临近空间高超声速飞行器具有稀薄大气中的高超声速巡航能力、主动机动能力^[1-3], 传统制导控制方法在失去速度优势且缺乏足够机动能力时很难对其实施高精度拦截。

对高超声速飞行器的拦截主要面对以下几个问题:①当目标运动速度远高于拦截弹自身时, 传统制导律的有效攻击区大幅收缩, 尾追、后向拦截不可实现; ②高超声速飞行器处于25~40 km高空中, 大气相对稀薄, 拦截弹气动效率低, 可用过载受到限制; ③对于这种高超声速目标, 近爆破片等传统杀伤方式很难达到毁伤效果, 这也要求拦截弹尽可能采用直接碰撞方式攻击目标, 也即要求脱靶量极小。

针对于不断提升的制导精度要求, 许多新型制导律被提出^[4-6], 滑模变结构控制因其具有良好的鲁棒性, 也被引入到了制导律的设计当中去。在文献[7]中, 周狄给出了时变系统不被外界扰动、以及参数变化所影响的基本条件, 并提出了自适应滑模变结构制导律(ASMG); 在文献[8]中, Kumar借助终端滑模方法, 使滑模面的趋近速度大大加快, 实现有限时间的收敛, 并且所采用的非奇异终端滑模方法还可以保证在趋近末段, 系统的控制不会出现奇异。在文献[9]中, Golan等人基于滑模方法设计了大气层内、大气层外的拦截制导律, 在大气层内, 滑模方法允许较大的初始指向误差使得系统很快收敛至稳定的滑模面上, 但是在大气层外, 基于bang-bang控制实现的滑模方法仅能够收敛至某一附面层内。另外, 借助高阶滑模^[10-11]和反步法^[12-13]等方法, 也可以根据许多高阶情形设计出满足系统要求的制导律。

另外除了单独讨论制导律系统设计外, 制导控制一体化方法是其中一种被广泛讨论的方法。制导控制一体化方法是一种区别于传统的“制导律+过载驾驶仪”双回路结构的新型方法, 可以综合考虑考虑导弹系统的制导、控制问题, 利用弹目相对关系直接计算出所需的舵偏指令, 减少了2个大回路间的延迟以及相互不利影响。Menon在文献[14]中基于线性二次型最优理论设计了一种一体化制导控制方法, 但是其鲁棒性并不能得到充分保证。在文献[15]中Vaddi基于SDRE方法给出了一种纯数值算法的导弹制导控制一体化方法, 但是计算量过大, 实用性较差。在文献[16]中, Xin基于θ-D方法给出了非线性系统的反馈控制器次优解, 并应用于制导控制一体化方法设计中。另外, 许多基于滑模变结构控制的一体化方法也被提出。Yuri B Shtessel在高阶滑模控制器设计领域做出了大量的应用研究, 并提出了新的方法, 在文献[10]中设计了基于smooth second order sliding mode control(SSOSMC)的高阶滑模制导律, SSOSMC较传统的二阶滑模制导律, 在高阶次上会更加平滑。董飞垚在文献[17]中基于几何齐次理论对制导控制一体化模型设计了镇定控制律, 但是, 控制律参数较多, 且控制效果关于参数较为敏感, 导致参数选择较为困难, 且同样存在控制输出的抖振现象。侯明哲, 段广仁在文献[18]中根据滑模控制理论, 设计了带末端攻击角约束的自适应非线性反馈控制器, 但是主要针对的是地面固定目标, 无法处理目标机动所带来的强烈扰动。

当采用滑模变结构控制进行设计时, 抖振是一个普遍面临的问题。一个较为通用的方法是采用各种形式的饱和函数去替代符号函数从而构造一个边界层, 用以缓解抖振。还有的研究者通过采用模糊控制策略, 替换原有的高频切换项。以作者所了解到的情况, 这些做法从理论上对系统的鲁棒性都有所减损。本文将介绍一种基于高阶滑模虚拟控制的方法, 缓解抖振问题。

1 制导控制一体化模型建立

一体化制导控制算法, 区别于制导控制分离设计, 除了考虑视线角、实现角速度、相对距离、相对速度等基本的制导信息以外, 还综合考虑俯仰角速度、攻角、过载等弹体自身的相关状态信息, 综合设计进行制导律设计, 并给出舵偏指令。本文所设计的一体化制导控制系统结构如图 1所示:

1.1 目相对运动

一般在研究制导律时, 将导弹与目标均考虑为质点, 仅讨论运动质点的刚体运动, 忽略弹体姿态角以及姿态变化的过程, 而一体化制导控制方法就要将弹体的动态特性统一考虑进来, 因此, 推导过程还涉及到弹体的俯仰角、俯仰角速度、攻角等, 如图 2所示, 其中导弹速度为V_M, 具有法向加速度a_M, 且速度倾角为θ_M, 弹目视线角q, 弹目相对距离r, 目标速度为V_T, 速度倾角为θ_T, 法向加速度a_T, 其中x_b为导弹体轴, 俯仰角ϑ, 攻角α。

纵向平面内导弹运动方程如下:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

导弹速度为V_M, 具有法向加速度a_M, 且速度倾角为θ_M, 弹目视线角q, 弹目相对距离r, 目标速度为V_T, 速度倾角为θ_T, 法向加速度a_T, 其中x_b为导弹体轴, 俯仰角ϑ, 攻角α。

目标运动方程如下:

(8)

弹目相对运动方程如下:

(9)

(10)

1.2 模型简化

为了对模型进行简化, 方便进行进一步的推导, 做出以下假设:首先, 类似的空空导弹主要采用固体火箭发动机, 工作时间较短, 可以认为导弹在末制导阶段已经没有推力, 并且可以暂不考虑阻力对速度的影响。并且在末制导阶段, 导弹的机动过载较大, 相对而言, 重力所产生的过载较小, 并且易于补偿, 因此可以暂不考虑其影响, 由此, 得到如下2个假设。

假设1    在末制导阶段, 导弹没有推力且不考虑重力影响;

假设2    认为在末制导阶段导弹速度大小不再发生变化。

则有:

(11)

设a_MN=Y/m, Y为法向力, a_MN, a_TN为导弹的法向加速度, 则有

(12)

(13)

对于导弹所受到的法向力Y以及俯仰力矩M_Z一般有:

(14)

(15)

式中, C_Y^α为由攻角引起的法向力系数, C_Y^δ_Z为由舵偏角δ_Z引起的法向力系数, Q为动压, S_ref为参考面积, l为参考长度。但是由舵偏角δ_Z产生的升力较攻角α产生的升力有数量级上的差距, 忽略后可以简化为:

(16)

则有:

(17)

则导弹动态方程化简为:

(18)

(19)

(20)

(21)

1.3 制导控制一体化模型

根据上文的介绍与推导, 选取状态变量为(, θ_M, α, ω_Z)^T, 可以写出非线性制导控制一体化模型如下所示:

(22)

1.4 相对阶求解

为了得到一体化制导控制系统中, 控制输入δ的相对阶, 对视线角速度不断求导, 直到的某一阶导数中显式包含了控制输入。

首先, 对(10)式求导可得:

(23)

此为视线角速度的一阶导表达式, 其中并不显式包含控制输入δ, 则对(23)式继续求导可得:

(24)

此为视线角速度的二阶导表达式。这其中, 可以表示为:

(25)

虽然二阶导数中仍未出现控制量δ_Z, 但是由(19)式可知, 包含有δ_Z, 则继续对(24)式求导, 并将作如下代换

(26)

可得:

(27)

式中

至此, 可以看出, 系统输出的3阶导数中显式地出现了控制输入δ_Z, 因此可以看出受控系统的控制输入δ_Z的相对阶为3阶。

2 准连续高阶滑模控制器 2.1 滑模面的选择

为了使用滑模变结构控制方法, 首先需要选取一个滑模面。本文中选为视线角速度, 即在拦截过程中, 尽量使得视线角速度收敛至零或者零附近的一个小的邻域内, 从而保证导弹与目标实现准平行接近, 滑模面表示如下:

(28)

根据上文内容, 我们知道了控制输入相对于系统输出即滑模面σ的相对阶为3, 下文将基于这种滑模面推导一体化制导控制方法。

2.2 准连续高阶滑模控制器

假设有如下系统:

(29)

式中, x∈Rⁿ, u∈R, a, b, σ均为光滑的函数, n为未知维度, 系统的相对阶是已知的常数。如下条件可以被满足。

(30)

令i=0, …r-1

(31)

根据Arie Levant提出的quasi-continuous高阶滑模控制方法则有如定理下定理:

定理1    当系统(29)式满足(30)式条件时, 适当选取较大的参数α, β则可以按照(31)式构建如下形式控制器:

(32)

可以使得系统在有限时间内达到稳定的r阶滑动模态σ=0^[19]。

按照以上定理, 将(27)式表示为如下形式:

(33)

式中, h(t, x), g(t, x), u表示如下

(34)

对于相对阶为3的系统, 可选用如下形式控制器^[19]:

(35)

且系统能够收敛的条件如下:

(36)

式中, K_m, K_M, C均大于零。

本文所应用的系统满足上述要求, 证明如下:

由(27)式可知:

(37)

这其中, 动压Q、参考面积S_ref、参考长度l_ref、质量m、转动惯量J_Z、相对距离r、升力系数C_Y^α均为正实数, m_z^δz在正常式布局中是小于零的, 同时, 考虑在攻击过程中, 导弹在制导控制下与目标至少不会相互远离, 即导弹速度与视线方向夹角一定不大于90°, 则一定有:

(38)

综合上述条件, 则一定有:

(39)

即存在正实数K_m, K_M使得

(40)

另外根据(34)式, 可得:

(41)

因为在物理意义上, 不论是视线角速度的变化, 还是导弹、目标加速度的变化都是有界的, 则不论是, , q还是, , 均有界, 但是因为h(t, x)中包含有1/r这项, 因此在目标与导弹相对距离为零时, h(t, x)的有界性则不能被保证, 但是Arie Levant在文献[19]中仅要求条件(36)在局部成立, 并未要求全局范围内满足要求, 因此本文满足应用此法要求。

2.3 虚拟控制设计

在传统的滑模控制器设计中, 抖振处理一直是一个重点关注的问题, 在传统方法中, 研究者们采用各种饱和函数替换原本的符号函数建立一个边界层, 缓解抖振。或者按照类似的思想, 采用模糊控制的方法进行切换逻辑的设计^[20-21], 但是, 据作者所了解的资料, 以上的方法都无法从理论上保证改进的控制器保有原系统的鲁棒性。为了缓解抖振使控制器输出更加平滑, 本文采用了虚拟控制的思想进行设计, 即并没有直接使用3阶控制器, 而是引入虚拟控制, 则实际控制:

(42)

可以看到, 虚拟控制u_i在系统的阶次提高到4阶, 从而有下式:

(43)

(44)

(45)

对于升阶后的增广系统, 为了满足准连续高阶滑模的收敛条件, 进行如下说明:

虽然的表达式相当复杂, 不过其仍然是、、, , , q等的函数, 所以与h(t, x)相同, 除了在弹目接近瞬间以外, 均有界。同理亦有界, 显然舵偏δ_Z也有界, 因此|h^*(t, x)|≤C, (C>0)得证。

又因为为对δ_Z求导所得, 因此g^*(t, x)与g(t, x)完全相同, 因此亦有:

(46)

按照Arie Levant给出的4阶控制器形式, 给出虚拟控制u_i形式如下:

(47)

(48)

(49)

在计算得出虚拟控制后, 对其进行积分, 则可得到实际控制指令δ_Z。控制器中的由下一节所介绍的精确鲁棒微分器得到。

2.4 精确鲁棒微分器

在应用准连续高阶滑模方法时, 需要用到滑模面的3阶导数即q⁽⁴⁾, 如何计算或者较为准确的估计q⁽⁴⁾, 是使用这种控制方法时一个主要需要解决的问题之一。本文采用Arie Levant设计的精确鲁棒微分器, 对视线角速度微分得到, , q⁽⁴⁾。鲁棒精确微分器能够快速、准确地实现对给定输入的跟踪、微分, 并且精度随着计算步长的减小和所采用的微分器阶数而增加。

根据(33)式与(36)式, 有如下条件成立:

(50)

则可按照参考文献[22]构建鲁棒微分器。

首先假设某个信号f(t)是n阶可导的, 则f^(n-1)(t)有一个确定的Lipshitz常量L>0, 则可写出n阶微分器如下形式:

(51)

式中, λ_i>0只要选取的充分大, 即可保证收敛。

本文要对求3阶导数, 则可构造3阶滑模微分器, 对的各阶导数进行估计, 但是考虑到微分的精度, 配置5阶微分器如下:

(52)

式中, z₃，z₂，z₁，z₀分别是对的估计。

3 仿真与分析

导弹初始位置[0, 18 km], 目标初始位置[60 km, 20 km], 导弹初始速度1 200 m/s, 目标初始速度2 000 m/s, 弹目双方弹道倾角均为0, 导弹分别采用HOSM-IGC控制器参数β=30, 10, 目标采用如下形式机动:

(53)

弹目相对运动轨迹如图 3所示:

从图 5舵偏曲线可以看出, OSMG方法在末段为了提供较大的法向过载, 产生了较大的舵偏指令, 但是一旦舵偏饱和, 导弹达不到需用过载, 就会直接导致脱靶量的增加。

正是因为过载指令的剧烈变化, 而导弹自动驾驶仪对高频指令的响应存在相位滞后以及幅值的衰减, 如图 6中所示, 导弹实际产生过载仅达到指令的一半, 甚至更少, 这也是导致脱靶量增加的主要原因, 然而, 一体化制导控制中, 控制器直接给出舵偏指令, 不存在自动驾驶仪的滞后或者衰减问题, 有效提高了制导精度。另外, 高阶滑模的快速收敛使得导弹能够以最合理的舵偏指令快速跟踪目标机动, 有效减少了导弹的需用过载。

小结:目标的摆动机动对拦截弹制导控制系统提出了更高的要求, 以OSMG+PID三回路驾驶仪作为对比, 可以看出分离制导控制系统存在制导指令发散、且在发散后控制器的过载跟踪滞后、衰减等问题导致脱靶量过大。

4 结论

本文基于准连续高阶滑模方法, 提出了一种基于基于视线角速度反馈的制导控制一体化方法。由于高阶滑模系统具有快速、精确收敛的特性, HOSM-IGC方法表现出了比传统分离制导控制方法更优秀的表现。从仿真结果中可以看到, HOSM-IGC方法凭借更小的过载指令实现了更高的末制导拦截精度, 而且, 通过引入虚拟控制的思想, 大大减少了高阶滑模控制的指令抖振, 并且不需要对控制器进行近似、变换, 从理论上完整地保留了滑模变结构系统的鲁棒性。