倾转旋翼飞行器特殊的结构设计使其即具有了直升机的垂直起降能力，同时还拥有固定翼飞机巡航速度大、航程远、载重量大等特点^[1]。QTR(quad tilt rotor)四倾转旋翼无人机是一种结构复杂的被控对象，其姿态控制系统具有强耦合、多输入多输出、非线性等特点，并且系统存在建模误差和外界干扰，这样就对飞行控制系统的设计提出了非常高的要求^[2]。特别在垂直起降阶段，飞行器的姿态控制至关重要，纵观发展已经比较成熟的倾转旋翼机V-22的4次重大事故，都是在垂直起降时姿态失控造成的，所以本文重点研究四倾转旋翼机垂直起降模态下姿态控制。

滑模变结构控制是一种能够实现系统解耦，设计简单，易于实现，鲁棒性强的非线性控制方法，近年来在飞行器控制系统设计中得到了广泛应用^[3-4]。在传统的比例-积分-微分滑模面中由于积分项的存在，滑模面对初始误差的积分易导致调节时间加长和超调，甚至使系统的暂态性能恶化以及系统的不稳定。分数阶微积分理论是传统意义上整数阶微分理论的延伸，利用分数阶微积分算子的记忆与遗传特性，从而扩展了整数阶微积分的描述能力^[5]，近年来，将微积分算子引入传统滑模控制理论中的分数阶滑模控制得到了广泛的研究。文献[6-10]对混沌系统和超混沌系统的同步问题应用分数阶滑模控制做了大量研究；文献[11]以挠性航天器姿态跟踪控制作为研究对象，设计了分数阶滑模控制律，使用Lyapunov理论与分数阶稳定性理论证明了整个系统的稳定性；文献[12]以分数阶滑模控制的稳定性问题作为研究对象，给出了分数阶滑模控制的吸引域稳定的充分条件；文献[13]以永磁电机的位置控制作为研究对象，设计了模糊分数阶滑模控制器，与传统整数阶控制器对比，抖震得到有效控制。

为了滑动模态的有效实现，高为炳^[14]提出了幂次趋近律，但是在消弱抖震和减少收敛时间上，传统的幂次趋近律仍有很大的改进空间，所以，本文在幂次趋近律基础上提出了一种有限时间收敛，具有二阶滑模特性的新型快速趋近律。由于QTR姿态模型存在建模不确定项和外界干扰项存在，控制器的抖震难以消除，对复合干扰进行处理成为了设计控制器时必须考虑的问题，扩张状态观测器理论的出现，为解决系统中复合干扰的处理提供了新的方式。扩张状态观测器是由韩京清提出自抗扰控制技术的核心部分，它可以较为准确地对系统中的复合干扰进行在线估计，并将其补偿到控制系统中。综合以上分析，本文设计了含ESO(extended state observer)的分数阶滑模控制器，并给出了相关稳定性证明。仿真结果验证了所提方案的良好跟踪控制性能。

1 分数阶微积分基础理论

分数阶微积分理论是传统整数阶微积分理论的推广和延伸。分数阶微积分的定义在发展过程中有多种，其中Caputo型的定义方式在初始条件上与整数阶微积分一致，所以，近年来应用比较广泛。

定义1  连续可积函数f(t)的Caputo型分数阶微积分统一定义为

(1)

式中, α∈(0, 1), f:R→R, Γ(·)为gamma函数, 定义为为函数f(t)的权函数, 其性质具有以下特点

(2)

从(2)式可以看出, 分数阶微积分算子随着时间的推移, 连续可积函数f(t)的积分权重会随之减小。实际上, 下文将分数阶微积分算子引入到传统滑模控制设计中, 正是利用了这一特性来减缓作用在被控系统上的能量, 以达到消弱传统滑模控制存在抖震的目的。在下文中为了表达方便, 在不涉及分数阶微积分算子的下限和上限时, 符号_t0D_t^α f(t)简写为D^αf(t)。

2 四倾转旋翼机垂直起降模态姿态模型

QTR垂直起降模式下俯仰通道的姿态控制主要是通过调节前后2组螺旋桨升力的差动变化来实现的, 系统结构如图 1所示。滚转通道通过差动调节位于机身左右2组旋翼的升力实现。偏航通道通过差动调节机身左右2组短舱倾角来实现。进行偏航通道控制时, 螺旋桨的拉力并不是一个恒定值, 是在一定范围内变化的, 为了使控制系统设计具有一定的鲁棒性, 同时考虑到螺旋桨拉力控制变化量相比螺旋桨拉力为高阶小量, 所以本课题选取飞行器悬停状态时的螺旋桨拉力作为偏航控制时的螺旋桨拉力。

忽略QTR无人机弹性震动的影响, 且无人机在垂直起降模态时滚转角φ、俯仰角θ、偏航角ϕ、短舱倾角γ变化都很小, 所以以下假设条件成立:φ=p、θ=q、ϕ=r、cosφ=1、sinφ=φ、cosθ=1、sinθ=θ、cosϕ=1、sinγ=γ。

同时考虑建模误差和外部干扰的影响, 无人机的姿态动力学方程如下

(3)

(4)

(5)

式中:I_xx、I_yy、I_zz分别为绕机体x、y、z轴的转动惯量, I_xz为惯性积, σ₁、σ₂、σ₃分别为各通道的复合干扰, u₁、u₂、u₃为各通道控制输入, 具体表达式为u₁=L_φk_T(w₁²-w₂²+w₃²-w₄²)、u₂=L_θk_T(w₁²+w₂²-w₃²-w₄²)、u₃=L_ϕmgγ, 其中k_T为螺旋桨拉力系数, w_i为相应螺旋桨转速, m为飞行器质量, L_φ、L_θ、L_ϕ为各通道力臂。

定义新的状态变量x=[x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆]^T=, (3)~(5)式可以表示为如下包含不确定项的非线性系统

(6)

式中，f_k表达式为

g_k表达式为

u_k=[u₁ u₂ u₃]^T, σ_k=Δf_k(x, t)+Δg_ku_k+d_k, 式中Δf、Δg_k为建模误差项, d_k=[d₁ d₂ d₃]为外部干扰。

3 新型快速趋近律

为了实现系统状态快速趋近滑模面, 高为炳教授提出了如下幂次趋近律

(7)

从幂次趋近律的形式可以看出, 虽然(7)式中采用了幂次项使系统在趋近滑动模态时, 趋近速率放缓, 对消弱抖震非常有利, 但是当系统状态距离滑模面较远时, 存在趋近速率过小的不足。为了使趋近律在系统状态距离滑动面无论是远还是近都能够有很快趋近速度, 本文提出了一种具备二阶滑模特性的新型快速趋近律

(8)

这种新型的趋近律可以根据当前系统状态与滑模面的距离自适应地调整趋近速率, 当系统状态与滑模面距离较远时, 趋近律的-ε_k2diag{|s_k|^α}s_k项起主导作用, 保证了系统状态能够以很快的趋近速率接近滑模面, 当系统状态与滑模面距离较近时, 趋近律的-ε_k1diag{|s_k|^1-α}sgn(s_k)项起主导作用, 保证了系统状态能够平滑的进入滑动模态。两项结合, 系统状态在趋近滑动模态过程中的运动品质得到了保证。

定理1  对于新型快速趋近律, 滑模面S和导数在有限时间内收敛到零。

证明  由(8)式得

(9)

式中，k=1, 2, 3对(9)式两边积分得

(10)

因为, 所以由(10)式可得

(11)

可见系统状态在有限时间内收敛到滑模面, 进一步, 由(8)式可知, 当s_k=0时ṡ_k=0, 系统状态保持在滑模面, 减少了系统的抖震, 定理得证。

4 含ESO干扰观测器的分数阶滑模控制律设计 4.1 分数阶滑模控制器设计

传统整数阶比例微分积分滑模面为

(12)

式中，e_(2k-1)=x_(2k-1)-x_d(2k-1), 为了提高控制器的性能, 本文利用分数阶微积分算子的记忆性和遗忘性, 将分数阶微积分算子引入传统整数阶微积分滑模面的设计中, 设计的分数阶滑模面为

(13)

式中:λ_ki∈R⁺(k=1, 2, 3, i=1, 2, 3)为增益系数, D^η_je_i(j=1, 2, i=1, 2, 3)为分数阶微积分算子。

结合本文上节提出的新型快速趋近律, 设计相应的控制律如下

(14)

式中:ε_kj∈R⁺(k=1, 2, 3, j=1, 2, 3), σ_k为待估计的复合干扰。

4.2 基于ESO的干扰观测器

对于系统(6), 建模误差和外界干扰的影响非常严重, 为了保证控制系统的控制精度和鲁棒性, 且尽可能减小抖震, 本文采用扩张状态(ESO)对系统进行在线实时干扰估计并补偿。本文采用文献[15]提出的ESO模型构造干扰观测器, 即

(15)

式中, 为观测器状态, ξ_k>0、ρ_k1、ρ_k2、ρ_k3为正实数。文献[15]采用自稳定域方法证明了(15)式扩张状态观测器的观测误差逐渐向零收敛。

综上所述, 含ESO的系统回路控制律为

(16)

定理2  对于四倾转旋翼飞行机器人姿态控制系统, 采用如(16)式所示含ESO干扰观测器的分数阶滑模控制器是控制回路闭环是渐进稳定的。

证明  选取Lyapunov函数为

(17)

(18)

已知在有限时间内有, 鉴于通过滑模变结构控制, 各通道已经实现了解耦, 对于每一个通道都有

(19)

因此, 系统轨迹会在有限时间内到达每个通道的滑模面s_k=0(k=1, 2, 3)。

当s_k=0时, 可以得到滑模面动力学方程为

(20)

根据文献[5], 对(20)式分数阶微分和分数阶积分求取Laplace变换得到

(21)

(20)式依据古典控制理论, 可以看做是将e_(2k-1)作为闭环系统输出的控制行为, 其开环传递函数为

(22)

因为λ_ki∈R⁺, (k=1, 2, 3, i=1, 2, 3)根据文献[16]所给结论, 可知原闭环系统是稳定的。应用分数阶系统Laplace变换的终值定理^[17], 可以得到

(23)

综上所述, 所设计的分数阶滑模控制系统能在有限时间内渐进稳定的收敛到零点。

5 仿真与结果分析 5.1 仿真参数

四倾转旋翼无人机质量为6.65 kg, 惯性矩I_xx=4.782 kg·m²、I_yy=3.258 kg·m²、I_zz=2.837 kg·m², 惯性积I_xz=0.032 kg·m², 姿态角初始状态为φ₀=θ₀=ϕ₀=0°, 目标指令为φ_d=2°, θ_d=2°, ϕ_d=3°, 转动惯量施加10％不确定量, 设在仿真零时刻开始, 施加时变干扰力矩为

为了验证本文所提方法的有效性, 对以下2种控制方案进行比较。

控制方案1:采用分数阶比例-微分-积分滑模控制器, 趋近律选用本文提出的具有二阶滑模特性的新型快速趋近律。

控制方案2:采用整数阶比例-微分-积分滑模控制器, 趋近律选用传统的幂次趋近律。2种控制方案均采用扩张状态干扰观测器对复合干扰进行在线实时估计和补偿。

2种滑模控制方案所选取的控制器参数为:

控制方案1中λ_k1=2, λ_k2=0.5, λ_k3=0.02, η_k1=0.2, η_k2=0.8, α_k=0.8, ε_k1=0.6, ε_k2=1.8;控制方案2中λ_k1=2λ_k2=0.8, ε_k=1.8, α_k=0.8, 2种控制方案扩张状态干扰观测器参数设置相同, ρ_k1=ρ_k2=ρ_k3=11, ξ_k=2。

5.2 仿真结果分析

图 2是2种控制方案下四倾转旋翼无人机姿态角响应曲线，从图中可以看出控制方案1跟踪上了控制指令，并且无超调，稳态精度高，收敛速度快。控制方案2没有很好地跟踪上指令，无人机的姿态角围绕着控制指令在波动，稳态性能较差。这是因为在传统滑模面中引入的分数阶微积分算子在整个时间段内对指令跟踪误差的积分权重随着时间的推移逐渐变小，这样就柔化了被控系统的运动轨迹。

由图 3可以看出，采用扩张干扰观测器的干扰估计曲线虽然在起始阶段发生了短暂的震荡，但是在很短的时间内就跟踪上了时变复合干扰，与实际的时变扰动曲线接近重合，因此能够在控制器的执行中给予在线连续的干扰补偿，从而有效地抑制复合干扰对系统的影响，提高了这2种控制策略的控制精度和鲁棒性。

由图 4采用控制方案1各通道控制量的变化曲线可以看出，因为在控制器的设计中应用本文所提出的新型快速趋近律，控制量平滑无抖震，这是由于此新型快速趋近律具有二阶滑模特性，所以当系统进入滑动模态以后无离开滑模面的趋势，有效抑制了系统的抖震。综上，本文提出的控制策略具有良好的控制效果，达到了设计目的。

6 结论

本文针对四倾转旋翼无人机姿态控制问题，设计了分数阶滑模面，从而减小了传统整数阶微积分滑模面的超调现象，采用了扩张状态观测器，对控制器进行了在线补偿，有效地抑制了复合干扰对系统的影响，并提出了具有二阶滑模特性的新型快速趋近律，平滑无抖震地加快了系统收敛速度，通过仿真分析，验证了所提方法的有效性，具有较大的实际应用价值。