目前，多目标跟踪技术已经广泛应用于军事领域和民用领域，数据关联作为多目标跟踪实现中的关键部分，对目标跟踪性能起到决定性作用，其典型算法有最近邻算法[1]；适用于杂波环境下的单目标跟踪方法：概率数据关联算法[2]；同时为了实现杂波环境中的多目标跟踪而提出的联合概率数据关联算法[3]和Reid以“全邻”最优滤波器和“聚”概念为基础而提出的多假设跟踪算法[4]，近年来，Mahler提出了基于随机有限集理论的概率假设密度滤波多目标跟踪算法[5-6]，该算法突破了传统的数据关联方法，避免了数据关联难题。
联合概率数据关联算法被认为是实现杂波环境下多目标数据关联的一种很好算法，但是随着目标数目及杂波密度的增加，计算量出现组合爆炸问题，从而使该算法的应用受到限制。近年来，很多学者不断将模糊聚类理论引入到数据关联算法[7-10]的应用中，这种算法集数据关联、数据融合和目标跟踪为一体，大大降低了多目标跟踪问题的复杂性和计算量。文献[11]在模糊聚类中利用最大熵原理得到最大熵意义下的模糊聚类算法，文献[12]将其应用于目标跟踪。
为了有效地降低密集杂波环境下多目标数据关联的计算复杂性，并且保证目标跟踪性能。本文采用最大熵模糊聚类算法实现量测与目标的数据关联，对于互联概率矩阵的重建不同于文献[12]，此处针对公共量测对目标的影响，引入影响因子重建互联概率矩阵，在一定程度上可以避免航迹融合，本文提出的最大熵模糊聚类联合概率数据关联(MEF-JPDA)算法可以提高密集杂波环境下多目标跟踪的实时性和精确性。本文对JPDA、MEF-JPDA和CJPDA[13]3种算法目标跟踪性能进行仿真分析，结果表明，MEF-JPDA和CJPDA同时提高了目标跟踪的实时性，但MEF-JPDA在密集杂波环境下目标跟踪精度有所提高，从而可以更精确地实现目标跟踪，同时可以有效避免降低目标航迹融合的问题。
1 杂波环境下多目标跟踪问题描述在多目标跟踪系统中，假设跟踪目标数目为N, 定义k时刻目标t的状态方程如下
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(1) |
式中, Xt(k)表示目标t的状态向量, F(k)表示其状态转移矩阵, G(k)表示其过程噪声转移矩阵, W1t(k)为零均值高斯过程噪声，其协方差矩阵为Q(k), 且与目标初始状态统计独立。
定义k时刻目标t的量测方程如(2) 式所示。
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(2) |
式中, zt(k)表示目标t的量测预测, H(k)表示其观测矩阵。W2t(k)是零均值高斯量测噪声，其协方差矩阵为R(k)，且量测噪声与过程噪声不相关。
在杂波环境中, 假设k时刻落入跟踪门的有效量测数为mk, Z(k)表示时刻落入目标跟踪门内的有效量测集合, 
熵在信息论理论中表示对事件不确定性的一种度量。不确定性越小, 熵值越小, 得到的信息量越小; 反之信息量越大, 不确定性越大, 熵值也越大。熵的定义如(3) 式所示
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(3) |
式中，pi表示事件i发生的概率。利用最大熵原理则可以得到不确定性最大值的概率分布, 在给定的约束条件下使信息熵达到极大值, 其对应的一组概率分布出现的概率占绝对优势。利用最大信息熵原理求“最佳”的概率分布, 即相当于求解条件极值问题。通常此类问题通过构造拉格朗日函数来求解。
2.2 最大熵模糊聚类在多目标跟踪中的应用为了将最大熵模糊聚类原理应用于多目标跟踪中, 假设k时刻跟踪目标数目为N, 目标的有效量测集合
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(4) |
其中隶属度ujt表示量测数据zj属于聚类中心ct的概率, d(zj, ct)为量测数据zj与聚类中心ct之间的距离, 并且隶属度ujt服从条件
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(5) |
最大化目标函数J(U, C)可得点zj和ct之间的隶属度可表示为
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(6) |
αj和λj为拉格朗日乘子。通过调整αj, 可以修改量测数据zj与最近聚类中心ct及其他类中心的隶属度值。在目标跟踪系统中, 离目标预测位越近的量测其关联概率应该越大; 杂波密度越大, 丢失目标的概率也就越大。因此, 在杂波密度较小的环境中, αj应较大; 反之, 杂波密度较高, αj应较小。即αj值应与杂波密度λ的大小成反比, 由此αj可以定义为:αj=
利用最大熵模糊聚类算法, 得到了量测与目标之间的隶属度矩阵。由于隶属度矩阵并未对公共量测进行分析, 故而针对隶属度矩阵需要重新构造互联概率矩阵, 在此引入影响因子对公共量测的关联概率进行优化以精确实现多目标的状态估计。MEF-JPDA算法实现描述如下:
步骤1 设置椭圆跟踪门, 构造确认矩阵Ω=[ωjt], 式中ωjt表示量测j(j=1, 2, …mk)是否源于目标t(t=1…N), ωjt=1表示量测j落入目标t的跟踪门, ωjt=0表示无量测j落入目标t的跟踪门。其定义如(7) 式所示
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(7) |
步骤2 在k时刻, 得到目标的有效量测集合
步骤3 在k时刻, 有效量测j来源于目标t的概率pjt可以看作最大熵模糊聚类中量测j与目标t的预测值之间的隶属度ujt, 同时考虑k时刻没有有效量测j来源于目标t的概率为p0t=λ(1-PdPg), 其中Pd为目标检测概率, Pg为检测门概率。对公共量测进行分析得到影响因子, 利用隶属度矩阵重建互联矩阵。具体如下所述。
1) 在k时刻, 通过确认矩阵Ω确定跟踪门内的公共量测集合Pub_set, 满足(8) 式。
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(8) |
通过确认矩阵Ω确定Pub_set中每一个有效量测可能源于目标的集合Tj, 满足Tj={Tj|∀t, ωjt=1}, zj∈Pub_set。计算经过修正的公共量测对每个目标的影响因子Kjt。
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(9) |
2) 同时考虑拥有公共量测的目标各自跟踪门内的有效量测对Kjt的影响因子Mjt。
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(10) |
其中当
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(11) |
3) 利用影响因子Kjt对pjt进行修正得到Pjt, 归一化后得到互联概率矩阵βjt如(12) 式所示。当zj∈Pub_set, Pjt=Kjtpjt, 否则Pjt=pjt
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(12) |
步骤4 目标状态的估计和预测。
利用得到的互联概率矩阵对有效量测进行加权, 利用卡尔曼滤波算法更新目标的状态。其计算公式同概率数据关联(PDA)[2]算法。该算法不需要拆分确认矩阵, 不需要搜索所有的可行联合事件, 从而避免了对计算量呈指数趋势增长的组合问题。
4 仿真分析为了验证算法的性能, 仿真在直角坐标系二维平面内进行, 检测概率PD=0.9, 门概率PG=0.989, 采用椭圆跟踪门规则, 阈值γ=9.21, 采样间隔T=1 s, 噪声为零均值高斯白噪声, 量测噪声标准差r=100 m, 过程噪声标准差q=0.01 m, 杂波数目服从参数λ=1(每单位面积(km)2)的泊松分布, 在以目标预测值为中心的椭圆域内服从均匀分布。分别进行50次蒙特卡罗仿真, 并对实验结果进行分析。
假设目标做匀速直线运动, 取状态向量X=[x, y, 
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式中，M表示蒙特卡罗仿真次数。
场景1 2个匀速直线平行运动的目标, 初始状态为xA=[100 m 15 m/s 50 m 5 m/s], xB=[100 m 15 m/s 150 m 5 m/s], 目标运行时间50 s。图 1和图 2分别表示不同杂波密度环境中两平行目标跟踪算法的位置均方根误差统计图。
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| 图 1 杂波密度λ=1时两平行目标跟踪位置均方根误差 |
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| 图 2 杂波密度λ=5时两平行目标跟踪位置均方根误差 |
场景2 2个匀速直线交叉运动的目标, 初始状态为xA=[100 m 15 m/s 300 m 0 m/s], xB=[100 m 15 m/s 200 m 5 m/s], 目标运行时间100 s。如图 3和图 4分别表示不同杂波密度环境中两交叉目标跟踪算法的位置均方根误差统计图。
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| 图 3 杂波密度λ=1时两交叉目标跟踪位置均方根误差 |
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| 图 4 杂波密度λ=5时两交叉目标跟踪位置均方根误差 |
如图 1~图 4所示, 不同场景下随着杂波密度的增长, 对不同场景目标跟踪算法的位置均方根误差进行了比较。对于两临近平行目标跟踪而言, 如图 1所示, 当杂波密度λ=1时, 3种算法都可以很好地对目标进行跟踪, 而且其跟踪误差差别相对较小, 但是随着杂波密度的增大, 如图 2所示, 显然MEF-JPDA算法跟踪误差较小, 能更好地实现目标跟踪, 而CJPDA跟踪性能也优于JPDA。因为MEF-JPDA算法通过最大熵模糊聚类数据关联算法得到的隶属度矩阵可以更加精确地反映有效量测与目标之间的关系, 同时通过引入影响因子对公共量测对目标状态估计的影响进行修正, 从而使目标状态估计更加准确, 提高了该算法的目标跟踪性能。对于两交叉目标的仿真如图 3、图 4所示, 我们可以得到类似的结论。仿真结果表明:在密集杂波环境下, MEF-JPDA算法可以更好地实现目标跟踪。
同时对3种算法在不同场景随着杂波密度的增长单次运行时间进行分析与比较, 具体如表 1、表 2所示。本文测试算法的PC机平台是Intel(R) Core(TM) i5-4460, CPU @3.20GHz, RAM 8.0G, MATLAB(R2014b)。
如表 1和表 2所示，随着杂波密度的增大，3种算法单次运行时间都会增大，但是MEF-JPDA和CJPDA的计算量都很小，而JPDA随着杂波密度的增大，落入跟踪门的有效量测增加，会导致算法计算量的爆炸性增长。由于MEF-JPDA和CJPDA算法无需拆分确认矩阵，随着杂波密度的增加，其计算量没有急速增长，从而解决了JPDA计算量爆炸性增长的问题。
5 结论针对杂波环境下联合概率数据关联算法随着目标和回波数目增加而导致算法计算量爆炸性增长的问题，引入了最大熵模糊聚类算法，同时分析了公共量测对目标航迹的影响，引入影响因子修正隶属度矩阵得到互联概率矩阵从而实现多目标状态的估计。仿真结果表明：在实时性方面，该算法和CJPDA耗时相当，但均优于JPDA算法。在目标跟踪性能方面，随着杂波密度的增大，该算法能够更好地实现精确的目标跟踪。该算法是一种新颖有效的快速数据关联算法，对于实现杂波环境下的多目标跟踪具有很好的实用价值。
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