如今弹性体变形的测量方法越来越多，如加速度传感器、激光位移计、GPS(全球定位系统)等。基于加速度传感器的高灵敏度、高信噪比和激光位移计的非接触测量、高可靠性的特性，Takanori Uchiyama和Keita Shinohara将加速度传感器和激光位移计所测结果用于MMGs(mechanomyograms)的系统辨识[1]；Asei Tezuka将激光位移计用于低速流动下薄膜的振动，从而获得物体表面压力的测量[2]；Ivan Godler等人发展了一种旋转式加速度传感器，扩大了测量范围，并将其用于伺服控制系统的加速度测量[3]；上述应用均取得了比较好的效果，但是受加速度传感器本身质量和激光位移计测量范围的限制，如在远距离测量轻柔物体的变形时，这2种方法将不再适用。Ding Xiaoli等人用具有全天候、高效率、多功能的多天线GPS系统监测地球上斜坡和大型结构的变形运动，取得了较好的结果[4]；但由于GPS对地面小物体小变形的监测精度不够，限制了其在小型试验中的应用。
位移测量是结构试验的中的重要环节，传统的位移测量方法只能测量结构的局部变形，若要获得结构的分布式位移，则需要多次重复性试验，增加了试验花费的同时又降低了传感器的可靠性、稳定性。随着科学技术和测量方法的不断进步，新的分布式位移和变形的测量方法层出不穷，如工具式表面位移传感器，分布式光纤传感器及DIC(数字图像相关法)测量系统等。工具式表面位移传感器的设计中采用弹性元件线切割加工成型，并经热处理形成高精度、自补偿传感器。其用金属粘贴式电阻位移计作为变换敏感元件，经过严格的粘贴、加压、加温固化、多层防潮密封处理，最后接线组成全桥电路。该传感器具有灵敏度高、制造简单、安装方便、可重复使用等优点，改善了结构试验的测试条件，提高了工作效率。但是该传感器需要粘贴在结构的整个表面才能测量分布式位移，对于对表面形状和光洁度要求较高的机翼和翼型的风洞试验等流体力学试验中，工具式表面位移传感器将难以胜任。分布式光纤传感器充分利用光纤作为数据采集和传输手段，具有抗电磁干扰、防水、防潮、耐高温、抗腐蚀等特点，容易实现长距离、分布式监测；同时光纤传感器体积小、重量轻，便于安装，又具有较高的测量精度和稳定性，有助于提高测量的成功率。但是分布式光纤传感器加工难度高，价格昂贵，目前多用于健康监测领域。DIC是一种结合计算机视觉原理对物体变形进行测量的光学测量方法，具有非接触、精度高、可全场测量等优点[5]，V R Baraniello等人研究了利用DIC技术测量大柔性无人机的结构变形，并进行了数值仿真验证[6]；J T Hammer等人将3D-DIC技术用于动态冲压机位移的测量[7]，并将所测位移与分离式霍普金森杆所测结果进行比较，获得了较高的精度；M D Lichter等人提出了利用远距离DIC技术结合无迹卡尔曼滤波实时监测大柔性空间太阳能电站结构结构变形的概念[8]；但由于该方法在实际应用中受真实环境的限制比较大，比如在测量飞机机翼或直升机桨叶等运动物体的位移时相机将无法安装，使其难以向这些工程应用方面推广。
应变法是基于金属的应变效应，将结构的变形转换为电阻的变化，主要应用于力、压力、扭矩、加速度和温度等的测量。Carlo Menon等人将应变传感器用于航天器的健康监测和控制系统的响应信号反馈中[9]；Yi Lizhi等人将传统应变片改进为纳米基应变片，扩大了频率测量范围，并将其用于声学振动中快速动态响应的监测[10]；宋彦君根据梁的弹性变形原理推导了一维梁的位移和应变之间的关系，并将其用于梁式桥的位移响应测量[11]；20世纪90年代清华大学李德葆等人用应变片直接测量结构的应变频响函数，并用曲线拟合的方法获得应变模态和模态参数[12]。将应变片直接用于结构分布式位移的测量却很少有人进行相关研究。
考虑到上述各种方法在分布式位移测量中的不足及在某些实际应用中的限制，本文采用了电阻应变片进行分布式位移的测量。基本原理是结构任一点的位移可由部分点的应变通过线性叠加和相关转换获得，故可将应变片测得少数点的应变值转换到所需监测点的位移值，进而实现弹性体分布式位移的测量。
1 基本原理及公式推导如图 1所示一维梁模型，一端固支，一端施加力F, 梁全长为L, 宽和高分别为b和h, 图中1和2处各贴一个应变片, 距离固支端分别为x1和x2, p为自由端一点。
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| 图 1 受集中载荷的一维梁 |
根据材料力学[13]中梁的挠曲线方程
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(1) |
式中, E为弹性模量, I为惯性矩, 
在自由端处, 挠度最大, 为
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(2) |
对梁进行静力分析可知, 固支端受力F和力矩M的作用, 且M=Fl。
由应变与力矩的关系, 可得
在应变片1处
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(3) |
在应变片2处
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(4) |
式中, ε1和ε2分别为1处和2处应变片所测得的应变值。W为抗弯截面模量, 对矩形截面, 
联立(3) 式和(4) 式可得
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(5) |
将(5) 式代入(2) 式有
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(6) |
上式即为在自由端施加集中载荷, 最大挠度点处位移与图中1、2点处应变的对应关系。同理, 可推导出在任一点施加载荷, 任一点的位移与应变的关系
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(7) |
说明可由测得的应变计算出任一点的位移。
根据有限元理论[14], 单元的结点位移δ和应变列阵ε具有如下关系
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(8) |
式中，B为几何矩阵。
对于薄板模型, 位移分量u、v可用挠度w表示, 即
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(9) |
式中, 挠度w只是x, y的函数。将上式对z积分, 即得
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(10) |
由于薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移, 即f1(x, y)=f2(x, y)=0。所以位移分量可表示为
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(11) |
写为矩阵形式, 即
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(12) |
式中, 
对于多个点的挠度和应变, 结合(8) 式, 上式可写为如下矩阵形式
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(13) |
式中, T=BD, 为由位移到应变的转换矩阵。
对(13) 式求逆, 可将位移由应变表示, 写为矩阵形式, 即
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(14) |
式中，K=T-1, 为由应变转换到位移的转换(系数)矩阵。
2 算例分析及验证为了验证本文所提出的分布式位移测量方法的正确性, 分别进行了板模型的静态、动态位移计算分析和动态试验验证。
2.1 板模型的静态计算分析图 2为板的静态计算模型, 板的尺寸为200 mm×100 mm×1 mm, 共划分800个网格单元。图中给出了边界条件及载荷作用点、位移和应变监测点的位置。
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| 图 2 板的静态计算模型 |
计算时, 每次在不同的载荷作用点施加不同大小的载荷。提取位移监测点1(也可取位移监测点2或3) 的z向位移组成位移矩阵; 提取应变监测点的x及y向应变组成应变矩阵; 利用最小二乘方法即可求出系数矩阵K。
任意选取板上的一点施加载荷, 由已求得的系数矩阵和该载荷作用下的应变即可反算出该状态下位移监测点1的位移(记作反算位移), 将其与软件直接计算所得位移(理论位移)进行比较, 结果如表 1。
| 序号 | 理论位移/m | 反算位移/m | 误差/% |
| 1 | 6.703 43×10-3 | 6.684 66×10-3 | 0.28 |
| 2 | 1.285 27×10-2 | 1.275 89×10-3 | 0.73 |
| 3 | 1.454 77×10-2 | 1.446 04×10-2 | 0.06 |
为了验证更一般的情况, 取多个点同时施加不同大小的载荷, 反算该状态下位移监测点的位移, 并与该状态下的理论位移进行对比, 如表 2所示。
| 序号 | 理论位移/m | 反算位移/m | 误差/% |
| 4 | 1.338 227×10-3 | 1.371 72×10-3 | 2.50 |
| 5 | 5.512 746×10-3 | 5.451 35×10-3 | 1.11 |
| 6 | -5.060 214×10-4 | -0. 495 110×10-4 | 2.16 |
由表 1和表 2的对比结果知，板模型在施加静态载荷时，位移监测点的反算位移和理论位移非常接近，验证了该方法在静态计算中的正确性和适用性。
2.2 板模型的动态计算分析如图 3为板的动态计算模型，在图中的载荷作用点同时施加不同大小和方向的2个动态载荷，其随时间变化关系如图 4和图 5所示。
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| 图 3 板的动态计算模型 |
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| 图 4 载荷作用点a的动态载荷 |
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| 图 5 载荷作用点b的动态载荷 |
利用静态计算中得到的系数矩阵和动态计算得到的应变矩阵反算位移监测点的位移，并将其与理论值进行比较，如图 6为位移监测点1的结果。
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| 图 6 位移监测点1的动态对比 |
由位移监测点的动态对比图可知，板模型在动态载荷作用下，位移监测点的反算位移依然非常接近于理论值。进一步验证了该方法在动态计算中的正确性和适用性。
2.3 板模型的试验验证图 7为试验装置示意图，本试验采用m+p振动测试系统和电阻应变片进行应变测量，利用DIC测量系统进行全场位移测量。试验模型为120 mm×80 mm×1 mm的铝板，模型一端固支。为了尽可能提高应变采集数据的信噪比，取靠近模型根部的位置作为应变测量点，因此本试验在固支端附近粘贴3个应变花(每个应变花可测x和y方向的应变)采集应变。首先进行一组静态试验，在不同点施加大小和方向均不相同的载荷，使模型发生不同程度的变形，采集3个应变监测点的应变值和模型的全场位移，获取转换系数矩阵。随后，对模型施加任意脉冲激励，利用应变采集仪和DIC测量系统同时分别采集应变监测点的应变值和全场位移值。最后，将采集的应变值利用转换系数矩阵计算出的位移值与DIC测量系统获得的位移值进行比较。图 8为所选部分点的对比结果。
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| 图 7 试验装置示意图 |
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| 图 8 部分点的应变计算位移与DIC测量位移对比 |
结果表明：在板的线性变化范围内，应变片所测得的位移与DIC测量系统的实测位移吻合较好。由于应变片本身具有高精度、高灵敏度、自身重量轻、体积小、价格便宜、安装方便等优点，将其用于全场位移测量，既能保证试验过程及结果同样具有较高的精度，又能极大地提高试验测量效率(既可以获得分布式位移响应，又能获得应变监测点的应力-应变特性)，同时该测量方法受测量环境和试验条件限制较小，具有巨大的工程应用价值。
3 结论1) 通过对一维梁模型及薄板模型的挠度与应变关系的推导，获得结构在振动时的应变与位移的转换关系，即任一点的位移可由部分点的应变叠加获得。
2) 对板模型进行了静态和动态计算分析及动态试验验证，所得结果均与理论值非常接近，充分验证了该方法在计算和试验中的正确性和适用性。
3) 通过地面静态载荷试验，可得到位移与应变的转换系数矩阵，该矩阵可直接用于动态载荷或不确定载荷试验，由测得的应变响应即能获得所需位置的位移响应，从而实现分布式位移测量。
4) 通过该方法进行弹性体分布式位移测量的同时，又能获得结构在变形过程中的力和力矩特性。即可通过一次试验，利用一种传感器同时获得两组不同物理量的实验结果，可明显地减少试验时间，提高试验效率。
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