单星定位具有成本低、质量轻、体积小和研发周期短等优势, 在星座导航无法使用的极端情况下, 单星定位可以有效弥补星座导航的不足, 实现对定位目标的定位。因此, 单星定位研究具有重要意义, 这也是当前导航领域的热点问题。但当目标处于高动态条件下时, 单星定位存在定位精度随动态性增加而下降的问题。目前, 单星定位的主要方法有:文献[1]提出了一种测频单星定位方法, 该方法通过卫星发射信号的测频信息构建多个定位辐射面从而实现单星定位, 但是定位误差会随定位辐射面的扩大而迅速增加; 文献[2]提出了一种测角测距单星定位方法, 该方法利用距离和角度结合用户终端速度辅助实现目标位置解算, 但是对卫星的有效载荷复杂度有较高的要求; 文献[3]提出了一种基于伪距辅助的径向加速度单星定位方法, 该方法根据运动学原理得到地面静止辐射源相对卫星的径向加速度从而实现定位, 但由于径向加速度的精度较低会导致定位精度较差; 文献[4-5]提出了基于多普勒测量的单星定位方法, 该方法利用双曲面和定位目标高程信息实现定位, 其对卫星有效载荷较低, 但是只适合定位静止目标; 文献[6]提出了一种伪距率辅助的单星定位算法, 该方法基于积分多普勒测量的单星定位方法进行了改进, 定位精度更高, 但依旧没有解决对动态目标定位存在较大误差的问题; 文献[7]提出了一种积分多普勒测量的单星定位方法, 该方法具有提高通道特性容错率的特性, 但无法有效地解决高动态下的目标定位。因此, 基于定位目标具有高动态特性单星定位方法的不足, 本文提出了一种惯导辅助下的高动态单星定位方法, 该方法利用惯导系统计算高动态下定位目标的坐标偏移, 可提高动态条件下利用积分多普勒测量进行单星定位时的精度; 其次, 结合单星定位中积分多普勒测量值得到的伪距与惯导推算得到的伪距做伪距差, 通过卡尔曼融合滤波可提高定位精度维持的性能。
1 系统模型本文利用惯性导航辅助的单星定位方法对高动态目标进行定位, 系统结构如图 1所示。
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| 图 1 惯导辅助下的单星定位算法系统图 |
在图 1中, Ri表示为第i个时刻的卫星和定位目标之间的伪距, Δxi、Δyi、Δzi分别表示在第i个时刻和第i+1时刻下, 定位目标在地心地固坐标系 (earth-centered earth-fixed, ECEF) 中的x轴、y轴、z轴的坐标变化量。
现有的全球卫星导航系统至少需要4颗卫星提供伪距才可实现目标的定位[8-9], 但在单星定位系统中, 由于缺少卫星无法同时得到4个有效伪距。因此, 本文设计了一种时间换空间的方法, 利用定位卫星3个不同时刻的伪距以及高程辅助信息来实现对动态定位目标的位置解算。首先利用最小二乘法得到定位目标的初始位置, 其次, 通过单星定位系统中的积分多普勒测量值和定位目标自身惯导系统结合卫星星历推算得到的伪距, 利用融合滤波方法进行滤波计算, 从而得到更加平滑、准确的定位信息。
2 惯导辅助下的单星高动态定位算法利用定位目标得到3个时刻的伪距值, 列出如下3个等式:
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(1) |
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(2) |
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(3) |
式中, Ri表示第i个时刻卫星和定位目标之间的伪距, Xi、Yi、Zi表示卫星在地心地固坐标系ECEF (之后的坐标全在此坐标系下) 中第i个时刻的坐标, 该值可通过单星定位系统的星历得到, xi、yi、zi表示定位目标在第i个时刻的坐标, δtu为接收机钟差。
利用气压高度计得到第i+1时刻定位目标的高程信息, 并利用该高程信息构建方程
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(4) |
(1)~(4) 式4个方程组中4个方程式10个未知数而无法求解, 利用惯导系统得到定位目标第i时刻到第i+1、i+2时刻的坐标变化量如下所示
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(5) |
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(6) |
式中, Δxi、Δyi和Δzi、Δxi+1、Δyi+1及Δzi+1分别表示惯导模块在第i时刻和第i+1时刻以及第i+1时刻和第i+2时刻之间定位目标在x轴、y轴和z轴上的相对位移, 分别将 (5) 式、(6) 式代入 (2) 式、(3) 式中得到 (7) 式、(8) 式, 如下所示
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(7) |
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(8) |
这样减少了6个未知数, 联立 (2) 式、(4) 式、(7) 式、(8) 式利用最小二乘法[10]进行求解。
用k代表当前历元正在进行的牛顿迭代次数, 即k-1为当前历元已经完成的迭代次数。将4个非线性方程在第k-1次迭代结果[χi+2, k-1, δtu, k-1]T处进行泰勒展开 (χi+2表示定位目标在时刻在ECEF中位置坐标), 并略去高阶项后使之线性化, 可以得到其线性化后的矩阵方程式为
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(9) |
式中
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(10) |
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(11) |
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(12) |
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(13) |
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(14) |
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(15) |
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(16) |
为了使 (9) 式左边的伪距估计值和右边的伪距测量值之差的平方和最小, 求得Δx如下所示
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(17) |
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(18) |
在Δx的长度‖Δx‖满足一定精度后停止迭代, 得到第i+1时刻定位目标的三维坐标。将最小二乘法得到的位置作为目标的初始位置, 并结合卡尔曼滤波算法实时的得出导航结果[11-12]。
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(19) |
式中, X为状态变量, F为动态矩阵, W为系统过程噪声。将F离散化后得到离散化的状态转移矩阵, 选取采样间隔较小时, F可以认为是非时变的。
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(20) |
选取系统的状态变量为
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(21) |
式中, δRx、δRy、δRz与δVx、δVy、δVz分别为地心地固中的3个坐标系方向上运动目标的位置偏差和速度偏差。所以动态矩阵表达式为
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(22) |
离散化后的状态转移矩阵为 (Δt为采样间隔)
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(23) |
选取惯导系统推算的伪距与单星测量得到的伪距之间的伪距差作为量测量
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(24) |
式中，Ri, INS、Ri+1, INS、Ri+2, INS、hi+1, INS分别为利用惯导系统以及卫星星历信息推算得到的伪距值。
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(25) |
ex、ey、ez分别为接收机的单位观测矢量, 以第i时刻的为例, 公式如下所示：
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(26) |
量测方程为:
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(27) |
V为系统测量噪声。卡尔曼滤波算法包含预测和校正两部分, m表示当前正在进行的卡尔曼滤波历元, m-1表示上一个卡尔曼滤波历元, 上标“^”表示为估计值, 右上标"-"表示先验值。预测部分利用上一 (m-1) 历元的状态估计值来预测当前 (m) 历元的状态值的估计值并作为先验估计值, 用均方误差阵来衡量所估计值的可靠性[15]。
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(28) |
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(30) |
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(31) |
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(32) |
Km为滤波增益系数矩阵, 
在静态仿真分析中, 远地点为36 000 km, 近地点为300 km, 回归周期为24 h的大椭圆轨道, 在远地点区域为定位目标提供定位。该系统比低轨单星定位系统服务时长提高5~10倍, 由于大椭圆轨道可快速通过非服务区, 与常用高轨单星定位系统相比, 可提高单星服务时间比。卫星定轨误差为0, 卫星测距误差范围为0~1 km, 定位目标为静止状态下, 比较本文所提的惯导辅助下的单星定位方法与多普勒单星定位法、伪距率辅助的单星定位法在不同卫星测距误差下的定位结果对比图如图 2所示。
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| 图 2 卫星测距误差对定位误差的影响 |
从图 2中可以看出, 本文的惯导辅助下的单星定位算法在相同卫星测距误差下定位误差要远远小于多普勒单星定位方法和伪距率辅助的单星定位方法的定位误差。当卫星定位误差为0.1 km时, 多普勒单星定位方法的定位误差为910 m, 伪距率辅助的单星定位方法为495 m, 本文所提方法的定位误差为12 m。在相同的卫星测距误差下要好于其他2种方法的定位性能, 主要是由于本文所提方法采用的是伪距差来作为卡尔曼滤波的量测量, 可以在一定程度上抵消电离层、钟差等导致的卫星测距误差对定位误差的影响, 从而提高了定位精度。
在动态仿真中, 卫星轨道参数与静态仿真中相同, 卫星定轨误差为10 m, 定位目标的东向速度和北向速度为10 m/s, 天向速度为0 m/s, 多普勒积分测量的误差为0.1 m, 气压高度计测量误差为1 m, 初始各方向位置误差为 (400, 0, 0) m, 惯导系统的初始姿态误差为 (10″, 10″, 10′), 陀螺仪零偏为0.01°/h, 陀螺仪随机游走为0.001°/
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| 图 3 10 m/s时不同单星定位方法对比图 |
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| 图 4 10 m/s时速度辅助惯导的单星定位结果 |
由图 3中可得, 多普勒单星定位算法和伪距率辅助的单星定位算法的定位误差随时间的增加呈指数性增长, 当运行时间为300 s时, 定位误差分别达到4.7 km和4.4 km, 无法完成有效定位, 而本文提出算法在运行时间为300 s时, 定位误差小于0.1 km, 为定位目标提供有效的定位信息, 其中东、北、天定位误差分别为-0.043 2 km、-0.015 7 km、0.003 8 km, 在本文所提出方法中, 定位目标利用气压高度计获取高程信息, 故高程有所限制, 所以高程误差较小。此外, 本文所提出方法采取了卡尔曼来进行滤波求解, 故定位结果平滑收敛, 具有较高的稳定度。多普勒单星定位算法和伪距率辅助的单星定位算法主要针对静态定位, 当定位目标处于动态环境中时会差生较大误差, 而本文提出的惯导辅助下的单星定位方法则可以实现高动态下的目标定位, 并有较高的精度维持性能。
在定位目标的速度为东向和北向为100 m/s, 天向为0 m/s, 其他仿真条件保持不变, 得到定位结果如图 5所示; 东北天各分量误差仿真如图 6所示。
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| 图 5 10 m/s时不同单星定位方法对比图 |
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| 图 6 100 m/s时速度辅助惯导的单星定位结果 |
由图 5中也可以看出, 在定位目标的运行速度为100 m/s时, 300 s后多普勒单星定位算法和伪距率辅助的单星定位算法产生较大的定位误差, 分别达到49 km和38 km, 而本文所提算法的定位误差不到1 km, 其中东、北、天定位误差分别为-0.287 4 km、-0.189 7 km、0.006 7 km。通过对比图 3和图 5可以得到, 定位目标处于相同的动态运动条件下时, 本文所提出的方法的定位误差增量要远小于其他2种方法, 可以相对有效地实现高动态下的高稳定度单星定位。
4 结论针对现有单星定位系统对高动态定位目标定位误差较大的问题, 本文提出了一种惯导辅助的单星定位方法, 通过惯导辅助有效补偿定位目标位移所造成的误差。本文在定位目标不同速度下对所提出的方法、多普勒单星定位算法和伪距率辅助的单星定位算法进行了仿真和比较分析, 在定位目标速度为10 m/s时, 定位误差仅为0.1 km, 在目标速度为100 m/s, 其他仿真条件保持不变的情况下, 本文所提出的方法在系统运行300 s后定位误差仅为不足1 km, 并且不会出现其他2种算法由于定位目标的高动态性造成定位误差急剧增大的现象, 定位精度远优于其他2种单星定位方法, 在一定程度上验证了本文所提出的方法, 说明该方法可以实现高动态下的单星高稳定性定位, 具有一定的实际应用价值。
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