Satty于1996年提出了网络分析法(analytic network process,ANP)作为层次分析法(analytic hierarchy process,AHP)的延伸^[1]，并获得广泛应用^{[2, 3, 4, 5]}。从网络结构看，ANP将元素划分为控制层和网络层，控制层包括目标及控制准则，一般控制准则呈递阶层次、同层相互独立；控制准则下所有支配元素分簇(或称元素组)并按簇内簇间相互关系抽象成网络结构。Satty和王莲芬将ANP的主要结构归纳为内部独立的递阶层次结构、内部独立外部循环系统、内部依存的递阶层次结构和内部依存外部循环系统^{[6, 7]}。2012年，Navid等提出了多影响树(multiple-effect tree)和多准则树(multiple-criteria tree)2种新的网络结构^[8]。从测度原理看，延续AHP基于比较对判断矩阵的影响排序思想，ANP以簇间影响为子块，以控制层元素为准则，以网络层某一元素为次准则，通过间接优势度比较，导出网络层元素对次准则的影响排序，逐个考量所有元素相互影响并进行加权归一化处理，构建反映元素间一步优势度的超矩阵，利用幂法等求取极限相对排序向量。同AHP一样，作为算法基础的判断矩阵假定决策者可以对任意2个元素进行比较判断，并给出精确的比例标度。

应用经典模型解决复杂问题时，可能存在如下几方面的困难：①判断底层元素影响关系的工作量较大，对于n×n阶超矩阵，有n(n-1)个影响关系，由于ANP簇间影响关系的确定仍需在底层元素之间构建判断矩阵进行两两比较，假设分为m个簇，第i个簇的底层元素数为n_i(i=1,2,…,m) ，且$\sum\limits_{i = 1}^m {{n_i}} $=n，则共需n$\sum\limits_{i = 1}^m {{n_i}} $(n_i-1)次比较；另外，分簇方法对结果也有较大影响，簇越少，判断矩阵的阶数越大，越难达到一致。②复杂系统除影响因素众多、关系相互交织外，通常还具有一定的层次规模，且同一层面问题的比较判断较易实现，不同层面元素往往不具有可比性；同时，树状结构的递阶分层解剖也符合人类对客观世界的分析与认知习惯。ANP尚未提供这种多层建模框架与相应算法。③鉴于问题的复杂性与模糊性，对于判断矩阵有时很难给出精确比例标度；此外，由于决策者背景、偏好及知识结构的差异，判断在具有一定不确定性的同时，也经常存在多种形式的表达。为解决上述问题，本文基于分层递归思想，结合模糊判断，提出一个多子网和线性目标规划的模糊网络分析法模型，拓展ANP解决实际问题的能力。

1 多子网模型描述 1.1 模型结构

定义1 子网 ANP网络中由相同类别、属性或按某种规则聚合的元素及其相互关系构成的网络，是多子网模型的基本组成单元，包括源节点、控制准则、底层节点3个层次元素及层内层间关系，由如下五元组表示：

式中,S_i是第i个子网;O_i是该子网的源节点;C_i是控制准则集;B_i是底层节点集;CR_i是底层节点和控制准则间隶属关系的集合,即CR_i=｛〈u,v〉|u∈C_i,v∈B_i｝;IR_i是底层节点之间影响关系的集合,即IR_i=｛〈x,y〉|x,y∈B_i｝。设连接函数f满足:若底层节点v在控制准则u下,则f〈u,v〉=1,反之为0;若底层节点y影响x,则f〈x,y〉=1(即x指向y),若无相互影响,则f〈x,y〉=0。

子网与经典模型结构相似,将元素划分为控制层和受控层,控制层包括目标及控制准则,受控层为底层节点。子网的源节点即目标,源节点之下按控制准则将底层节点分为相互独立的部分,每个控制准则支配若干底层节点,底层节点按相互影响关系分为依赖与独立2类,依赖底层节点构成网络结构,独立底层节点构成递阶层次结构。可以没有准则,但必须有目标和底层节点。

与经典模型不同在于:①为控制子网规模,建立的子网控制准则仅为1层,其主要功能是将底层指标分类。②子网中没有经典模型中簇的概念,建立簇旨在降低判断矩阵维度,通过将元素分配到各个子网中,得到的元素规模一般不会很大,因此簇的构建是不必要的。下图是一个典型的子网结构:

图中,root是该子网的源节点;a、b是控制准则;c、d和e是具有相互影响关系的底层节点;f、g是相互独立的底层节点。

定义2 子网间关系分为递阶层次关系和影响关系2类。递阶层次关系描述子网间的层次结构,即∀S_P,S_q(p,q∈I,p≠q),若∃z满足: z∈B_p且 z=O_q,则称S_q是由S_P派生的子网,S_P和S_q呈递阶层次关系,子网间所有递阶层次关系的集合构成H=｛〈S_p,S_q〉| S_q is derived from S_p｝;影响关系描述源节点在同一个子网中的不同子网间的影响关系,即若S_m和S_n是由S_l派生的子网(m≠n),则显然有:〈S_m,S_n〉∈IR_l。

定义3 多子网模型(multi-subnets analytic network process,MSANP) 由子网及网间关系构成的递阶层次结构模型,由如下二元组表示:

式中,S=｛S_i｝是子网集合,H是子网递阶层次关系集合。模型中除处于顶层的源节点外,每个节点仅能有一个源节点。

图 2给出了一个多子网模型示例,图中共有3个子网S_i、S_j和S_k。其中,S_j和S_k是由S_i派生的子网,其源节点b、c分别为S_i中源节点a下的底层节点,b和c的依赖关系反映了S_j和S_k的相互影响;S_j中准则d下底层节点h、i、j具有依赖关系,并与e相互独立,显然b节点有自影响关系;S_k中底层节点f、g相互独立。

1.2 模型复杂度分析

如前所述,若底层元素共有X个,ANP模型超矩阵共有X(X-1)个影响关系;设MSANP模型将X个底层元素分配到Y个子网中,第i个子网的底层元素数为n_i(i=1,2,…,Y),n_i≥2,且$\sum\limits_{i = 1}^y {{n_i}} $=X,则子网之间与各子网内部共有Y(Y-1)+$\sum\limits_{i = 1}^y {{n_i}} $[n_i(n_i-1)]个影响关系。易证:

证明:

证毕。

相较ANP模型,MSANP模型有较少的元素间影响关系,相应超矩阵的规模也变小了,复杂度被显著降低。

2 基于线性目标规划的模糊判断

AHP/ANP模型的基础信息源于构建的判断矩阵,一般矩阵单元表现形式一致,对于不同表达的判断,传统方法无法求得权向量,为此采用如下模型求解。

构造n阶判断矩阵$\tilde A$=($\tilde a$_ij)_n×n整合精确数、三角模糊数、梯形模糊数、区间数和犹豫数5种量化形式,以梯形模糊数为基本形式,即($\tilde a$_ij=｛(a_ij^L,a_ij^M,a_ij^N,a_ij^U)₁…(a_ij^L,a_ij^M,a_ij^N,a_ij^U)_K(aij)｝,K(a_ij)为_ij的犹豫数数量。当K(a_ij)>1时,$\tilde a$_ij为犹豫数;当K(a_ij)=1时,$\tilde a$_ij为单一精确数或模糊数。若a_ij^L <a_ij^M<a_ij^N<a_ij^U,$\tilde a$_ij为梯形模糊数;若a_ij^L=a_ij^M=a_ij^N=a_ij^U,$\tilde a$_ij退化为精确数;若a_ij^L<a_ij^M=a_ij^N<a_ij^U,$\tilde a$_ij退化为三角模糊数;若a_ij^L=a_ij^M<a_ij^N=a_ij^U,$\tilde a$_ij退化为区间数。

先考虑K(a_ij)=1时,将分解为4个矩阵:A_L=(a_ij^L)_n×n,A_M=(a_ij^M)_n×n,A_N=(a_ij^N)_n×n,A_U=(a_ij^U)_n×n,其中,a_ij^L=$\frac{1}{{a_{ji}^U}}$ ,a_ij^M=$\frac{1}{{a_{ji}^N}}$ ,i,j=1,2,…,n,i≠j。

设存在归一化模糊权向量

若该向量是归一的,当且仅当如下条件成立^[9]: 由于 如果求得的权向量完全一致,即满足 式中 在实际问题中,由于判断的不一致性,上式存在一定偏差,即 式中 显然,对于模糊判断矩阵,其归一化模糊权向量应使得偏差的绝对值之和最小。由于无法保证所有偏差都为正,故做如下处理: γ_i⁺、γ_i^-、δ_i⁺、δ_i^-、φ_i⁺、φ_i^- 同上。其中,i=1,2,…,n。

构建如下线性目标规划模型求解模糊权向量^[10]:

式中,e^T=[1,1,…,1]。

K(a_ij)>1,即矩阵存在犹豫数时,将分解为ψ=$\prod\limits_{i = 1}^n {} \prod\limits_{j = i + 1}^n {} $K(a_ij)个矩阵$\tilde A$^f,f=1,2,…,ψ。对于任意$\tilde A$^f,按(6)式求得归一的模糊权向量$\tilde W$^f及其偏移量J^f。由此可以近似得到$\tilde W$^f对于专家判断的隶属度为

t的值根据实际情况选取,一般可设t=1。为得到最符合专家判断的模糊权向量,拓展式(6)得: 通过此模型求解一致性最大的模糊权向量。当判断矩阵不一致性超出设定阈值η,即最小偏差量J^f*≥η时,需要专家对判断矩阵重新调整。

对(6)式、(8)式求得的模糊权向量$\tilde W$^*、$\tilde W$^f*元素$\tilde W$_i^*=(w^*L_i,w^*M_i,w^*N_i,w^*U_i),i=1,2,…,n,进行去模糊化处理,分类讨论如下:

1) 若$\tilde W$_i^* 为区间数,即w^*L_i=w^*M_i w^*N_i=w^*U_i,则

2) 若$\tilde W$_i^*为三角模糊数,即w^*L_i<w^*M_i=w^*N_i<w^*U_i,设μ(W_i^*)为$\tilde W$_i^*的隶属度函数,则^[11]

3) 若$\tilde W$_i^*为梯形模糊数,即w^*L_i<w^*M_i<w^*N_i<w^*U_i,则^[12]

从而得到去模糊的归一化向量W^*、W^f*。

3 MSFANP算法

以网络类比连通图,节点的影响分为子网影响、单分支全网影响和全网影响。子网影响(local value)是节点在所处子网中的局部影响值,包括递阶层次结构下的聚合权重和网络结构下的极限相对权重;单分支全网影响(absolute value)是节点在从顶层源节点出发的一条链上,相对顶层源节点的绝对影响值;节点可能被包含在多个子网内(例如待评估的方案),合成全网下节点在各链上的绝对影响,得到全网影响(global/synthetic value)。算法流程如图 3所示。

步骤1 根据多子网模型剖分思想,划分网络结构,将各子网底层节点按控制准则分类,确定相互独立和依赖关系(如无控制准则,以子网源节点为控制准则确定关系);

步骤2 如果子网中有控制准则或独立底层节点,对所有控制准则或将独立底层节点按所属控制准则构建判断矩阵,由(2)～(11)式得相应权向量;

步骤3 如果子网中有依赖底层节点,依次以某一依赖节点为次准则,进行依赖底层节点间间接优势度比较,由(2)～(11)式导出相对次准则的影响排序,最终形成加权超矩阵M_i;

步骤4 设子网源节点的影响值为1,控制准则影响值则为判断矩阵导出的自身权重,则独立底层节点的子网影响为:

式中,V_ib为独立底层节点的子网排序向量,W_ib为独立底层节点相对其控制准则的归一化权向量,V_c为控制准则权重;

步骤5 利用幂法求取M_i的极限相对排序:

式中,t为一较大正数,M_i每一列均为依赖底层节点相对控制准则的极限相对排序,取第1列设为W_db,取代W_ib代入(10)式得V_db,若无控制准则,W_db=V_db;

步骤6 由于每个节点仅有一个源节点,则按递阶层次得节点的单分支全网影响值:

式中,R^(j)为从顶层源节点出发的第j条链,e^(j)_k为R^(j)上第k个节点,V_aek^(j)为e_k^(j)的单分支全网影响,V_ek^(j)为e_k^(j)的子网影响;

步骤7 合成不同子网中相同节点的单分支影响得节点全网影响:

式中,e_l为网络节点,l=｛1,2,…,L｝,V_gel为e_l的全网影响,M为顶层源节点出发的链数,指示函数ε_j满足:若e_k^(j)为e_l,则ε_j=1,否则ε_j=0。

4 计算实例

为验证多子网模型的有效性,以国家空管体系为例说明所述算法的评估流程。根据SHEL模型剖分,空管体系能力自顶向下评估层次见图 4,分为3层指标体系,底层为方案层,分别为待评估比较国家。按MSFANP模型构建子网见图 5,人机环管紧密耦合,形成相对体系能力的子网;其下支配要素分别张成子网,并相互影响;方案自成子网,与每个底层指标相连,方案间没有明显影响关系,方案对目标的反馈也不明确。

构建各子网下指标间的判断矩阵,统计输入群专家的模糊判断信息,以图 5a)子网为例见表 1:

求得表 1判断矩阵模糊权向量为

去模糊化得:(0.056,0.224,0.168,0.552)^T

表 2判断矩阵的去模糊化权向量为

表 3判断矩阵的去模糊化权向量为

表 4判断矩阵的去模糊化权向量为

以求得的各判断矩阵权向量为列向量,形成超矩阵,通过幂法求得该子网元素极限排序向量 作为各元素的子网影响值。

同理,求得图 5b)~图 5e)各子网中底层指标的子网影响值和方案在各底层能力下得分(即方案子网在各底层能力指标下的子网影响值)。依次计算方案节点的单分支全网影响和全网影响,最终以最优方案国的全网影响值为1,美、欧、我国空管体系能力相对评估值为(1,0.925,0.765)^T。计算结果与文献^[13]以主要宏观绩效领域实证数据,采用熵权-ANP得出的体系能力评估结论较为相近,从定性判断定量化的解析角度予以了佐证。

5 结 论

本文提出的MSFANP模型,拓展了网络分析法的描述能力。通过引入子网,基于递阶分解思想给出了一个多层网络框架,由于仅需考虑子网内的影响关系,模型被大为简化。同时,为处理各种不确定性判断形式提供了统一范式和基于线性目标规划的模糊权向量求解算法。通过逐步计算网络节点的子网影响、单分支全网影响,得出节点全网影响,从而构建了MSFANP的算法流程。一个空管体系能力评估的实例证明了所提模型更符合人们的分析习惯,也验证了模型方法的可行性与有效性。下一步将根据具体问题深化判断标度研究,进一步提升评估精细化水平。