随着我国航天事业的飞速发展，空间可展开天线的应用与日俱增，对其技术指标的要求也越来越高^[1]。理想天线结构为典型循环周期结构，通常在进行结构动力学分析时，将其看成各子结构完全一致的谐调结构。但由于制造误差、运行磨损等原因，各子结构总是不可避免地存在小量偏差，这种情况称为结构失谐。理论及实验研究均表明,失谐会极大地影响天线结构的动力学特性，使相应失谐结构出现振动局部化现象^{[2, 3]}。振动局部化包括模态局部化和受迫振动响应局部化，他们都会使天线结构动力学特性发生本质改变，进而可能造成天线结构破坏及相应振动控制系统鲁棒性丧失等一系列问题^[4]。随着天线结构尺寸的增加，失谐引起的结构振动局部化对其整体性能的影响更加突出，因此该问题成为天线结构设计中必须考虑的因素。

迄今为止，人们对随机失谐天线结构的振动局部化问题进行了许多深入的研究。Bendiksen^[2]基于单肋扇区的单自由度集中参数模型研究了大型空间天线结构中存在的模态局部化现象。Cornwell等^[5]基于连续梁模型研究了脉冲激励下失谐天线结构的响应局部化问题。刘相秋等^[6]也建立了失谐星载天线结构的连续梁模型，并研究了该型失谐天线结构的模态局部化特点。这些研究大都局限于具有特定随机失谐参数的天线结构振动局部化问题的确定性分析，然而对于更普遍的结构随机失谐问题必须采用统计方法进行研究。目前国内外仅见Cox等^[7]用实验的方法统计分析了6径向肋简化天线结构的随机失谐问题，但其研究更关注于压电结构的抑振设计，其天线模型也过于简单且其统计分析次数也较少，致使其结果具有很大的局限性。

本文建立了单肋多自由度的18径向肋天线结构集中参数模型，基于谐调天线结构的固有特性和Monte Carlo数值分析方法,研究了天线结构随机失谐时的模态局部化及受迫振动响应局部化的统计特性，研究结果可为大型天线结构的动力学设计提供参考。

本文研究的径向肋可展开天线主要由18根径向肋、缠绕在肋上的20圈周向预应力拉索、金属反射网以及位于中心的底座四部分组成。由于金属反射网非该天线结构中主要承力部件，因此只将其质量均匀分配给两边的径向肋而不考虑其受力特性。建立18径向肋天线结构的有限元模型如图1a)所示，其单肋扇区的多自由度集中参数模型如图1b)。

图 1 天线结构及其简化模型

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质量用集中质量m₄表示；肋的等效弯曲刚度用k₁~k₃表示，底座的等效弯曲刚度用k₄表示；肋间周向拉索的耦合作用用k_CP1~k_CP3表示，底座的耦合作用用k_CP4表示，由于周向拉索的质量相对于肋质量很小，因此将其质量均布到径向肋集中质量上。简化后的集中参数模型如图1b)所示，该模型不仅考虑了底座的刚度及质量，还考虑了不同肋高处横向拉索的耦合刚度的差异，因此该模型能更准确地模拟天线结构的真实力学特性。根据牛顿运动定律可以建立天线集中参数模型的动力学方程：

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求解上述动力学方程的特征值问题就会得到天线结构的各阶固有频率及相应的模态振型。

本文在这里通过有限元模型(如图1a)所示)验证所建集中参数模型的准确性，然后分析谐调时天线结构的固有特性。图2、图3分别为谐调时天线结构集中参数模型及有限元模型的固有频率对比、各肋端部的二范数归一化模态振幅的对比。

图 2 天线结构各阶频率

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图 3 前3阶模态振型

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图2a)中，由于结构的对称性，谐调天线结构前18阶固有频率，除第1、18阶外，其余各阶都出现了重频(如2、3阶频率重合，这与文献[3]中的12肋同类型天线结构的计算结果一致)，且集中参数模型的结果与有限元模型保持了很好的一致性，频率的相对误差小于0.61%。

从图2b)可以看出，典型叶盘结构中的频率转向现象在天线结构中并不明显(与文献[8]中18肋天线结构的研究结果一致)，这主要是由于天线结构共振时中心底座基本没有参与振动，只存在径向肋的悬臂梁模态这一种振动模态占优。

图3中，谐调天线结构的振动模态并没有出现局部化现象，2、3阶振型形式相同，只在相位上存在差别，这与图2a)中的固有频率重合现象一致，且集中参数模型的结果与有限元结果亦保持了一致。

MCS(Monte Carlo simulation)技术是一种模拟系统行为特性的常用数学方法。它包括以下4步：

1) 随机数生成器按一定的统计规律生成一组刚度或质量随机失谐量。

2) 基于集中参数模型，通过求解N自由度的特征值问题,得到这个无阻尼失谐天线结构的模态特性。

3) 由模态分析得到天线各肋的受迫响应振幅。

4) 多次重复1)~(3)步骤,由此求得随机失谐天线结构响应振幅的统计特征。

用 K_bi表示天线肋的无量纲化刚度，K_ci表示肋间的无量纲化耦合刚度，m_bi表示肋的无量纲化质量，其中扇区i=1,2,…,18。这里首先分析随机失谐对于天线结构固有频率的影响，然后研究不同失谐强度、耦合刚度下随机失谐对结构模态局部化的影响规律。由于天线结构共振时只存在一种主振动模态，失谐对19~72阶模态的影响规律与1~18阶模态相似，因此为了简洁这里只取天线结构前18阶模态的分析结果，图4~图6中数据均由Monte Carlo方法统计分析1 000次所得。

图 4 不同失谐强度下固有频率的均值

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图 5 不同失谐强度下L的均值(刚度失谐)

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图 6 不同耦合刚度下L的均值(刚度失谐)

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K_bi取1组期望为1，均方差σ=0、0.02、0.04、0.06、0.08、0.10的服从均匀分布的随机数，其余参数均取1。图4为天线结构在不同失谐强度下各阶固有频率的均值。

从图4可以看到，失谐天线结构的固有频率相对于谐调结构出现了频率分散现象，从而使结构的各阶共振频率范围变宽。失谐强度的增加使结构的各阶共振频率范围变得越来越宽，从而使天线结构产生共振的危险机率增大。

刚度失谐时，K_bi取1组期望为1，均方差σ=0、0.02、0.04、0.06、0.08、0.10的服从均匀分布的随机数，其余参数均取1；质量失谐时，m_bi与K_bi取值一致，其余参数取值不变。图5与图6分别为天线结构的径向肋刚度失谐时，不同失谐强度及耦合刚度下各阶模态局部化因子L的均值。图7、图8分别为天线结构径向肋质量失谐时不同失谐强度及耦合刚度下各阶模态局部化因子L的均值，其中模态局部化因子L^[10]

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图 7 不同失谐强度下L的均值(质量失谐)

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图 8 不同耦合刚度下L的均值(质量失谐)

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从图5可以看出,谐调结构(σ=0)的模态局部化因子L基本都在L=1附近，说明谐调结构的模态没有模态局部化现象发生。当结构失谐时(σ>0)，对于弱耦合(本文为K_ci均取1)结构,与谐调天线结构相比，在一定失谐范围内(σ=0~0.10)，失谐强度σ每增加0.01，各阶模态局部化因子L中的最大值增大1倍左右，σ=0.10时的最大模态局部化因子已经为谐调时的13.5倍。

相同失谐强度下，第2阶及第17阶模态的局部化程度最大，中间阶模态的局部化程度最小。失谐强度较大时(如σ=0.10)，最大与最小模态局部化因子相差了近1倍，这说明对于失谐强度较大的结构，不同阶次结构模态的局部化程度存在很大不同，这种差异可能与具体的失谐形式相关。

从图6可以看出，K_c=1~1.5(K_c表示K_ci的取值)时，失谐结构模态局部化因子的均值随耦合刚度的增大而减小，且耦合刚度每增加0.1，各阶模态的局部化因子L中的最大值减小1，这与模态局部化因子随失谐强度的变化规律刚好相反。

从图7、图8可以看出，径向肋质量失谐时，天线结构的模态局部化因子变化规律总体上与径向肋刚度失谐时一致。但相同失谐强度下(σ=0.10)，低阶模态的局部化因子刚度失谐(第2阶L=13.5)大于质量失谐(第2阶L=12)，而高阶模态的局部化因子刚度失谐(第17阶L=13.5)小于质量失谐(第17阶L=16)，且失谐强度越大这种差异性越明显。

天线结构的径向肋刚度或质量失谐时，不同失谐强度及耦合刚度下各阶模态局部化因子L的方差与均值的统计规律基本一致，这里为了简洁不再一一列出。

为了研究随机失谐对于天线结构受迫振动响应特性的影响，t=0 s时刻在天线结构1号径向肋的顶端施加一幅值0.1 N，宽度0.1 s的脉冲激励。同样借用3.2节中描述天线结构振动能量集中现象的模态局部化因子L来衡量结构振动响应的局部化程度。图9为天线结构存在径向肋刚度失谐时，各肋端部响应幅值的分布情况、不同失谐强度及耦合刚度下结构响应局部化的程度，其中图9b)与图9c)中数据均由Monte Carlo方法统计分析1 000次所得。

图 9 失谐强度与耦合刚度对振动能量传播的影响

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从图9a)中可以看出，在脉冲载荷激励下，谐调结构中的振动能量会随着时间的推移传播到各根径向肋上去；而失谐会限制结构中振动能量的传播，这与文献[5]中18肋及48肋同类型天线结构的研究结论一致。图9b)中，在一定失谐范围内(σ=0~0.10,K_c=1)，随着失谐强度的增加，结构响应的局部化程度逐渐增大，当σ=0.10时结构的响应局部化因子增大到谐调时的5倍。图9c)中，在一定失谐范围内(K_c=1~10,σ=0.10)，随着耦合刚度的增大，结构响应的局部化程度逐渐减小；当K_c大于6后，结构响应局部化程度(L=2.5)基本保持在与谐调结构(L=2.0)相近的值，这主要是由于K_c大于6后结构中的振动能量已经能够通过肋间的强耦合作用均匀传递到所有肋上去的缘故(如图9d)所示)。

1)本文建立的径向肋天线结构的集中参数模型，建模简单、精确度高，理论计算与有限元仿真结果取得了非常好的一致性，频率相对误差在0.61％以内；失谐强度的增加使整个结构的各阶共振频率范围变宽，产生共振的危险机率增大。

2)与谐调天线结构相比，失谐强度(σ=0~0.10)每增加0.01，各阶模态局部化因子L中的最大值增大1倍左右；耦合刚度(K_c=1~1.5,σ=0.10)每增加0.1，各阶模态局部化因子L中的最大值减小1左右；其中质量失谐对高阶模态振型影响较大，而刚度失谐对低阶模态振型的影响较大，且失谐强度越大这种差异性越明显。

3)在脉冲载荷激励下，随机失谐会限制天线结构中振动能量的传播；在一定失谐范围内，随着失谐强度的增加或耦合刚度的减小，结构响应的局部化程度逐渐增大，σ=0.10(K_c=1)时结构响应的局部化因子增大到谐调时的5倍，必须采取相应的抑振措施。