2. 西北工业大学 自动化学院, 陕西 西安 710072;
3. 空军工程大学 航空航天工程学院, 陕西 西安 710038
导弹编队协同攻击通过信息、战术、火力的相互支援和协调，可实现对航母编队等重要战略目标的有效打击，极大地提高了导弹的突防能力、电子对抗能力、协同搜索能力和综合作战效能[1-2]。近年来，国内外学者对导弹编队队形控制问题进行了较为深入的研究，提出多种控制算法：领弹从弹法、行为法以及虚拟结构法等，其中领弹从弹法控制结构简单清晰，简化了导弹编队成员之间的合作问题，应用较为广泛[3-4]。
领弹从弹法制导律设计的主要技术难点包括：如何建立领弹与从弹相对运动关系的数学模型；如何设计控制算法满足编队生成与保持的性能指标要求。韦常柱等[5]在领弹相对坐标系下建立了领弹与从弹的相对运动模型，采用最优输出调节方法设计了导弹编队最优保持控制器；张磊等[6]基于单领弹编队控制的思想，在惯性坐标系下根据从弹当前位置和预设航路点之间的偏差建立系统状态方程，设计了自适应滑模导弹编队控制器；马培蓓等[7]在惯性坐标系下建立了领弹与从弹之间的相对运动关系模型，基于相对误差设计了三维导弹编队控制器；周慧波等[8]在惯性坐标系下基于导弹编队成员需要跟踪的期望位置和期望速度，提出了具有鲁棒性的导弹编队协同控制策略。然而，以上算法的局限性主要体现在：①控制算法基于从弹需要跟踪的期望位置建立系统方程，不能体现领弹与从弹的相对运动特性，而文献[5]虽然在领弹相对坐标系下建立了领弹和从弹的相对运动数学模型，但该算法中包含大量与领弹从弹运动状态有关的时变系数，在实现过程中要求通过弹间数据链传送相关信息；②所应用的二次型最优跟踪控制或滑模变结构算法虽具有一定的鲁棒性，但需要已知领弹运动状态或将其视为常值扰动，并且未考虑编队制导系统的动态性能。
基于此，本文将H∞控制和比例积分调节器理论应用于导弹编队制导律的设计。首先，在地理坐标系下，建立新的领弹与从弹相对运动关系的数学模型。这种建模方法充分体现了导弹编队各成员的相对运动特性，所包含的系数矩阵元素均为相对运动参数，可由从弹传感器实时量测，无需弹间数据链支持；其次，为了使从弹制导系统在具备干扰抑制性能的同时，具有良好的动态响应特性，在系统状态方程的基础上，将领弹加速度视为有界扰动，以弹间相对距离和从弹加速度作为状态量和控制量，应用H∞控制理论，提出一种H∞性能指标优化下的比例积分(proportion-integration, PI)制导律算法，从而实现导弹编队过程中队形的生成、跟踪和保持。
1 领弹与从弹相对运动关系建模本文所建立的领弹与从弹相对运动关系模型基于如下假设[9]：导弹编队各成员均视为质点；导弹是滚动稳定的，并且在2个平面内具有对称性，可以滚动控制实现解耦；重力影响可借助于自动驾驶仪的偏离项得到消除。由此，导弹的三维运动可由正交平面运动的组合表示[10]，可分别建立水平面与垂直面的领弹与从弹相对运动关系的数学模型。
如图 1所示, 以从弹质心位置为坐标原点建立东-北-天地理坐标系OXYZ。领弹位于空间点OL, 在水平面的投影点OLh; VFh和VFv分别为从弹速度矢量在水平面和垂直面的分量, VLh和VLv分别为领弹速度矢量在水平面和垂直面的分量; 弹间连线为Losv, 在水平面的投影为Losh, 弹间距离矢量为Rv, 水平距离矢量为Rh; φ、ε、θ分别为水平面内从弹前置角、弹间连线角及从弹偏航角, 垂直面内弹间连线的高低角为β。
|
| 图 1 领弹与从弹相对运动关系 |
首先建立水平面内领弹与从弹的相对运动方程, 将VFh投影到水平面弹间连线Losh及其法线上, 可得
|
(1) |
|
(2) |
式中, 
|
(3) |
将(1)式代入(3)式可得
|
(4) |
式中, 
|
(5) |
式中, 
|
(6) |
由(4)式~(6)式可得水平面内领弹与从弹相对运动方程为
|
(7) |
同理可得垂直面内领弹与从弹相对运动方程为
|
(8) |
式中, 
(7) 式和(8)式即为导弹编队过程中, 领弹和从弹在水平面和垂直面内相对运动关系的数学模型, 将其写成标准系统状态方程形式为
|
(9) |
式中, 状态量为弹间距离X=[Rh Rv], 控制量为从弹的法向加速度U=[jFh jFv]T、将目标加速度视为有界干扰W=[jLh jLv]T, 状态矩阵A、控制矩阵B和干扰矩阵Bw分别为
|
|
将目标加速度信息视为有界干扰后, (9)式所建立的系统状态方程中, 仅包含领弹与从弹的相对运动状态信息, 不包含任何的领弹运动参数, 这种建模方法简化了相对运动方程的复杂性, 在编队制导过程中降低了对领弹运动信息的依赖; 而且系数矩阵中仅包含弹间连线角速度及角加速度等参数, 这些参数可通过从弹装备的雷达导引头量测获得。
2 导弹编队制导H∞控制器设计导弹编队制导过程中, 要求领弹和从弹在2个正交平面的距离矢量趋近于预先给定的期望距离矢量, 从而快速生成期望队形, 并稳定的保持在期望队形上。由于领弹的运动状态不受从弹和队形的影响, 从弹制导律的设计无疑是导弹编队制导的关键, 所设计的从弹制导律应使闭环系统具有较强的干扰抑制能力, 有效减少领弹加速度对编队误差的影响, 并使闭环系统具有良好的动态响应特性, 实现状态误差的快速收敛。由于H∞优化方法考虑了系统的健壮性及扰动抑制, 而PI调节器具有良好的动态响应特性[11], 所以本节将二者有机结合, 设计H∞优化指标下的PI制导律算法。
将(9)式转换为如下误差形式
|
(10) |
式中, ΔX=X-Xs为状态误差, Xs为期望距离的参考输入; ΔY=Y-Ys为输出误差, Ys为输出的参考输入; 干扰量
|
(11) |
式中，
|
(12) |
式中, 
经上述变换, 可将编队制导律设计问题转换为H∞控制问题:设计状态反馈控制器U=KX, K=[K1 K2], 使(12)式的闭环形式
|
(13) |
内稳定, 从
|
(14) |
满足‖Tzw(s)‖∞ < γ, 若状态反馈控制器的可解性存在, 可得比例积分控制器为
|
(15) |
式中，C=I∈R2为单位矩阵, 可得
|
(16) |
引理1[12] 给定一个状态反馈规范化系统:
|
(17) |
式中，C1为单位阵, 给定常数γ, 使闭环系统内稳定且满足‖Tzw(s)‖∞ < γ的控制器存在的充要条件是Riccati方程
|
(18) |
存在一个可镇定的半正定解P≥0, 则H∞次优状态反馈增益矩阵K为:
|
(19) |
全状态反馈条件下, 引理1中Riccati方程可解性存在的条件是(17)式中(A, B2)能控, (A, C2)能观。
(12)式是(10)式的增广形式, (10)式中(A, B2)能控, C为单位阵, 则
(10)式中(A, C)能观, 则(12)式中
|
(20) |
得到状态反馈增益矩阵
|
(21) |
将(21)式代入(16)式, 即可得到导弹编队过程中从弹的比例积分制导律, 从而得到从弹水平面和垂直面的指令加速度
|
(22) |
再由地理坐标系转换到弹体坐标系, 即可得到从弹制导系统输出的3个轴向的指令加速度。
3 仿真实例下面对制导律算法(16)式进行仿真验证, 仿真条件为:
1) 导弹编队由1枚领弹和2枚从弹组成, 各弹均假设为质点, 并且导弹自动驾驶仪是无迟滞响应的非惯性系统;
2) 领弹装备有合成孔径雷达(synthetic aperture radar, SAR)导引头, 可实现对远距离目标进行高分辨率成像, 为了满足成像制导分辨率要求, 领弹制导律算法为[13]
|
(23) |
领弹仿真参数如表 1所示。
| 参数名称 | 取值 |
| 雷达波长λ/m | 0.03 |
| 导引头所需方位分辨率ρaT/m | 3 |
| 合成孔径周期Ts/s | 0.2 |
| 水平面最大目标线法线加速度jhmax/(m·s-2) | 60 |
| 垂直面最大目标线法线加速度jvmax/(m·s-2) | 60 |
3) 2枚从弹装备有主动雷达导引头, 可实时测量得到相对领弹的状态信息, 加速度限制同领弹;
4) 领弹初始坐标(2 km, 10 km, 9 km)、初始速度为(200 m/s, 600 m/s, 100 m/s); 从弹1初始坐标(0 km, 6 km, 8 km)、初始速度为(210 m/s, 580 m/s, 100 m/s); 从弹2初始坐标(0 km, 14 km, 8 km)、初始速度为(210 m/s, 590 m/s, 100 m/s);
5) 领弹与从弹1水平面期望距离Rh1*=3.3 km、垂直面期望距离为Rv1*=4.5 km; 领弹与从弹2水平面期望距离Rh2*=2 km、垂直面期望距离为Rv2*=4.5 km。
导弹编队队形要求2枚从弹与领弹在水平面和垂直面相对期望距离的误差ΔR < 100 m。H∞性能指标γ=0.85, 权值系数ρ=0.5。仿真92 s结束, 导弹编队三维运动轨迹如图 2所示, 水平面编队运动轨迹如图 3所示。
|
| 图 2 三维空间导弹编队轨迹 |
|
| 图 3 水平面导弹编队轨迹 |
仿真62 s时, 从弹1与领弹水平距离Rh1=3.336 km、垂直距离为Rv1=4.499 km; 从弹2与领弹水平距离Rh2=1.976 km、垂直距离为Rv2=4.556 km, 导弹编队状态在误差范围之内, 从而说明2枚从弹在控制算法(16)的作用下与领弹形成了期望编队队形, 满足编队性能要求。62~92 s为队形保持阶段, 仿真结果表明该阶段队形保持在允许误差范围之内。
需要指出, 以SAR导弹作为领弹的导弹编队队形控制过程中, 制导律的设计不仅要考虑各枚弹之间的相对运动关系, 还要考虑领弹的SAR导引头能否获得较高的成像分辨率, 实现导弹编队对目标的自主攻击。由于领弹的运动状态是确保SAR成像分辨率的关键, 制导律算法应用(23)式, 其运动状态不受从弹运动状态及队形变化的影响, 图 4给出了导弹编队队形生成过程中, 领弹SAR成像分辨率的变化过程, 由图可知, 满足表 1所示成像分辨率的指标要求。
|
| 图 4 领弹SAR成像分辨率 |
图 5给出了导弹编队过程中, 领弹和从弹1在水平面的法向过载。由图可知, 领弹和从弹1的水平面法向过载均在表 1所示的允许范围之内, 从弹1的法向过载仿真初始时刻较大, 随编队时间的增加, 状态误差ΔX(距离误差ΔR)逐渐减小, 从弹1法向过载不断减小, 在队形保持阶段趋于稳态。
|
| 图 5 导弹法向过载 |
图 6给出了从弹1状态误差和从弹2状态误差随制导时间的变化规律。由于采用比例积分控制器结构, 控制算法式(16)能够在导弹编队过程中无静差地消除由于初始状态产生的误差, 响应速度较快, 动态性能较好。为进一步提高动态性能, 可调整H∞性能指标γ和权值系数ρ的取值, 从而调整加权矩阵R和Q的各元素值, 编队过程中, 从弹根据量测得到系数矩阵各元素值, 在线计算Riccati方程, 从而获得从弹的指令加速度。
|
| 图 6 导弹状态误差 |
图 7给出了应用参考文献[5]提出的最优保持控制算法, 导弹编队各成员在三维空间的运动轨迹。由仿真结果可知, 在平衡点附近具有较好的队形保持性能。但由于该算法基于小扰动线性化处理方法将非线性状态方程线性化, 在队形生成阶段, 该线性化方法所导致的状态误差较大, 时变线性系统的能控性无法保证, 不适用于导弹编队队形生成。
|
| 图 7 基于最优保持控制器的导弹编队轨迹 |
综合上述仿真结果可知:①领弹运动状态与从弹运动状态无关, 领弹在算法(23)式的作用下满足成像分辨率要求; ②从弹制导律算法式(16)综合应用了H∞干扰抑制性能和PI调节器动态性能, 在导弹编队队形生成阶段, 状态误差收敛速度较快, 具有良好的动态响应特性, 可实现快速的队形生成; 在队形保持阶段, 领弹加速度对状态误差影响较小, 使导弹各成员能够保持在预期规划的编队队形上; ③对比文献[5]所提出的编队控制算法, 本文提出的H∞制导律算法不仅可以实现导弹编队队形的保持, 而且在平衡点区域外具有快速收敛性, 状态误差较小, 系统动态性能较好, 适用于导弹编队的队形生成。
4 结论本文提出的控制算法有效解决了基于领弹-从弹结构的导弹编队队形控制制导律设计问题, 研究总结如下:①针对导弹编队过程, 在三维空间基于距离矢量建立领弹与从弹的相对运动关系的数学模型; ②将领弹加速度视为不确定有界干扰, 基于H∞优化方法设计的PI状态反馈控制器, 在队形生成过程中动态性能较好, 在队形保持过程中抑制干扰能力较强; ③制导律算法中的系数矩阵可由从弹装备的主动雷达导引头实时量测获得, 易于工程实现。
| [1] | Cui N G, Wei C Z, Guo J F, et al. Research on Missile Formation Control System[C]//IEEE International Conference on Mechatronicsand Automation, Changchun, 2009:9-12 |
| [2] | Consolini L, Morbidi F, Prattichizzo D, et al. Leader-Follower Formation Control of Nonholonomic Mobile Robots[J]. Automatica, 2008, 44(3): 1343-1349. |
| [3] | Liu S C, Tan D L, Liu G. Robust Leader-Follower Formation Control of Mobile Robots Based on a Second Order Kinematics Model[J]. Acta Automatica Sinica, 2007, 33(9): 947-955. DOI:10.1360/aas-007-0947 |
| [4] | Cui R, Ge S S, How B V E. Leader-Follower Formation Control of Underactuated Autonomous Underwater Vehicles[J]. Ocean Engineering, 2010, 37(7): 1491-1502. |
| [5] |
韦常柱, 郭继峰, 崔乃刚, 等. 导弹协同作战编队队形最优保持控制器设计[J]. 宇航学报, 2010, 31(4): 1043-1050.
Wei Changzhu, Guo Jifeng, Cui Naigang, et al. Research on the Missile Formation Keeping Optimal Control for Cooperative Engagement[J]. Journal of Astronautics, 2010, 31(4): 1043-1050. (in Chinese) |
| [6] |
张磊, 方洋旺, 毛东辉, 等. 导弹协同攻击编队自适应滑模控制器设计[J]. 宇航学报, 2014, 35(6): 700-707.
Zhang Lei, Fang Yangwang, Mao Donghui, et al. Adaptive Sliding-Mode Controller Design for Missile Cooperative Engagement[J]. Journal of Astronautics, 2014, 35(6): 700-707. (in Chinese) |
| [7] |
马培蓓, 纪军. 多导弹三维编队控制[J]. 航空学报, 2010, 31(8): 1660-1666.
Ma Peibei, Ji Jun. Three Dimensional Multi Missile Formation Control[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2010, 31(8): 1660-1666. (in Chinese) |
| [8] |
周慧波, 宋申民, 郑重. 导弹编队协同攻击分布式鲁棒自适应控制[J]. 中国惯性技术学报, 2015, 23(4): 516-521.
Zhou Huibo, Song Shengmin, Zheng Zhong. Distributed Robust Adaptive Control for Missile Cooperative Engagement within Formation[J]. Journal of Chinese Inertial Technology, 2015, 23(4): 516-521. (in Chinese) |
| [9] |
黄汉桥, 周军, 何明, 等. 一种新型鲁棒制导律的研究与仿真[J]. 系统仿真学报, 2009, 21(8): 2408-2413.
Huang Hanqiao, Zhou Jun, He Ming, et al. Research and Simulation on New Robust Guidance Law of Missile[J]. Journal of System Simulation, 2009, 21(8): 2408-2413. (in Chinese) |
| [10] |
薛丽华, 范宇, 宋闯. 现代导弹制导[M]. 北京: 国防工业出版社, 2013: 10-40.
Xue Lihua, Fan Yu, Song Chuang. Modern Missile Guidance[M]. Beijing: National Defense Industry Press, 2013: 10-40. (in Chinese) |
| [11] |
蒋国平. 基于H∞优化指标的状态PI调节器的设计[J]. 南京邮电学院学报, 1998, 18(1): 94-98.
Jiang Guoping. Design of State PI Regulator with H∞ Performance[J]. Journal of Nanjing Institute of Posts and Telecommunications, 1998, 18(1): 94-98. (in Chinese) |
| [12] |
陈本美, 席斌. H∞控制及应用[M]. 北京: 科学出版社, 2010: 59-85.
Chen Benmei, Xi Bin. H∞ Control and Its Application[M]. Beijing: Science Press, 2010: 59-85. (in Chinese) |
| [13] |
黄伟, 徐建城, 吴华兴. 弹载SAR末制导段轨迹控制算法[J]. 系统工程与电子技术, 2016, 38(9): 2115-2121.
Huang Wei, Xu Jiancheng, Wu Huaxing. Research on Trajectory Control Arithmetic of Missile-Borne SAR Terminal Guidance[J]. Systems Engineering and Electronics, 2016, 38(9): 2115-2121. DOI:10.3969/j.issn.1001-506X.2016.09.21 (in Chinese) |
2. School of Automation, Northwestern Polytechnic University, Xi'an 710072, China;
3. College of Aeronautics and Astronautics Engineering, Air Force Engineering University, Xi'an 710038, China
