2. 中国工程物理研究院电子工程研究所, 四川绵阳 621900
基于独立成分分析(independent component analysis,ICA)的图像加密解密算法会产生解密输出图像顺序不确定问题[1]。解决输出图像顺序问题最简单的就是应用图像特征提取与匹配法，即在加密前用某种特征提取算法在明文图像中提取特征信息，提取算法保证提取的特征信息具有独特性；在解密后，用同样的算法在解密图像中提取特征信息，然后与传送过来的明文图像特征信息进行检测匹配，可以找到与明文图像特征信息对应的解密图像。
文献[1]采用传统的直接特征提取法与间接特征提取法解决顺序问题。
直接特征提取法提取的仅是图像灰度相对变化的信息，对灰度变化不明显的图像识别率低；不同大小的分块意味着数据量的不同，分块大则识别特征的数据量小，但因灰度变化差异小而识别困难，分块小则识别特征的数据量大，会增加计算复杂度。
间接特征提取法提取图像的边缘信息，对于边缘细节信息不明显的图像则不适用；由于在图像进行二值化与边缘化处理时，使用了经验阈值，对于相关度较大的图像序列，该方法不能有效匹配图像。
1 本文总体方案概述由基于ICA的图像加密解密算法得到的解密图像具有顺序不确定性问题，属于灰色系统。本文采用特征提取与匹配的基本思想，首次提出引入灰色系统理论匹配ICA明文-解密图像对，首先利用主成分分析(principal component analysis,PCA)提取图像主成分，建立灰预测模型GM(1,1)；提取图像的灰模型参数特征；对明文图像与解密图像的灰参数特征进行灰关联分析计算，灰关联度最大的图像对就是匹配的明文图像与解密图像。与传统方法即直接提取法与间接提取法相比较，本文方法原理简单，运算数据量小，匹配准确，且具有普适性。总体方案如图 1所示。
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| 图 1 本文总体方案框图 |
目前使用最广泛的灰色预测模型是一个变量一阶微分的GM(1,1)模型[2]。GM(1,1)模型是利用随机的原始时间序列，经按时间累加后所形成的新的时间序列呈现的规律用一阶线性微分方程的解来逼近。
灰色预测模型GM(1,1)的构造过程如下：
建立GM(1,1)只需一个数列：
对之作一次累加生成，得到
对x(1)建立白化方程：
这是一阶一个变量的微分方程模型，记作GM(1,1)。其中，a为灰色发展因子，b为灰作用量。
记参数列为â
根据最小二乘法求解â，得
白化形式的微分方程的解为
对之作一次累减生成，得到预测模型GM(1,1)为
GM(1,1)灰参数a与b的参数辨识算式[3]是：
2.2 灰色关联分析
灰色关联分析是把灰色系统中的各种复杂因素之间的关系转化为曲线间几何形状的比较，对样本的数量和规律性要求比较低，计算量小。邓氏关联度[2]是灰关联分析理论最常用的方法之一。
邓氏关联度的计算方法如下：
设参考序列为
比较序列为
j=1,2,…,I∈N用来标识各个比较序列，I为比较序列的个数，记x0与xj的第k项灰关联系数为ξ0j(k)，则邓氏关联度为
式中:
ζ为分辨系数，是一个事先取定的常数，通常取值范围为0.1~0.5，以保证 ，本文取0.5。
r0j的计算考虑了不同特征参数对各关联系数的不同影响程度，对每个关联系数赋予不同的权重[4]，权重因子满足
3 基于灰色系统理论的ICA解密输出图像顺序确定算法流程
本文算法的第一部分是计算图像的PCA数据[5]，首先计算图像的协方差矩阵，求解该协方差矩阵的特征值和特征向量，根据特征值的大小，取出较大的特征值及其所对应的特征向量，然后计算白化矩阵，提取得到图像矩阵的主成分数据。基于PCA的图像特征压缩算法流程如图 2所示。
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| 图 2 基于PCA的图像特征压缩算法流程框图 |
第二部分是灰预测模型GM(1,1)参数的提取，首先对得到的PCA数据进行级比校验，对于级比校验不合格的序列，作数据变换处理，得到满足级比校验的数据序列，建立GM(1,1)模型，然后根据灰色发展因子 与灰作用量 的辨识算式进行灰参数特征特征a、b的计算提取。基于GM(1,1)模型的特征提取算法流程如图 3所示。
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| 图 3 基于GM(1,1)模型的特征提取算法流程框图 |
第三部分是基于灰关联分析的图像匹配，将解密图像提取的灰参数a、b作为比较序列，明文图像对应的灰参数作为参考序列，然后对数据进行归一化处理，最后对不同明文-解密图像对进行灰关联分析计算，灰关联度最大的图像对就是匹配的明文图像与解密图像。基于灰关联分析的图像匹配算法流程如图 4所示。
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| 图 4 基于灰关联分析的图像匹配算法流程框图 |
为验证算法的普适性，本文分别对关联性强和独立性强的明文-解密图像集进行匹配测试。
测试图像集分为2组，如图 5所示，图 5a)为3幅独立性强的图像：图 5(1)与图 5(2)的相关系数为0.080 47，图 5(1)与图 5(3)的相关系数为0.093 51，图 5(2)与图 5(3)的相关系数为0.066 90；图 5b)为3幅相关性强的图像：图 5(4)与图 5(5)的相关系数为0.784 13，图 5(4)与图 5(6)相关系数为0.741 3，图 5(5)与图 5(6)的相关系数为0.746 7。
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| 图 5 明文图像集 |
对2组图像集分别进行基于ICA的图像加密解密实验[1]，解密输出图像结果如图 6所示，从解密结果图 6a)我们可以看到ICA解密图像顺序存在不确定性。
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| 图 6 解密结果图像集 |
采用第3节中的算法流程对图 5、图 6的明文-解密图像对进行匹配测试，将图 6a)的解密图像图 6(1)~(3)分别作为比较序列，与作为参考序列的图 5a)的明文图像图 5(1)~(3)两两成对进行灰关联分析计算；将图 6b)的解密图像图 6(4)~(6)分别作为比较序列，与作为参考序列的图 5b)的明文图像图 5(4)~(6)两两成对进行灰关联分析计算。
以灰色发展因子a为识别对象，分别对图像对“图 6a)-图 5a)”和图像对“图 6b)-图 5b)”进行灰关联分析计算，实验结果如表 1、表 2所示；以灰作用量b为识别对象，分别对图像对“图 6a)-图 5a)”和图像对“图 6b)-图 5b)”进行灰关联分析计算，实验结果如表 3、表 4所示。以图 5中的(1)~(6)明文图像为参考序列，表 1~表 4中每列最大的灰关联度R的结果清晰地反映出了与明文图像对应的解密图像，解决了解密图像顺序不确定问题。灰色发展因子a与灰作用量b 2个特征参数的有效识别性，表明了灰预测模型GM(1,1)的准确性。
| 明文(1) | 明文(2) | 明文(3) |
| R1-7=0.564 27 | R2-7=0.986 02 | R3-7=0.748 82 |
| R1-8=0.689 87 | R2-8=0.748 82 | R3-8=0.988 43 |
| R1-9=0.993 52 | R2-9=0.706 10 | R3-9=0.739 89 |
| 明文(4) | 明文(5) | 明文(6) |
| R4-10=0.982 65 | R5-10=0.662 55 | R6-10=0.727 29 |
| R4-11=0.762 76 | R5-11=0.978 63 | R6-11=0.742 82 |
| R4-12=0.727 29 | R5-12=0.742 51 | R6-12=0.972 65 |
| 明文(1) | 明文(2) | 明文(3) |
| R1-7=0.702 59 | R2-7=0.977 82 | R3-7=0.732 89 |
| R1-8=0.639 69 | R2-8=0.682 94 | R3-8=0.992 15 |
| R1-9=0.979 85 | R2-9=0.647 02 | R3-9=0.639 69 |
| 明文(4) | 明文(5) | 明文(6) |
| R4-10=0.987 29 | R5-10=0.684 69 | R6-10=0.598 29 |
| R4-11=0.578 52 | R5-11=0.975 28 | R6-11=0.569 75 |
| R4-12=0.585 02 | R5-12=0.569 75 | R6-12=0.980 28 |
从实验结果可以看出，本文方法对于相关性强或独立性强的图像都能进行精确地识别匹配，相较于传统的直接提取法或间接提取法，具有普适性。
灰关联度表征了GM(1,1)建模数据序列变化的相似程度，反映了参考序列与比较序列在空间几何上的相对距离。使用基于灰色系统理论的特征提取与匹配方法，对于每幅128*128=16 384个灰度数据量的明文图像或解密图像，只需通过主成分分析与灰色建模的方法提取1*32的特征向量作为参考序列或比较序列；同样的128*128图像若以8*8分块进行直接提取法，则需要256个数据作为提取的特征。本文方法大量减少了匹配所需的图像特征信息，方案整体算法复杂度与时间复杂度低。
5 结 论本文采用基于灰色系统理论的特征提取与匹配方法，通过提取PCA主成分数据建立灰预测模型GM(1,1)，将模型参数作为灰关联分析的数据序列进行灰关联度计算，在所提取的有效数据量少的情况下，能够准确匹配明文-解密图像对，很好地解决了ICA解密图像的顺序不确定的问题。
实验结果表明，本文方法原理简单，计算复杂度小，提取的特征参数简单有效，特征数据量不受图像分块、图像纹理及图像相关度的影响，对解决ICA解密图像顺序问题具有很好的应用前景。
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2. Institute of Electronic Engineering, China Academy of Engineering Physics, Mianyang 621900, China