行星滚柱丝杠副(planetary roller screw mechanism,PRSM)是一种可以将直线运动与旋转运动相互转化的滚动螺旋传动装置。PRSM具有大推力、高精度以及长寿命等优点,正逐渐应用于航空航天航海等军用领域[1, 2]与石油、化工、冶金及注塑等民用领域[3]。
目前,国内外对于PRSM的理论研究已有一定基础,理论研究主要集中在运动学分析、轴向变形、摩擦力矩、动态特性以及传动效率等方面[4, 5, 6, 7, 8, 9]。螺纹牙载荷分布是PRSM承载特性的重要体现,直接影响PRSM的运转平稳性、承载能力和寿命,载荷的均匀分布也有利于提高PRSM的刚度与抗冲击性能。在PRSM螺纹牙载荷分布方面,杨家军等[10]依据Hertz弹性接触理论,将滚柱作为整体,建立了刚度模型,得到了载荷分布与轴向刚度曲线;Jan等[11]将滚动体等效成承受剪应力的矩形单元,建立了载荷分布计算模型,并与有限元解进行对比;Jones等[12]通过直接刚度法建立了PRSM轴向刚度的弹簧组模型,在此基础上得到了螺纹牙载荷分布,并分析了滚柱个数与滚柱螺纹牙个数对载荷分布的影响。上述研究对于PRSM螺纹牙载荷分布规律研究提供了有益参考,但对于安装方式、受力状态与螺纹设计参数对载荷分布的影响并无系统研究,且未揭示载荷分布不均现象的本质。
本文综合考虑PRSM丝杠、滚柱与螺母的轴段变形、螺纹牙变形与啮合点Hertz变形,并计入了安装方式与受力状态对载荷分布的影响,建立PRSM载荷分布计算模型,得到了螺纹牙载荷分布规律。在此基础上,分析了材料参数与螺纹结构参数对于螺纹牙载荷分布规律的影响,分离出影响较大的参数。通过设计时选取合理的结构参数,有利于改善PRSM的均载特性,提高PRSM的承载能力与寿命。
1 PRSM结构与模型假设 1.1 PRSM结构PRSM结构如图 1所示,由丝杠A、滚柱B、螺母C、内齿圈D、滚柱保持架E及弹性挡圈F等组成。其中,丝杠与螺母均为多头螺纹,梯形牙型,滚柱为 单头螺纹,其牙型加工成球面轮廓,三者牙型角相同。多个滚柱均布于丝杠周围,分别与丝杠螺纹及螺母螺纹啮合。两内齿圈安装于螺母两端,并与之固连,滚柱两端的直齿与内齿圈啮合,以保证滚柱轴线平行于丝杠轴向。两端的保持架确保滚柱在丝杠周围均匀布置。
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| 图 1 PRSM结构示意图 |
本文的研究基于以下几点假设:
1)仅考虑轴线方向螺纹牙的变形与载荷;2)仅考虑单个滚柱与丝杠及螺母的啮合;3)仅考虑弹性变形的影响；4)不考虑螺纹牙啮合间隙的影响。
2 PRSM螺纹牙载荷分布建模PRSM承载后,滚柱分别与丝杠和螺母啮合发生弹性变形,包括轴段的拉压变形、螺纹牙承载变形以及螺纹牙啮合点接触变形。本文考虑上述3种变形,根据变形协调关系与受力平衡关系,建立PRSM螺纹牙载荷分布模型。
2.1 轴段刚度轴段刚度是丝杠、滚柱或螺母的2个相邻承载螺纹牙间基体的拉压刚度,对于丝杠和螺母,轴段刚度为一个螺距内基体的刚度,即
式中,EX为零件材料弹性模量,P为螺距,z为滚柱个数,AX为零件最小横截面积,下标X代指S或N,分别表示丝杠或螺母。
由于滚柱同时与丝杠和螺母啮合,所以其轴段刚度为半个螺距内的刚度,即
式中,ER为滚柱材料弹性模量,AR为滚柱最小横截面积。 2.2 螺纹牙刚度
如图 2所示,螺纹牙承载后发生的轴向变形有:螺纹牙弯曲变形δ1,剪力引起的变形δ2、牙根倾斜引起的变形δ3、由牙根剪切引起的变形δ4以及由径向分力引起的变形δ5[13]。
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| 图 2 各种原因产生的PRSM螺纹牙变形 |
图 2中a为螺纹牙底厚度,b为螺纹牙厚,c为螺纹牙顶厚度,hf为螺纹牙底高,h为螺纹牙高,滚柱牙型中各参数定义与之相同。Fa为螺纹牙所受轴向载荷,Fr为螺纹牙所受径向力。径向力与轴向力满足如下关系[7]
式中,θ为螺纹牙型角,本文中丝杠、滚柱与螺母的牙型角均为90°。各变形的计算方法如下[13]: 式中,μ为材料泊松比,E为材料弹性模量。由于内外螺纹结构不同,由径向分力引起的变形并不相同。将外螺纹等效为直径为外螺纹小径d1的实心圆柱,将内螺纹等效为外径为D0、内径为内螺纹大径d的空心圆柱,并用δ5-e表示外螺纹的变形,δ5-i表示内螺纹的变形。对于外螺纹,由径向分力引起的变形为
对于内螺纹,由径向分力引起的变形为
因此,丝杠、滚柱与螺母螺纹牙在承载后的总轴向变形为
对应螺纹牙的刚度即为
虽然PRSM中丝杠、滚柱及螺母的牙型近似相同,但是其螺纹牙刚度并不相同,这是因为螺纹牙刚度由牙型参数与结构参数共同决定。PRSM中丝杠、滚柱与螺母结构参数有着确定关系,因此,在牙型参数相同的情况下,三者的螺纹牙刚度并不相同。一般情况下,kRF>kSF>kNF。
2.3 接触刚度对于2个空间曲面的接触,其接触变形沿两曲面公切面垂线方向,由于本文所研究的受力与变形均在轴线方向,因此需将其投影至轴线方向。根据Hertz理论,点接触变形为[14]
式中,Σρ是两接触曲面的曲率和函数,δ*是与Σρ相关的接触参数。Fn是两接触螺纹牙之间的法向接触力,可通过其轴向载荷求出[7],即 式中,αR为滚柱螺纹的螺旋升角,Fa为螺纹牙轴向载荷。则此时的接触刚度为 式中,X可取S或N,分别表示丝杠侧与螺母侧螺纹牙接触刚度。 2.4 安装方式
PRSM存在2类安装方式,即丝杠与螺母在同侧安装,以及丝杠与螺母在异侧安装。在同一种安装方式下,由于螺母所受载荷方向的不同,有2种不同的受力状态,如图 3所示。不同安装方式下,PRSM螺纹牙载荷分布规律不同,同种安装方式的不同受力状态下,螺纹牙载荷分布规律相同,即负载方向对载荷分布没有影响。
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| 图 3 PRSM不同安装方式与受力状态 |
如图 4所示,考虑上述3种刚度,建立行星滚柱丝杠副在图 3d)所示异侧安装,丝杠受拉螺母受拉状态下的载荷分布模型,建模方法同样适用于图 3中其他3种情况。
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| 图 4 PRSM载荷分布模型 |
图 4中螺母受到工作载荷F,丝杠支撑端产生大小相等方向相反的力F,PRSM达到力平衡。其中丝杠与螺母分别有n个螺纹牙参与啮合,而滚柱分别与丝杠和螺母啮合,共有2n个螺纹牙参与啮合,在两侧分别形成n个啮合螺纹牙对。定义丝杠侧最接近支撑端处螺纹牙序号为1,滚柱与螺母按照相同方向定义,并定义丝杠、滚柱与螺母的第i节轴段为其第i个与第i+1个螺纹牙之间的轴段。FXRi表示丝杠侧或螺母侧的第i对啮合螺纹牙上的轴向载荷,对应螺纹牙上的黑色箭头表示所受轴向力的方向。滚柱与丝杠或螺母的相邻两对接触螺纹牙形成一个闭环,闭环内的两啮合点在轴向满足变形协调关系,如图 5所示。
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| 图 5 螺纹牙变形协调关系示意图 |
图 5中粗实线表示承载之前螺纹牙与轴段的状态,虚线表示承受载荷发生变形后的状态。其中,PX是丝杠或螺母的螺距,下标X可取S或N,分别表示丝杠和螺母,PR是滚柱螺距。i表示螺纹牙序号,Δl表示承受载荷后闭环内发生的3种轴向变形,其下标B代表轴段变形、T代表螺纹牙变形、H代表啮合点Hertz变形。
以螺母侧为例,根据变形协调关系,有
式中,ΣlNi为螺母侧第i个闭环内螺母变形量总和,ΣlRi为对应闭环内滚柱变形量总和。并有
对于PRSM,有PN=PR=PS,并将(16)式、(17)式与3种刚度代入(9)式中,得：
同理,可以写出形如(18)式的丝杠侧全部闭环的变形协调方程。另外,螺母与丝杠所受外力等于其各自所有螺纹牙上所受轴向载荷的总和,即
由(18)式与(19)式,得到PRSM载荷分布的矩阵方程,即 式中,f=[FNR1,FNR1,…,FNRn,FSR1,FSR1…FSRn]′为螺纹牙载荷向量,b=[0,0,…,0,F,F]′,A为平衡矩阵
(15)式为平衡矩阵A的分块矩阵形式,其中第一行与第二行子矩阵分别是由螺母侧与丝杠侧所有闭环的变形协调方程生成;第一列与第二列子矩阵分别表示由丝杠侧与螺母侧接触力引起的轴向变形量;C1,C2则表示由(19)式生成的分块矩阵,表示螺纹牙载荷的总和与PRSM外载的平衡关系。
由于接触变形的非线性,两接触侧接触刚度kRSC与kRNC是随载荷而变化的,因此矩阵方程(14)是非线性方程。本文采用如下迭代计算方法求解方程(20):首先假设PRSM螺纹牙载荷为均匀分布,计算出相应的接触刚度,此时,发生啮合的每对螺纹牙的接触刚度均相同。其次,将接触刚度值代入模型中进行计算,得到了假设条件下的载荷分布。再使用求出的载荷分布分别计算每对螺纹牙在此接触力下的接触刚度,将其代入模型中得到新的平衡矩阵,并进行再一次求解,如此进行反复迭代计算,直至 
则认为螺纹牙载荷收敛,并选取第k次计算结果作为方程组的解。
采用文献[12]中的参数进行分析,并与其结果进行对比,结果如图 6所示。图中纵坐标表示螺纹牙实际载荷与平均载荷的比值,称为螺纹牙载荷分布不均系数;横坐标使用百分比表示滚柱上所有参与啮合的螺纹牙。由图可见,丝杠侧载荷分布规律与文献[12]吻合较好,而螺母侧载荷分布存在差异,最大相差9％。主要原因是本文采用的螺纹牙刚度模型中考虑了由于螺纹牙径向受力而产生的变形,螺母螺纹牙刚度为1.57×107 N／m,而丝杠螺纹牙的3.25×107 N／m,螺母螺纹牙刚度小于丝杠螺纹牙刚度,这对螺母侧螺纹牙的载荷分布起到了均化作用。
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| 图 6 PRSM载荷分布计算结果对比 |
本文采用一套承载能力为5 t的PRSM参数,进行载荷分布研究,分析安装方式、受力状态与结构参数等对螺纹牙载荷分布的影响规律。PRSM结构参数和材料参数如表 1和表 2所示。
| 名称 | 代号 | 数值 |
| 丝杠中径/mm | dS | 24 |
| 滚柱中径/mm | dR | 8 |
| 螺母中径/mm | dN | 40 |
| 螺母外径/mm | D0 | 55 |
| 丝杠头数 | nS | 5 |
| 滚柱头数 | nR | 1 |
| 螺母头数 | nN | 5 |
| 螺距/mm | P | 2 |
| 牙型角/(°) | θ | 90 |
| 滚柱螺纹牙数 | n | 20 |
对图 3b)、图 3c)与图 3d)所示不同安装方式与受力状态下PRSM螺纹牙载荷分布进行计算,结果如图 7所示。
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| 图 7 不同安装方式与受力状态下PRSM螺纹载荷分布规律 |
由图 7a)与图 7b)可知,PRSM在2种安装方式下,其轴向载荷在螺纹牙间的分布规律并不相同。PRSM异侧安装时,丝杠侧与螺母侧的螺纹牙载荷变化趋势相反,同侧安装时,丝杠侧与螺母侧载荷分布变化趋势相同,丝杠侧载荷分布不均现象比螺母侧严重。两侧载荷分布趋势不一致的原因主要有2点:①由于丝杠与螺母轴段的累积变形与对应接触侧载荷分布不均程度成正比,累积变形的大小主要由轴段刚度决定,因此轴段刚度越大载荷分布越均匀;②由于螺纹牙刚度对载荷分布有小幅影响,较小的螺纹牙刚度对载荷分布有均化的作用。本算例中螺母的轴段刚度大于丝杠轴段刚度,并且其螺纹牙刚度小于丝杠,因此螺母侧的载荷分布比丝杠侧均匀。
2种安装方式下,两接触侧载荷分布都是按照从支撑端开始由大到小的规律变化。同侧安装方式下,无论是丝杠侧还是螺母侧,载荷分布不均现象都要比异侧安装方式严重。这是因为两接触侧螺纹牙载荷间存在相互影响作用,当丝杠与螺母同侧安装时,会加剧载荷分布不均现象。从滚柱寿命的角度考虑,PRSM工作时,滚柱螺纹牙上某一点是按照“丝杠-螺母-丝杠”循环啮合,因此同侧安装方式会出现滚柱一端螺纹牙承受的载荷总是比另一端大,导致滚柱一端提前失效破坏的现象。而异侧安装载荷分布不均程度低于同侧安装,且两侧载荷分布规律趋势相反,一定程度上可抵消螺纹牙载荷分布不均现象。因此,实际应用中合理选择PRSM安装方式,有着重要的意义。
另外,由图 7b)与图 7c)可知,在本文的计算模型下,PRSM在相同安装方式不同受力状态时,其螺纹牙载荷分布规律相同,说明受力状态对螺纹牙载荷分布规律没有影响。
3.2 滚柱螺纹牙数对螺纹牙载荷分布的影响以下对异侧安装方式,丝杠受拉螺母受拉状态下,结构参数对PRSM螺纹牙载荷分布的影响规律进行分析。图 8给出滚柱螺纹牙数从10到50时螺纹牙载荷分布不均系数。由图 8可知,丝杠侧与螺母侧的载荷分布不均程度都随着滚柱螺纹牙数的增加而严重。当滚柱牙数从10增加到50时,丝杠侧第一对螺纹牙的载荷分布不均系数从1.108增加到2.469,而螺母侧最后一对螺纹牙也从1.03增加至1.32。这是因为滚柱牙数较少时,丝杠与螺母的轴段累积变形也较小,载荷分布更加均匀。当滚柱牙数超过30以后,螺母侧的载荷分布出现明显的“两边大中间小”现象,而丝杠侧并未出现类似现象。这是因为丝杠侧与螺母侧的螺纹牙载荷会相互影响,但是由于螺母的轴段刚度较大,螺母侧对于丝杠侧的影响敏感性较高。而丝杠的轴段刚度较小,对螺母侧螺纹牙载荷的影响敏感性较低,并且由于螺母侧螺纹牙载荷分布较为均匀,对于丝杠侧的影响较小,因此图 8a)中丝杠侧并未出现“两边大中间小”现象。
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| 图 8 滚柱螺纹牙数对PRSM载荷分布的影响 |
此外,当滚柱螺纹牙数达到50时,丝杠侧前10对螺纹牙承受了近40％的载荷,PRSM寿命会因此降低。反之如果滚柱螺纹牙数较少,会使螺纹牙的平均载荷增大,接触应力增大,寿命缩短。因此,在PRSM设计过程中需合理的设计滚柱牙数。
3.3 牙型参数对螺纹牙载荷分布的影响PRSM的牙型参数主要包括螺距、牙高及牙型角等,这些参数共同确定了螺纹牙型。由于螺纹牙型角一般设计为90°,本文仅分析牙高与螺距对螺纹牙载荷分布的影响。
PRSM螺纹牙高分别选取0.19mm、0.38mm、0.57mm、0.76mm与0.95mm,结果如图 9所示。
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| 图 9 牙高对PRSM螺纹牙刚度的影响 |
由图 9可知,随着螺纹牙高的增大,丝杠、滚柱及螺母的螺纹牙刚度均有所提高,但变化相对较小,PRSM螺纹牙高对其刚度的影响较小。因此可以推断,PRSM螺纹牙高对载荷分布影响较小。
选取螺距为0.4mm、0.8mm、1.2mm、1.6mm与2.0mm,与之对应的牙高分别为0.19mm、0.38mm、0.57mm、0.76mm与0.95mm,结果如图 10所示。
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| 图 10 牙型参数对PRSM载荷分布的影响 |
由图 10可知,随着牙高与螺距的减小,两接触侧螺纹牙载荷分布不均现象都有明显改善。当牙高减小至h=0.19 mm,螺距为0.4 mm时,两侧载荷接近于均布。虽然螺纹牙刚度会随着牙高的减小而减小,但是其对载荷分布的影响很小;而随着螺距的减小,轴段刚度变大,载荷分布不均现象明显改善,其对载荷分布的影响比较明显。当螺距与牙高同时减小时,螺纹牙载荷分布不均现象有很大改善。因此,设计PRSM时,可以通过选择较小的牙型参数以使PRSM螺纹牙载荷分布更加均匀。
4 结 论1) PRSM螺纹牙载荷分布主要由材料参数、结构参数及安装方式决定。其中,丝杠与螺母轴段的累积变形对螺纹牙载荷分布起主要作用。
2) PRSM异侧安装时的螺纹牙载荷分布比同侧安装时均匀,同种安装方式下不同的受力状态,载荷分布规律相同。
3) 随着滚柱螺纹牙数的增加,载荷分布不均程度增大,并且由于丝杠侧与螺母侧载荷存在相互影响,当滚柱牙数大于30后,异侧支撑时螺母侧出现“两边大中间小”的现象。
4) PRSM螺纹牙型参数对载荷分布有很大影响,螺距的影响最为突出,较小的牙型参数有利于载荷分布更加均匀。
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