机场作为民用航空的重要基础设施之一, 其运行安全关系整个航空运输系统的安全与效率。机场运行安全以预防监控为主, 为保证民航机场始终处于安全适用状态, 对机场运行安全进行评估非常必要^[1]。然而机场系统本身所具有的复杂性导致其存在一些难以度量的因素, 机场运行安全在“部分确知, 部分不确知”的状态下, 具有很高的灰色性^[2]。因此, 机场运行安全评估过程中, 除了要考虑其确定性, 专家主观上的不确定性以及评估过程中的随机性也是不可避免的。因此, 针对这些不确定性以及随机性进行研究就成为了目前机场运行安全评估的关键所在。

实际应用中, 常常利用层次分析法(AHP)及其变型^[3-8]对机场运行安全进行评估。层次分析法的基本原理是对一个复杂问题进行分解, 将分解后的各个指标按照支配关系进行重组, 最终形成一个有序的递阶层次结构。通过将各个指标进行两两比较, 确定层次中各个指标的相对重要性, 最后结合专家的判断来给出决策各个指标相对重要性的总排序。

当通过定量描述方法难以解决决策问题时, 层次分析法给予了决策者极大的便利, 因此层次分析法广泛应用于各个科学领域。然而, 层次分析法也存在一定的不足。首先由于人们在建立判断矩阵过程中对指标的把握不能做到百分之百精确, 这就使得权重结果会因为人的主观因素存在较大的误差; 其次判断矩阵的构造带有明显的个人色彩, 数值化的数据也意味着可能存在误差, 人们根据经验所得出的判断往往不是一个确定的数。例如, 将A, B方案进行比较, 根据实际经验得出A方案比B方案重要程度在4~5之间。显然, 通过量化的方法确定模糊量, 或者将模糊量变成没有弹性的硬指标是不合理的。因此, 近年来国内外专家引入区间判断矩阵, 利用区间数模拟人们在判断过程当中的主观模糊性, 并保证信息的完整性^[9-10]。主观判断产生的不确定性导致了区间判断矩阵的相关研究较为复杂, 因此Saaty等^[11]通过分析不确定因素, 给出区间判断矩阵的排序权值。Arbel利用线性规划模型给出了区间判断矩阵排序权值的另一种方法, 但仅考虑了一致性区间判断矩阵^[12]的情况。随后, Arbel等又讨论了不一致性区间判断矩阵的情形^[13], 并给出了求解排序权值的方法。文献[14]提出了基于区间运算的区间幂法, 区间运算问题的相关理论, 见文献[15-16]。

本文针对机场运行安全评估的特点和传统层次分析方法的不足, 综合考虑评估的确定性和不确定性, 引入估计区间判断矩阵的谱半径, 并将其做为位移, 提出一个带有位移的区间反幂法, 以提高其收敛速度, 并结合计算机场运行安全指标的权重区间以及相对重要程度, 将其用于中国某机场运行安全评估中。

1 基于区间运算的区间幂法

首先介绍区间分析的相关概念。

设I(R)表示闭实区间数的全体, I(Rⁿ)表示n维实区间向量, I(R^n×n)表示全体n维实区间矩阵的集合。

设X^I=[x, x]={x|x≤x≤x, x,x, x, ∈R}, 其中R表示全体实数的集合, 显然X^I∈I(R)。

设X^I, Y^I∈I(R), X^I=[x, x], Y^I=[y, y], 则X^I和Y^I的加减乘除四则运算定义为

(1)

(2)

(3)

(4)

设A^I=(A_ij^I), B^I=(B_ij^I)为n维实区间矩阵, 则实矩阵加减法以及乘法的定义如下

(5)

考虑求解以下区间判断矩阵按模最大特征值问题

(6)

式中，A^I=[A, A]是区间判断矩阵, λ_max是A^I的按模最大的特征值, x^I=[x, x]是λ_max对应的区间特征向量。类似于实矩阵, 可以利用区间幂法计算按模最大的特征值及其对应的区间特征向量。

从而区间判断矩阵的区间幂法算法表述如下:

区间幂法：

设A^I=[A, A]。利用区间幂法可以计算A^I的按模最大的特征值λ₁及其对应的区间特征向量x₁^I。

1) 任意给定初始非负区间向量

计算

2) 迭代

3) 检验, 若不成立, 则k=k+1, 转步骤2);否则继续。

4) 归一化v_k+1^I

λ₁就是所求的按模最大的特征值, 且x₁^I是其对应的区间特征向量。

2 带有位移的区间反幂法

求矩阵按模最小特征值, 可以利用反幂法, 求矩阵按模最大的特征值及其相应的特征向量, 可以利用带有位移的幂法。用矩阵A-qI代替A应用幂法, 即把幂法应用于矩阵(A-qI)^-1, q≠λ_i, 其迭代公式为

(7)

式中，m_k=max(y_k), q为A的谱半径估计的上界, 则

(8)

其收敛商为, q越接近于λ₁, 收敛速度就越快。为求按模最大的特征值λ₁, 位移q可取谱半径估计的上界, 可以由以下定理进行估计。

定理^[14]  设A为n维非负不可约矩阵, B=(I+A)^n-1, 其中I为n维单位矩阵, 则对任意正整数k, 有

(9)

把谱半径估计上界作为位移q, 很好地逼近谱半径ρ(A), 并且其收敛商较小, 收敛速度较快。

将带有位移的反幂法进行推广, 得到带位移的区间反幂法, 其迭代格式表示如下

(10)

式中，,λ_i为A的谱半径估计的上界, E^I为区间单位矩阵。

从而

(11)

从而可以得到区间判断矩阵的带有位移的区间反幂法算法。

带有位移的区间反幂法算法:

设A^I=[A, A]。应用区间反幂法可以计算A^I的按模最大的特征值λ₁及其对应的区间特征向量x₁^I。

1) 任意给定初始非负区间向量

(12)

(13)

计算

(14)

(15)

由, 得y₁^I。

2) 迭代

(16)

(17)

由, 得y_k+1^I。

3) 检验, 若不成立, 则k=k+1, 转步骤2);否则继续。

4) 归一化z_k+1^I

(18)

(19)

λ₁就是所求的按模最大的特征值, x₁^I是其对应的区间特征向量。

3 实验分析 3.1 建立机场安全评估指标

鉴于机场运行安全风险存在一定的随机性和较高的不确定性, 机场运行安全评价指标的选取, 既需要全方位考虑到反映机场运行过程中存在的各种潜在风险, 还应体现机场安全评估的客观性以及主观性。本文以中国某机场为例, 对其运行安全进行评估, 并通过数值实验分析实际情况。采用文献[1]收集的中国某大型机场6年内发生的运行不安全事件, 通过HFACS(human factors analysis and classification system)方法^[17]分析不安全事件发生的基本原因(如表 1所示), 可以构造运行安全评估指标的递阶层次结构(如图 1所示), 其中HFACS方法在事件分析中作为人因分类工具, 定义了不安全行为、不安全行为的前提条件、不安全的监督和组织影响四个层次的失效。根据系统论创始人贝塔朗非^[18]的观点, 系统与系统之间以及系统内部之间是相互关联, 并与环境相互联系组成的集合。从系统论的观点出发, 与机场运行安全有关的因素可以划分为4类:人、设备、环境以及管理, 具有高度的不确定性, 如表 1与图 1所示。

3.2 建立区间判断矩阵

本文中采用区间层次分析法(IAHP)^[19], 通过两两判断得到区间判断矩阵时, 可采用AHP中的传统9标度法, 借助一个区间来表示判断矩阵的元素。

3.3 计算各层元素的组合权重

假定第k-1层上n_k-1个指标已经计算得出, 其相对于总目标的排序权重区间向量为W^(k-1)=(w₁^(k-1), w₂^(k-1), …, w_n^(k-1))^T, 设p_j^(k)=(p_1j^(k), p_2j^(k), …, p^(k)_nkj)^T是第k层上n_k个指标对第k-1层上第j个指标为准则的排序权重区间向量, 其中不受j支配的指标的权重为零。令P^(k)=(p₁^(k), p₂^(k), …, p_nk-1^(k))为n_k×n_k-1区间矩阵, 其含义为k层上元素对k-1层上各指标的排序, 则第k层指标对总目标的合成排序向量W^(k)可以表示为

通常    

式中，W⁽²⁾所表示的含义为第2层上指标对总目标的排序向量, 即单准则下的排序向量。

第1步  设根据建立区间判断矩阵规则, 利用专家打分对机场运行安全的评估得到如下区间判断矩阵

第2步  计算每个区间矩阵的区间特征向量

第3步  计算指标总的区间权重向量W=机场运行安全评估指标权重区间结果如表 2所示。

归一化处理:W=, 结果如表 3所示。

进一步计算各指标的相对重要性, 定义m(A)为指标的相对重要性估计, r(A)表示重要性估计的不确定性, 采用中心区间的形式表示个指标的权重区间向量:, 通过上述方法计算得到的机场运行安全评估指标权重区间的重要性估计结果如表 4所示。

根据表 4结果可以定量地确定机场运行安全指标的相对重要性。鉴于机场运行安全评估存在的不确定性, 在对指标权重进行相对重要性排序时, 还要根据机场运行监控决策者的偏好和所评估机场的特点, 综合考虑权重区间的中点和半径。在本文算例中, 当决策者着重考虑权重区间中点值时, 即认定上面16个权重区间的谱半径近似为0.05, 那么各指标相对重要性排序为表 5和图 2所示。

从表 5和图 2可以看出, 安全意识、地面环境、安全文化建设、安全监督和人员技能等指标较为重要, 对机场运行安全的影响也较大; 机场净空条件、明确工作职责、人员心理和生理素质等指标对机场运行安全的影响相对较小。这与表 1中的机场运行不安全事件基本原因统计分析结果比较吻合, 说明本方法的计算结果是有效的。此外, 由图 2可见, 机场运行监控决策者的偏好对评估有较大影响作用, 这说明该方法不仅能够有效地计算指标权重区间, 而且能够考虑评估的不确定性, 使机场运行监控决策者参与其中, 实现专家和决策者的协同评估, 更符合实际需求。这样可以避免传统AHP方法在求得权重向量后, 简单地按数值大小进行排序, 而使决策者无法参与评估的缺陷。

4 结论

本文研究了一种改进的层次分析方法, 通过估计区间判断矩阵的谱半径, 并将其作为位移, 提出了带有位移的区间反幂法, 并将此算法用于国内某机场运行安全评估中。与传统AHP方法相比, 本文所提算法够综合考虑机场运行安全评估中的确定性和不确定性, 根据机场运行监控决策者的偏好信息, 综合计算机场运行安全评价指标的组合权重区间和相对重要程度, 克服了传统AHP方法在求得权重向量后, 对数值大小进行简单排序, 导致决策者无法参与所引起的不足。所提算法兼具有效性和灵活性, 非常适用于机场运行安全的不确定评估。下一步工作可以在基础上, 采集实际数据, 全面完成机场运行安全评估工作。