在这一节, 我们将利用Mawhin延拓定理证明方程(3)的渐近概周期解的存在性。为此, 我们首先令:

此处, α₁, α, M是给定的正常数, F(·)是给定的概周期函数, 令 对任意的ϕ∈X or Z, 定义||ϕ||=sup_t∈R|ϕ(t)|, 则有:

引理4   X和Z均是Banach空间。

证明   根据文献[10, 12]易知, 为了证明X(Z)是Banach空间, 只需证明X₁(Z₁)中C₀(R)(C₀(R))序列{z_n0}具有封闭性。我们以X₁为例证明, Z₁类似可得。假设{z_n0(·)}C₀(R)满足 , 现需要证明 。首先, 易知则对充分大的n一定有, 故, 。接下来证明, C₀(R), 若不然, ∃ε₁>0及一列趋于无穷的序列{t_k}使得 , 由此可知, ∃n^*满足, ∀k。由于, 故, , 矛盾, 从而可知 C₀(R)。证毕。

接下来我们定义一些Mawhin延拓定理中涉及的算子, 令:

则, 我们有:

引理5   L是指标为0的Fredholm算子且P, Q连续, ImL=KerQ, ImP=KerL。

证明   注意到Z₁的结构, 与文献[8-10]类似可证L是指标为0的Fredholm算子且ImL=KerQ, ImP=KerL。接下来以P为例证明连续性, Q的连续性同理可证。若x∈X, 则x=x₁+x₂, x₁=x₁₁(·)+x₁₀(·)∈X₁, x₁₁(·)∈AP(R), x₁₀(·)∈C₀(R), x₂是个常值函数, 因为, 故, m(x)=m(x₁₁)+x₂。对于X中任意序列{x_n=x_n1+x_n0+x_n2}, 其中, , 若x_n→x, 由 →x₁₁+x₁₀。因为, x_n1→x₁₁+x₁₀-x_n0∈AAP(R)∩AP(R)=AP(R), 故, x₁₀-x_n0→0, 从而x_n1→x₁₁。与此同时, Px_n=m(x_n1)+x_n2→m(x₁₁)+x₂=Px, 故P连续, 同理可证Q连续。证毕。

由引理2可知, 可逆, 其逆 , 令,

那么

任取X中的有界开集Ω, 类似文献[8-10]并结合引理4及X的构造易知, QN, (I-Q)N, K_p(I-Q)N连续, K_p(I-Q)N在E上一致有界并且等度连续, 因此, K_p(I-Q)N: E→X是紧的, 从而可知, N在E上是L紧的。

接下来, 我们给出本文的主要结论:

定理6  假设条件(H1)~(H3)成立, 那么, 方程(1)存在严格正的渐近概周期解。

证明:从上面的分析可知, 为了证明方程(1)存在严格正的渐近概周期解, 只需要证明方程(3)的Bohr意义下的渐近概周期解的存在性。定义:J:ImQ→KerL是个恒等算子, 为了应用Mawhin延拓定理证明方程(3)的Bohr意义下的渐近概周期解的存在性, 我们接下来需要寻找合适的延拓定理中提及的有界开子集Ω。对任意λ∈(0, 1), 方程Lx=λNx意味着:

(4)

如果x(·)是方程(4)的解, 我们对方程(4)两边取平均极限值, 可得:

因此

从而可得

由此可以断言, 一定∃t^*∈R, s.t.|x(t^*)| < M₁+1。

注意到x(·)是方程的解, 其概周期部分记为x₁(·)满足方程:

类似文献[8-10]可知, ∀1>ε>0, ∃δ>0, s.t. T(F, δ) ), 令l为T(F, δ)对应的包含区间长度, , 则

基于上面的不等式, 我们立刻可得:

取

类似[8, 10]可知此时Ω满足Mawhin延拓定理的所有条件, 根据该定理可知方程(3)存在渐近概周期解, 从而方程(1)存在严格正的渐近概周期解。证毕。

3 结论

Mawhin延拓定理之前被广泛用于证明各类微分周期解或概周期解的存在性, 本文用该定理证明了一类脉冲种群模型的渐近概周期解的存在性, 因此, 本文具一定的创新性。

利用Mawhin延拓定理, 文献[8]研究了当c_k=0时方程(1)的Bohr意义下的概周期解的存在性; 文献[10]研究了方程(1)的概周期解的存在性。本文研究了方程(1)的渐近概周期解的存在性, 根据文献[12]可知, 此时方程一定存在概周期解, 故本文的结论推广了已有文献的结论。