迭代学习控制^[1](iterative learning control, 简称ILC) 是人工智能与自动控制相结合的学习控制技术, 它是一种无模型控制, 不需要具体的模型参数, 只需利用自身重复性的特性, 进行足够多次的学习, 便可使被控对象完全跟踪理想输出。正是由于这一特性, 迭代学习控制自提出以来就受到国内外众多学者的青睐, 涌现出大量的研究成果, 这些成果主要是在整数阶系统下研究的。但现实世界中的动态系统主要是分数阶的, 与整数阶模型相比, 分数阶模型能够更加准确地描述动态系统。因此, 将迭代学习控制应用于分数阶系统逐渐成为一个新的研究热点^[2-9]。

2001年, 文献[2]首次提出D^α-型迭代学习控制律, 并得到其在频域中的收敛条件, 推广了迭代学习控制的应用范围。在时域内, 文献[3-5]分别针对分数阶线性系统、非线性系统在理论上严格分析了P-型迭代学习控制律的收敛性, 并获得了所对应的收敛条件。文献[6]针对分数阶线性时不变系统, 给出了PD^α-型迭代学习控制律收敛的充分条件。文献[7-8]研究了分数阶非线性系统PD^α-型迭代学习控制律的收敛性问题。考虑到反馈控制的优点, 在文献[6]的基础上, 文献[9]将PD^α-型迭代学习控制律拓展到更一般的开闭环PD^α-型迭代学习控制律, 并给出了控制律收敛的充分条件。

以上研究分数阶迭代学习控制的文献是在λ-范数意义下对跟踪误差进行度量。在某种程度上, λ-范数不能对跟踪误差的本质特征客观地量化描述^[10-11]。相关文献[12-13]研究发现, 当选取比较大的参数λ时, 虽然在理论上能保证学习律的单调收敛, 但在系统的重复运行过程中, 它的暂态跟踪误差的上确界值不在实际工程的误差容许范围内, 从而导致系统崩溃。为了使系统的收敛性不依赖参数λ的选取, 而主要取决于系统本身的动力学特性以及学习增益^[14], 针对一类分数阶线性时不变系统, 本文选取Lebesgue-p范数作为迭代学习控制收敛性的分析工具, 利用卷积的推广Young不等式对具有反馈信息的PD^α-型迭代学习控制律的收敛条件进行了严格的数学证明, 并通过数值算例进行仿真实验。仿真结果对理论的正确性和有效性进行了验证。

1 预备数学知识

本节给出文中所需的数学知识。

定义1  对于连续向量函数f:[0, T]→Rⁿ, f(t)=[f¹(t), f²(t), …, fⁿ(t)]^T, λ为一正实数, 则函数f的λ-范数表示为

函数f的上确界范数和Lebesgue-p范数分别为

特别地, →∞‖f(·)‖_p=‖f(·)‖_∞=‖f(·)‖_sup。

通过上式可以得出, 上确界范数‖f(·)‖_sup是Lebesgue-p范数的特例。

定义2  设函数g、h在A⊂R上可积, 对于任意的t∈A, 若积分

都存在, 则称g*h为函数g和h的卷积。

引理1^[14]  对于勒贝格可积函数g(t)∈L^q和h(t)∈L^p, t∈[0, T], 其对应的卷积的广义Young不等式为

1≤p, q, r≤∞, 。特别地, 当r=p时, 不等式转化为

定义3^[15]  (分数阶微积分) 分数阶的统一积分公式定义为

式中, f(t) 是任意可积函数, _t0D_t^-α f(t) 表示f(t) 在区间[t₀, t]上的α(α>0) 次分数阶积分, 且Γ(α)=为Gamma函数。

对任意正实数α, Riemann-Liouville和Caputo的分数阶导数分别定义为

式中, [α]表示α的整数部分, ^RLD和^CD分别表示Riemann-Liouville和Caputo的分数阶导数。

定义4^[16]  双参数的Mittag-Leffler函数在分数阶微积分中起着十分重要的作用, 其定义为

特别地, 当β=1时, 单参数的Mittag-Leffler函数的定义为

引理2^[17]  初值问题

的解为

2 问题描述及分析

对于分数阶线性时不变系统

(1)

式中, t∈[0, T], α∈(0, 1), (·)^α表示α阶Caputo导数, 初始状态为x(0), 状态向量x(t)、系统的控制输入u(t) 和系统输出y(t) 分别是n×1、p×1和m×1的列向量, A、B、C分别是n×n、n×p和m×n的常数矩阵。

为了证明方便, 给出文中算法的合理假设:

假设1   系统 (1) 在区间[0, T]上多次重复运行时的初始状态可重置, 且给定区间[0, T]上可微的理想输出y_d(t)(t∈[0, T]), 存在唯一理想控制输入u_d(t), 使得系统的状态和输出为理想值x_d(t) 和y_d(t)。

假设2  CB为满秩矩阵。

设u₁(t)(t∈[0, T]) 为一任意值, 为初次输入的控制输入。在上一次的跟踪误差和跟踪误差的α阶导数的基础上, 考虑其当前次跟踪误差及跟踪误差的α阶导数来修正当前次的控制输入, 即具有反馈信息的PD^α-型迭代控制律, 其表达式如下

(2)

式中, Γ_p1和Γ_d1分别为比例和微分学习增益矩阵, Γ_p2和Γ_d2分别为比例和微分反馈增益矩阵; e_k(t)=y_d(t)-y_k(t) 表示第k次迭代系统的跟踪误差, y_k(t) 表示第k次迭代的系统输出。

当Γ_p2=Γ_d2=0时, 控制律 (2) 退化为典型的PD^α-型控制律, 其表达式如下

(3)

当系统 (1) 中的控制输入由控制律 (2) 替换时, 对应的系统变为

(4)

定理   设分数阶系统 (1) 满足假设1、2, 当控制律 (2) 作用于系统 (1) 时, 如果学习增益矩阵Γ_p1、Γ_d1和反馈增益矩阵Γ_p2、Γ_d2以及系统矩阵A、B、C满足下列条件:

1) ρ₂>0,

2) ρ₂ρ₁ < 1,

式中

则在Lebesgue-p范数意义下, 当迭代次数k→∞时, 跟踪误差单调趋向于零, 即

且y_k(t)=y_d(t), t∈[0, T]。

证明   设

(5)

(6)

由 (4) 式可得

(7)

因此

(8)

由 (2) 式可得

(9)

将 (8) 式代入 (9) 式, 整理得

(10)

对 (10) 式两边同时取Lebesgue-p范数, 可得

(11)

根据引理2, 由 (4) 式可得

(12)

根据假设1, 可得

(13)

对 (13) 式两边同时取Lebesgue-p范数, 并运用卷积的推广Young不等式, 可得

(14)

同理, 可得

(15)

将 (14)、(15) 式代入 (11) 式, 并由条件1)、2), 整理得

(16)

所以

由 (13) 式, 可得

(17)

对 (17) 式两边同时取Lebesgue-p范数, 并运用卷积的推广Young不等式, 可得

(18)

又因为Δu_k+1(·)‖_p=0所以

(19)

这说明, 在Lebesgue-p范数意义下, 当迭代次数k→∞时, 跟踪误差单调趋向于零。

所以

当Γ_p2=Γ_d2=0时, 控制律 (2) 退化为典型的PD^α-型控制律 (3), 当控制律 (3) 作用于分数阶系统 (1) 时, 可得到如下结论:

推论   设分数阶系统 (1) 满足假设1、2, 当控制律 (3) 作用于系统 (1) 时, 如果学习增益矩阵Γ_p1、Γ_d1以及系统矩阵A、B、C满足下列条件:

式中

则在Lebesgue-p范数意义下, 当迭代次数k→∞时, 跟踪误差单调趋向于零, 即

且y_k(t)=y_d(t), t∈[0, T]。

注1   从控制律 (2) 的收敛条件可知, 在Lebesgue-p范数意义下, 控制律的收敛性不仅取决于控制律的学习增益, 而且依赖于系统本身的属性。

注2   相对于文献[9]中λ-范数意义下的收敛条件ρ^*=(‖I+Γ_d2CB‖)^-1‖I-Γ_d1CB‖ < 1, 本文提出的控制律的收敛条件比较保守, 但控制律的收敛性分析和误差度量不依赖参数λ的取值。

注3   从收敛性分析中可知, ρ₂ρ₁的大小决定了控制律 (2) 收敛速度的快慢, 即ρ₂ρ₁的值越小, 控制律 (2) 的收敛速度越快。由定理和推论的收敛条件可知, 当ρ₁ < 1且ρ₂ < 1时, 有ρ₂ρ₁ < ρ₁ < 1, 这表明, 控制律 (2) 拥有比控制律 (3) 更快的收敛速度。

3 数值仿真

考虑如下分数阶线性时不变系统

式中, 系统的运行区间为[0,1]。

给定理想输出y_d(t)=12t²(1-t), 初始控制输入u₁(t)=0, t∈[0,1]。在迭代学习控制律 (2) 中选取α=0.9, Γ_p1=0.9, Γ_d1=1.9, Γ_p2=0.3, Γ_d2=1。可以算出ρ₁=0.7836 < 1, ρ₂=0.8945 < 1, 且ρ₂ρ₁ < ρ₁ < 1, 满足定理的收敛条件。图 1所示为控制律 (2) 作用于分数阶系统时跟踪误差的变化趋势, 可以看出, 在Lebesgue-2范数和上确界范数的意义下, 随着迭代次数的增加, 两者跟踪误差都单调趋向于零。

在上述条件下, 控制律 (2)、(3) 分别作用于分数阶系统时跟踪误差如图 2所示。从图中的误差曲线可以看出, 在Lebesgue-2范数的意义下, 控制律 (2)、(3) 的跟踪误差随着迭代次数增加, 两者都单调趋向于零; 且ρ₂ρ₁ < ρ₁ < 1时, 控制律 (2) 迭代7次便可达到误差范围 (0.0077), 而典型的PD^α-型控制律 (3) 需要10次迭代才能达到上述效果, 即控制律 (2) 拥有比控制律 (3) 更快的收敛速度, 同理论结果相符。

4 结论

针对一类分数阶线性时不变系统, 本文选取Lebesgue-p范数作为迭代学习控制收敛性的分析工具, 利用卷积的推广Young不等式对具有反馈信息的PD^α-型分数阶迭代学习控制律单调收敛性进行了严格理论分析, 并获得其单调收敛的充分条件。仿真结果表明, 相比典型的PD^α-型控制律, 选取适当的反馈增益后, 具有反馈信息的PD^α-型分数阶迭代学习控制律拥有更快的收敛速度。基于本文的研究方法, 可推广到研究分数阶非线性系统的收敛性及收敛速度等。