全球定位系统(GPS)的精密应用受到日益复杂的电磁环境及各类卫星导航干扰技术的挑战。各类干扰对GPS接收机的精度、可用性、完好性构成严重威胁。空时自适应滤波(STAP)抗干扰技术可以抑制多种干扰，但在实际应用中阵列误差将导致空时滤波算法性能急剧下降。另外，由于天线接收平台的运动、干扰位置的快速变化等原因，导致假定的方向矢量和实际的方向矢量不能完全匹配，使阵列输出的信干噪比(SINR)降低。
文献[1-2]提出的对角加载法(diagonal loading，DL)是一种有效提高空时滤波鲁棒性的方法，缺点是最优对角载入因子难以确定；文献[3]提出的协方差矩阵锐化方法(covariance matrix taper, CMT)通过加宽零陷来降低阵列误差，但锐化因子需要靠经验取值；文献[4-5]利用子空间投影法修正方向矢量，但是这类算法在低信噪比环境下性能较差；文献[6]提出矩阵重构的宽带鲁棒波束形成算法，物理实现简单，但并不能消除方向矢量误差。
针对上述问题，本文提出一种基于凸优化的GPS抗干扰方法。先利用Capon空间谱估计方法重构干扰加噪声协方差矩阵，根据凸优化方程估计出实际的期望信号的方向矢量，然后计算最优空时权值，得到稳健的空时抗干扰算法。
1 空时抗干扰模型 1.1 信号模型空时自适应滤波结构如图 1所示。
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| 图 1 空时滤波器结构图 |
从每个阵元通道看，各级延时构成FIR滤波，可以在时域上除去干扰；从相同的时间延迟节点看，不同的阵元构成了空域的自适应滤波，可以分辨空间干扰源，形成空域零陷抑制空域干扰。
图 1中天线阵元数为M，时间延迟单元数为N。{wmn}为空时二维权系数。用MN×1维矢量W表示处理器的权矢量W=[w11, w21…wM1, w12, w22…wM2…w1N, w2N…wMN]TR=E (XXH)为接收数据协方差矩阵, 其中X为MN×1维接收数据向量。
X=[x11, x21…xM1, x12, x22…xM2…x1N, x2N, …, xMN]T该处理器可描述为一个有约束的最优化求解问题。
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(1) |
式中, S表示空时二维方向矢量, S=at⊗as, 其中⊗为克罗奈克积, at为时间矢量, as为空间方向矢量。利用拉格朗日乘子法可推出最优空时处理器的解为
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(2) |
M个阵元的均匀线阵, 阵元间距为d, 期望信号波达方向θ0, 有D-1个干扰源, 波达方向分别为{θ1, θ2, …, θD-1}, 各个信源在基准点的复包络表示为si(t), 则第l个阵元端接收的信号为
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(3) |
式中, λ0为信号的波长, nl(t)为第l个阵元上均值为零、方差为σn2的白噪声。s0(k)为期望信号, s(k)为期望信号向量, i(k)为干扰向量, n(k)为噪声向量。阵列输出为
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(4) |
w为权重向量w=[w1, w2, …, wM]T。
阵列输出的信干噪比定义为
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(5) |
式子，Rs=E{s(k)sH(k)}和Ri+n=E{(i(k)+n(k))(i(k)+n(k))H}分别为阵列期望信号的自相关矩阵以及干扰和噪声的互相关矩阵。
在阵列信号处理中, 为保证期望信号正常接收, 应尽量减弱和抑制干扰信号, 即增大系统的输出信干噪比。在自适应阵列天线系统中, 通过调整权重向量, 可使系统的输出信干噪比达到最优值, 即
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(6) |
σs2为信号功率。(6)式给出了输出信干噪比的上限。
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(7) |
a为期望信号的方向向量, a是真实的期望信号矢量, cos2(a, a, Ri+n-1)计算被矩阵Ri+n-1加权的2个矢量a和a之间的广义角的余弦
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(8) |
式中, 0≤cos2(a, b, C)≤1, 所以阵列输出的信干噪比损失的原因一是假定的方向矢量和实际的方向矢量之间不匹配, 原因二是干扰加噪声协方差矩阵存在误差。
2 提出的算法为了提高算法对方向矢量失配和协方差矩阵误差的稳健性, 本文提出了凸优化的空时抗干扰算法。
Capon空间谱估计
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(9) |
式中，
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(10) |
干扰分量分布在波束旁瓣区间Θi, 期望信号分布在波束主瓣区间Θr内。Θr∪Θi组成了整个空间域, Θr∩Θi=ø。当接收数据中包含期望信号分量时, 自适应滤波器对矢量失配的鲁棒性大大降低。而本文所提出的矩阵重构模块将期望信号分量从协方差矩阵中滤除可以提高鲁棒性。
接着应用下面的凸优化方程, 得到稳健的波束形成解
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(11) |
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(12) |
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(13) |
e⊥代表方向矢量误差对a的正交分量。由(11)~(12)式可以得到期望信号的方向矢量的最优估计, 然后利用公式(13)得到最优估计空时矢量, 代入公式(2)得到最优空时权
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(14) |
仿真实验采用5阵元均匀线性天线，阵元间隔半波长，延时抽头个数N=5。GPS卫星信号载波频率为1 575.42 MHz，C/A码速率1.023 MHz/s，期望卫星信号入射角为105°。噪声为加性高斯白噪声，窄带干扰频率也为1 575.42 MHz，到达角是140°；宽带干扰的到达角为30°，带宽与接收机带宽相同。接收机数据采样频率2.046MHz。用MATLAB软件及CVX工具包对本文的CVX-STAP算法与文献[1]提出的对角加载(DL-STAP)算法、文献[3]提出的锐化矩阵算法(CMT-STAP)进行比较。
3.1 多个干扰条件下抗干扰性能分析仿真中输入信噪比SNR=-20.58 dB, 输入信干噪比SINR为-58.52 dB, 采样数为100, 真实信号入射角为106°。图 2是空频响应三维网线图，图 3是图 2对应的等高线图。从图中可以看出，在30°方向上整个频带内产生了一条较深的零陷带，而在140°方向、窄带干扰对应频点处有一个较深零陷，同时天线阵列的主瓣对准了真实信号位置。说明本文提出的算法对窄带干扰与宽带干扰都具有很好的自适应抗干扰性能。
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| 图 2 空频响应三维网线图 |
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| 图 3 空频响应等高线图 |
由于干扰位置变化或天线接收平台震动，带来期望信号方向的角度偏移误差，导致天线阵抗干扰能力下降。所以本文在失配条件下对不同算法进行性能比较，结果如图 4所示。
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| 图 4 角度偏移信干噪比输出曲线 |
由图 4可见，随着角度偏移量从0°到3°增加时，锐化矩阵算法和对角加载算法的输出信干噪比急剧下降。而本文算法由于采用凸优化对方向矢量进行修正，因此在失配情况下依然有较好的输出信干噪比。
3.3 不同快拍数下算法性能比较由于接收信号的自相关矩阵是不精确的，有限次的采样数据引起采样矩阵误差，所以本文最后从不同快拍数下输出信干噪比对3种算法进行仿真比较，结果如图 5所示。
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| 图 5 不同快拍数下输出信干噪比 |
由图 5可得，随着快拍数增加，采样数据越充分，阵列误差越小，本文所提出的CVX-STAP算法和锐化矩阵算法与对角加载算法的输出信干噪比都在增加。在相同快拍数的情况下，本文算法输出SINR最高。
从上述仿真结果中可以看出，本文提出的基于凸优化的空时抗干扰算法在宽带和窄带干扰位置上生成零陷，可同时抑制窄带和宽带干扰，另外还可以抑制方向矢量误差。
4 结论本文针对矩阵误差和方向矢量失配会引起空时滤波算法性能下降较大的问题，提出了一种基于凸优化的GPS空时自适应滤波抗干扰算法。在快拍数数少、有方向矢量误差的情况下，本文提出的算法修正方向矢量，提高天线阵列输出信干噪比，对窄带干扰和宽带干扰具有更好的抗干扰性能。
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