2. 航天飞行动力学技术国家级重点实验室, 陕西 西安 710072
目前采用连续推力轨道机动技术对航天器进行快速、自主、精确的轨道机动已成为国内外学者研究的热点。研究表明[1],航天器在连续推力作用下的运动经过正规化变换,在参数平面内可以视为一种受迫振动。对物理上的强迫振动$\ddot{x}$+ω02 x=hsinωt而言,当外界持续激励的频率取为ω=ω0时,系统将产生共振。同理,若适当设定参数平面内航天器运动方程中的参变量,亦可以得到一种利于求解能量或者推力最优方案的连续推力轨道方程,这种共振效应下的轨道称为共振轨道[2]。
史格非[3]通过研究与仿真,一方面,说明共振轨道的推力峰值远小于应用Lambert转移时所需的最小速度增量;另一方面,肯定了共振轨道在星际探测应用中的可行性,并且证明了其在能量消耗方面优于Lambert轨道。陈诗瑜引入J2摄动和新的类Sundman转换关系,推导了参数平面下含J2摄动的空间共振轨道方程及转换矩阵,并分析了摄动因素对轨道特性的影响。下文中,我们将陈诗瑜推导所得数学方程称为传统数学模型,简称传统模型。
然而,文献[3]在进行模型建立时并未考虑摄动因素对轨道的影响。而传统模型虽然考虑了J2项摄动力对轨道的影响问题,但在建立数学模型时,忽略了J2项摄动内所含的位置矢量r,而将J2项摄动看做标量,这样所得结果不是很精确。
针对上述问题,本文在传统模型的研究基础上,利用KS变换,将J2项摄动看做矢量,考虑其所含位置矢量r对轨道特性的影响,建立一种新的考虑J2项摄动影响的共振轨道数学模型,随后，采用本文提出数学模型,进行了J2摄动因素对轨道特性影响的仿真分析,并与传统模型的仿真结果进行比较,结果表明:2种受摄共振轨道模型的仿真结果变化趋势相同,但由于所考虑的影响因素有所不同,因而导致偏差的具体变化程度不同;另外,由于考虑了J2项摄动方向对轨道特性的影响,本文所建立的模型比传统模型更为精确,更适用于工程实际中分析J2项摄动对共振轨道特性的影响。
1 受J2项摄动影响的传统共振轨道建模地球是一质量分布不均匀、形状也不规则的椭球体,这使得航天器在轨运行时,不仅受到径向引力的作用,在轨道的切线和法线方向也会受到摄动力的作用,这些附加的切向、法向力因素统称为地球形状摄动。
地球引力场位函数的一般表达式见(1)式:
若只考虑J2项摄动,则位函数可简化为:
航天器在中心引力,J2摄动力和推力作用下的非开普勒运动微分方程为:
通过定义新的时间尺度和轨道描述参数,将(3)式中物理平面地心赤道坐标系下航天器的运动微分方程,经过数学变换,可以改为参数平面内的受迫振动方程。
传统模型在推导过程中,忽略了fJ2的方向,将其看做标量进行推导,得到的结果为:
由(4)式和(6)式可以看出,当准推力加速度q各分量的频率与固有频率一致时,即可产生共振。
2 考虑J2项摄动方向影响的共振轨道建模将航天器在物理平面内的非开普勒运动微分方程转换为参数平面内受迫振动方程的基本思想是:通过定义新的时间尺度和轨道描述参数,将微分方程中的轨道描述参数r、$\dot{r}$、$\ddot{r}$用新的描述参数u、$\dot{u}$、$\ddot{u}$进行代换,从而得到参数平面内的受迫振动方程。
由于fJ2中亦含有位置参数矢量r,因此建模中是否将fJ2的位置参数用新的描述参数代换便成为了一个问题。传统模型在推导过程中,并未考虑fJ2中的位置参数,因此必将会带来在某些情况下不可忽视的误差。为了得到更为精确的数学模型,本文在推导过程中将
中的位置参数矢量r亦用u代换,得到考虑J2项摄动方向影响的新受摄共振轨道模型。
航天器在中心引力、J2项摄动力和推力作用下的非开普勒运动微分方程如(3)式所示。引入新的时间尺度广义偏近点角s,其与物理时间t的关系为
。
令地心赤道坐标系中航天器位置矢量为r=[x y z 0]T,定义转换后新的位置描述参数$u=\left[\begin{matrix} {{u}_{1}} & {{u}_{2}} & {{u}_{3}} & {{u}_{4}} \\ \end{matrix} \right]$,则KS变换可以表示为:
另一方面,根据KS变换的性质有:
将(14)式等号左右两边左乘LT(u)整理得:
(15)式即为考虑J2项摄动方向影响的新型共振轨道数学模型。可以看出,考虑fJ2中所含的矢量r之后所建立的模型中,fJ2被分为两部分,一部分对系统固有频率ω0产生干扰,另一部分对连续小推力产生干扰,从而使轨道偏离目标位置,产生偏差。
为进一步了解J2项摄动对系统频率的影响,假设(15)式中J2项摄动对推力的影响为零,得到新的数学模型为
为方便起见,我们称(15)式为受摄共振轨道模型,称(16)式为频率受摄的共振轨道模型。对(15)式进行仿真所得的航天器位置偏差称为整体偏差,对(16)式进行仿真所得的航天器位置偏差为局部偏差。
3 仿真分析本文采用(15)式为数学模型,针对J2项摄动因素对共振轨道特性的影响进行分析。为比较方便,仿真初始参数与传统模型仿真时所取参数相同,具体数值如表 1和表 2所示,参数平面下推力加速度q的形式如(6)式所示。
仿真结果如图 1~图 6所示:
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| 图 1 (u1,u3)平面下理想共振轨道与受摄共振轨道 |
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| 图 2 (u3,u4)平面下理想共振轨道与受摄共振轨道 |
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| 图 3 50 rad内参数平面各分量方向上的整体偏差 |
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| 图 4 400 rad内参数平面各分量方向上的整体偏差 |
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| 图 5 50 rad内参数平面内各个分量方向上的偏差 |
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| 图 6400 rad内参数平面内各个分量方向上的偏差 |
图 1和图 2分别为(u1,u3)和(u3,u4)参数平面内的轨道图像。可以看出,在J2项摄动影响下,(u1,u3)参数平面内的受摄共振轨道与理想共振轨道相比,轨道变宽,向外扩展的程度减小。(u3,u4)参数平面内,受摄共振轨道向外扩展的最大值减小,因此,J2项摄动使得共振轨道的轨道形状发生改变。
图 3到和图 4分别为仿真时间为50 rad和400 rad时,受摄共振轨道在参数平面内各个分量方向上的偏差。当选择偏心率为0.8时,从仿真结果可以看出,初始阶段,整体偏差随时间积累,但偏差曲线不光滑,变化并不十分规律。从大约25 rad开始,偏差开始保持在某一稳定状态,甚至有略微的减少。到大约180 rad时,偏差开始增长,增幅稳定。
图 5、图 6为采用陈诗瑜推导所得的传统模型,在同等条件下,得到的受摄共振轨道在参数平面内各个分量方向上的偏差。
由图 3~图 6的比较分析可以看出,建模中考虑J2项摄动含的矢量r后,虽然偏差走向类似,但是各个分量上的偏差却不同。图 5中各个方向的偏差数量级相同,但是图 3中u3方向上的偏差明显降低一个数量级。50 rad结束时,整体偏差的最大值为$427.6\sqrt{m}$,明显小于图 5中50 rad时的最大偏差。同时在前200 rad,虽然各个分量上的整体偏差都基本保持不变,但是图 4的偏差峰值明显小于图 6。可是当400 rad结束时,u1、u2、u3、u4方向上的偏差分别为$3874.6\sqrt{m}$、$4427.8\sqrt{m}$、$3993.2\sqrt{m}$、$3902.9\sqrt{m}$,反而大于图 6中各个方向的偏差:$2734.8\sqrt{m}$、$2300.8\sqrt{m}$、$1781.8\sqrt{m}$、$3430.6\sqrt{m}$。
由此可见,采用本文所建模型得到的仿真结果,与传统模型的仿真结果不同。其原因是由于J2项摄动对系统频率产生干扰,使系统频率无法保持在0.5不变,而参数平面中的推力加速度分量仍选择0.5为频率以期达到共振的效果。这样一来,推力的频率与系统表现出的频率不相等,实际上并未产生共振,因此也无法依靠共振实现小输入产生大的轨道变化以实现节省能源的效果。同时,时间越长,二者差距越大,因此偏差也越来越大。
为进一步深入分析J2项摄动对固有频率的影响,选(16)式为数学模型,取表 1、表 2中的初始参数进行仿真,结果如图 7和图 8所示。
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| 图 7 50 rad内参数平面内的局部偏差曲线 |
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| 图 8 400 rad内参数平面内的局部偏差曲线 |
图 7和图 8分别为仿真时间为50 rad和400 rad时,J2项摄动对固有频率的干扰所引起的航天器位置偏差,我们称其为局部偏差,称图 7、图 8所得结果为整体偏差。可以看出,50 rad结束时,由J2项摄动对固有频率的干扰所引起的偏差仅仅为$6.331\times {{10}^{-4}}\sqrt{m}$,出现在u2方向上。这个偏差在整体偏差中所占比重非常小。而由图 8可见,当400 rad结束时,摄动对固有频率的干扰所引起的偏差最大达到了$3.531\times {{10}^{-2}}\sqrt{m}$。虽然该偏差在整体偏差中所占比例很小,但由于固有频率基准值ω0仅为0.5,干扰所引起的偏差只比其低一个数量级,且一直呈增长趋势,故其影响是不能忽略的。
由图 4、图 6可以看出,大约前200 rad,图 4的偏差峰值明显小于图 6。其原因是由于在该阶段,J2项摄动对推力的干扰所产生的偏差占主要地位,从(15)式可以看出,J2项摄动并不是将所有力都用来干扰推力,故与(4)式的模型相比,产生的偏差峰值较小。可是从200 rad开始,摄动力对固有频率的影响开始变得越来越显著,直接导致整体偏差明显增大,因此400 rad结束时,图 4的偏差峰值大于图 6。由此可以进一步看出,(15)式的数学模型更精确地揭示了J2项摄动使系统产生偏差的原因。
综合上述分析可以看出,考虑J2项摄动中的参数r进行推导所得的数学模型(15)式更准确。另一方面,J2项摄动对共振轨道的影响非常显著,需要施加适当的控制消除或者削弱其对轨道特性的影响。
4 结 论本文通过推导,得到了一种新的受J2摄动影响的共振轨道数学模型,并在此基础上进行仿真分析,研究了J2项摄动因素对共振轨道特性的影响。通过与传统受J2项摄动影响的共振轨道数学模型进行对比分析,确定了本文所建数学模型的价值。通过研究表明:
1)在大偏心率情况下,受摄共振轨道相对于理想共振轨道的偏差十分明显。初始阶段,整体偏差随时间积累,偏差曲线不光滑,变换并不十分规律。从大约25 rad开始,偏差开始保持在某一稳定状态,甚至有略微的减少。从大约180 rad时候,偏差开始增长,增幅稳定。偏差在仿真时间内没有收敛的趋势,增幅随着时间增长越来越大。
2)2种受摄共振轨道模型的仿真结果变化趋势相同,但由于偏差的影响因素有差别,因而偏差的具体变化程度不同。(15)式表示的数学模型虽然形式较为复杂,无法得到解析解,但所得结果能够解释不同阶段J2项摄动使系统产生偏差的原因,因此更为精确。而(4)式所得结果仅趋势正确,虽然形式简洁一些,但准确度较低。若是对短时间的共振轨道进行粗略估计,可以选择(4)式,但是若要精确求解,则建议采用(15)式。
3)J2项摄动对共振轨道的影响非常显著,需要施加适当的控制消除或削弱其对轨道特性的影响。
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