分布式无线传感网络在生态环境监测、设备状态监控以及战场态势感知等诸多领域具有重要的战略地位。因此，如何有效地为这些数目巨大的无线微传感器节点提供永久电源是面临的棘手问题^[1]。工作环境中的噪声或振动几乎无处不在且具有较高的能量密度^[2]，解决微电子产品供能问题的一个有效的方法就是研究一种俘能器能直接从微电子器件工作环境中俘获振动能量并为其供能，可以利用电磁感应、静电和压电效应等技术实现。在振动俘能器中，压电式振动俘能方式较为普遍，它利用压电材料的正压电效应，即压电晶体受到外界振动力的作用而引起其内部电荷的流动，达到产生电信号和输出电能的目的^[3]。环境振动宽频和随机的特点使得传统线性压电俘能系统有很大的局限性，当压电振子不能与振动源产生共振时，其输出功率将变得很低。非线性双稳态压电俘能系统利用固有的非线性力，可实现在微弱激励下的大幅宽频运动，从而使得俘能效率大大增大。非线性双稳态振动俘能器相比于线性振动俘能器能够在宽频谱范围上表现出更好的振动俘能性能，因此受到了国内外学者的广泛关注。文献[4]将文献[5]的双稳态模型用于压电发电，通过数值计算和实验与传统的线性系统对比得出结论，双稳态系统可发生大幅混沌运动，比线性系统的输出电压的均方根高46.5%，功率高113.7%，并且大幅混沌运动的激励频率处于一个很宽的范围。高毓璣等^[6]提出了外部磁铁弹性支撑的非线性俘能系统，研究表明，对于强度变化的随机激励历程，弹性支撑非线性俘能系统不需要实时调整磁铁间距，能够更好地迎合强度时刻变化的随机激励源，实现高效的机电能量转换。由于非线性能量获取系统类似于Duffing-Rayleigh振子，因此可采用Melnikov方法研究非线性双稳态系统。Bulsara等^[7]利用Melnikov方法对非线性耗散系统的阈值问题进行了研究，发现高斯白噪声强度对其有一定的影响。Yang等^[8]对谐和激励与有界噪声作用下Duffing振子的分岔与混沌问题开展了相关研究，并采用数值方法分析证明了有界噪声强度对系统产生的影响。Siewe等^[9]研究了非线性阻尼对Duffing-Rayleigh振子响应特性的影响，发现当非线性阻尼扰动越过Melnikov混沌的阈值时，在吸引域边界会出分形现象。

本文采用Melnikov方法研究了在考虑非线性阻尼的情况下，有界噪声和谐和激励对非线性压电悬臂梁能量获取系统Melnikov混沌运动阈值的影响。

1 压电悬臂梁俘能系统Melnikov过程分析

如图 1所示，非线性振动俘能装置由上、下两端粘有压电片的梁、电能采集部分和1对永磁铁组成。

当磁铁间距足够大时，两磁铁间没有作用力，此时系统为线性系统。当磁铁间距缩小到一定程度时，系统具有2个稳定平衡点和1个不稳定平衡点。根据动力学定理和基尔霍夫定律，考虑非线性阻尼的影响，得到压电俘能系统的无量纲耦合方程^[10]:

(1)

(2)

式中, μ_a为线性阻尼系数; μ_b为非线性阻尼系数; μ_c为阻抗系数; α、β为线性和非线性回复力, θ为机电耦合系数; f₁为谐和激励幅值; Ω₁为谐和激励频率; f₂为有界噪声幅值; ξ(t)为有界噪声

(3)

(4)

Ω₂为激励的平均频率, B(t)为Wiener过程, Γ为上的随机变量, 为噪声强度, ξ(t)的双边功率谱密度为

(5)

Melnikov方法是研究混沌现象的解析方法, 此方法的基本思想是将动力系统归结为平面上的一个Poincare映射, 研究该映射是否存在横截同宿轨道或异宿轨道的数学条件, 从而得出映射是否具有Smale马蹄变换意义下的混沌属性。利用一定的数学技巧, Melnikov方法可给出物理学和力学的非线性动力系统Smale马蹄变换意义下出现混沌现象的判据。下面利用随机Melnikov方法研究压电俘能系统的混沌运动, 将方程(1)~(2) 写为状态空间方程形式

(6)

(7)

(8)

(9)

式中，∈为μ_a、μ_b、μ_c、θ、f₁、f₂的同阶小量且有μ_a=∈_a, μ_b=∈_b, μ_c=∈_c, θ=∈, f₁=∈₁, f₂=∈₂。

当∈=0时, 系统为Hamiltonian系统, 此时通过此系统鞍点的同宿轨道为

(10)

(11)

将方程(11) 代入(2) 式可得压电电压同宿轨道方程为

(12)

式中

(13)

系统(6) 的随机Melnikov过程为

(14)

式中

(15)

由于

(16)

(17)

可得

(18)

(19)

(20)

(21)

可利用留数定理求解(21) 式的解析表达式, 令

(22)

式中

(23)

(24)

由留数定理可得^[11]

(25)

所选轨道只有1个二级极点, 因此有

(26)

将ϕ(z)和ψ(z)的各阶导数带入, 可得Z₁(t₀)的解析表达式

(27)

是一个广义的平稳随机过程, 因此Z₂(t₀)的均值为零, Z₂(t₀)的方差可表示为

(28)

随机Melnikov过程的均值意义下出现混沌的条件为

(29)

考虑均方意义的随机Melnikov过程出现混沌的条件时, 由于

(30)

可得

(31)

因此, 随机Melnikov过程在均方意义下出现混沌的条件为

(32)

2 数值分析

本节参考文献[11]选择了部分参数, 对均方意义得到的可能出现混沌的参数进行了数值模拟。

图 2为关于f₁与Ω₁的同宿分岔阈值曲线图, 参数取值:参数α=1, β=1, θ=0.9, Ω=2, μ_a=0.01, μ_b=0.02, μ_c=0.01, σ=0.1。从图中可知, 随着随机激励f₂幅值的增大, 同宿分岔阈值f₁将减小, 即在有界噪声与谐和激励作用下, 有界噪声的幅值越大, 系统越容易发生同宿分岔。

图 3为非线性双稳态压电俘能系统在有界噪声与简谐激励下的分岔图与最大Lyapunov指数图。当简谐激励幅值比较小时, 系统在其中的一个势阱内做单阱运动。随着噪声强度的增大, 当激励幅值小于同宿分岔阈值时, 由分岔图和最大Lyapunov指数可以看出系统在阱内做混沌运动。当简谐激励幅值大于同宿分岔阈值系统开始做阱间大幅混沌运动, 随着有界噪声幅值的增加, 系统发生阱间混沌运动的阈值f₁减小。

图 4显示了阻抗μ_c与I_θ关系, 在μ_c=0.66时, I_θ达到最大值。由Melnikov函数可知随着I_θ增大, 发生同宿分岔的条件越来越不容易满足, 如图 5所示, 在μ_c=0.66时, I_θ达到最大值需要较大的谐和激励幅值f₁。当μ_c增大到∞时, 此时的压电俘能系统为开路, 系统相当于传统经典的Duffing-Rayleigh振子。对于考虑了机电耦合的三维压电俘能系统, 选定适当阻抗μ_c, 使得I_θ足够小, 从而使系统更容易发生双阱大幅混沌运动。

图 6为不同阻抗μ_c下的系统混沌运动的吸引子。图 6a)系统的吸引子阻抗非常小, 系统近似为开路系统, 此时系统运动为频繁的阱间混沌运动。随着阻抗的增大, 当μ_c=0.66时, 如图 6c)所示, 系统逐渐从频繁的阱间运动变为不频繁的阱间运动, 甚至是长时间的阱内运动。随着μ_c的增大, 即I_θ远离极大值, 此时系统又开始做频繁的阱间运动。

图 7为在t=1 000 s处阻抗μ_c从0.000 1变为0.66时的系统位移与电压时域图。当阻抗不满足发生Melnikov同宿分岔条件时, 系统会由大幅阱间运动变为单阱运动, 产生的电压大大减小。

从图 8中可知, 对于较小的非线性参数μ_b来说, 系统的最大Lyapunov指数为正, 表明系统做混沌运动。随着非线性参数的增大, 系统开始做周期运动, 系统的混沌运动的幅值会随着强度参数的增大先增加后不变。

从图 9可知，随着Wiener过程强度参数的增大，系统混沌吸引子的面积逐渐增大。

3 结论

本文通过随机Melnikov过程方法预测了非线性双稳态压电俘能系统在谐和激励与随机激励作用下发生同宿分岔的阈值，给出了发生Smale马蹄意义下阱间混沌运动的条件。研究结论如下:

1) 有界噪声幅值的增大有利于系统发生同宿分岔，增加发生阱间运动的频带宽度。

2) 系统阻抗对同宿分岔阈值影响较大，通过Melnikov函数可优化阻抗参数，使得系统更易发生大幅阱间运动，从而提高俘能效率。

3) 非线性阻尼系数的增加会使系统由混沌运动变为周期运动且其临界幅值随着Wiener过程强度参数的增大先增加后不变。

4) 随着Wiener过程强度参数的增大，系统混沌吸引子的面积逐渐增大。