近年来, 伴随科技的快速发展, 通信系统、雷达系统、遥感遥测系统被广泛应用生活与军事, 导致空间电磁环境日益复杂, 开展电波在复杂环境下传播问题的研究意义重大^[1-3]。

抛物方程模型可以同时处理复杂大气结构、不规则地形、不同地表介质等复杂环境对电波传播的影响, 能预测点对点之间的路径传播损耗以及区域电磁特性覆盖, 是研究复杂环境下电波传播问题的最为准确、有效的模型之一^[4]。自Leontovich和Fock从Helmholtz波动方程推导出抛物方程(parabolic equation, PE), 并建立了对流层电波传播建模的理论框架以来, 抛物方程模型就一直在电波传播研究领域中展现其强大的适应性^[5]。针对电波传播的复杂环境, 为保证模型计算的精准度, Dockery和Kuttler^[6-7]将边界阻抗考虑进SSFT(split-step fourier transform)解法中, 提出了离散混合傅里叶变换(discrete mixed fourier transform, DMFT)方法, 随后又提出后向差分的离散混合傅里叶变换方法提高了算法应用在复杂环境中的稳定性。很多学者也在研究不规则地形下的抛物方程^[8-10], 而Ozgun^[11]提出的不规则地形条件下的双向抛物方程解法则提高了抛物方程的精度, 并有学者进行了算法的加速研究^[12]。现阶段针对复杂环境下的抛物方程开展了大量研究, He等^[13]分析了象境下传道波播模型; Sheng等^[14]利用抛物方程分析了不规则地形和粗糙海面复杂地理环境下毫米波的特征及其在标准大气、雨和雾的复杂气象环境中的应用等。

标准抛物方程(standard parabolic equation, SPE)作为PE的主要形式之一, 在远距离电波传播预测中应用广泛。SPE的解法主要分步傅里叶变换SSFT和有限元法及有限差分法等数值解法等^[15-16]。由于SSFT解法在求解抛物方程时比其他方法更加高效, 所以在电波传播问题研究中应用广泛。虽然SSFT相对于其他解法已经是SPE的快速解法, 但实际应用中采用的都是固定步长方法, 在研究大范围电波传播问题中依然效率较低, 尤其是双向抛物方程、不规则地形等在复杂环境下的抛物方程, 需要的计算量巨大。国内外学者也提出相应的算法以进一步提高SSFT的计算效率, 张青洪等^[17]提出非均匀网格的解法, 但未给出网格选择范围; Chen等^[18]提出不规则地形下的可变步长技术, 但是并没有给出相应的步长选择范围。

1 抛物方程简介

PE大多情况下使用直角坐标系xyzO下的表达式, 假设电波以向+x方向很小角度方向传播, 那么从二维标量Helmholtz方程推导出的PE在Taylor展开取前2项近似后得到标准抛物方程

(1)

式中, u(x, z)表示电场或磁场的波函数; k为真空中的波数; n表示大气折射指数。

假设, 公式1的解可以表示为

(2)

式中, 。此时, 可将指数项分离为

(3)

使用幂级数展开及傅里叶变换方法求解公式(2)后的结果为^[16]

式中, Δx表示步进的步长; p为频域的变换量; F(·)和F^-1(·)表示傅里叶变换及其逆变换; exp[ikΔx/2(n²-1)]表示传播媒介对电磁波的折射效应, 称为折射因子; exp(iΔxp²/2k)表示电磁波传播过程中障碍物对电波的绕射效应, 称为绕射因子; u(x₀, z)表示初始场的场分布。

但值得注意的是, 使用SSFT方法得到的结果是在∂n/∂z=0, 即折射率不随高度上变化的前提下推导而出。但在复杂的对流层环境中, 大气结构为垂直分布, 因此会导致∂n/∂z≠0, 因此公式(3)所示的指数项分离的条件并不满足, 如果仍然使用SSFT方法则必然会导致误差的产生, 而且从公式(3)可知, 误差来自Δx，A，B三项。

2 误差分析及复杂环境下的步长选择

由于SSFT解法是一个步进求解的过程, 即每一次步进的步长是可以变的, 这就为变步长技术提供了可能。但上一小节的分析说明SSFT的误差和步长的选择有关, 如果选择的步长不合适, 可能会造成误差过大的情况。因此, 本小节对SSFT进行误差分析, 讨论步长、频率等因素与误差的关系, 得出满足误差条件时的步长范围, 并在此基础上对复杂环境分类, 在不同的环境中选择相应的步长, 以达到计算精度与计算效率的均衡。

2.1 SSFT的误差分析

本小节分析当指数项分离条件不满足时SSFT解法所造成的误差与步长、频率的关系, 得到可选择步长的最大限度, 从而为变步长技术提供选择基准。

假设∂n/∂z≠0, 指数项分离带来的误差用e_d表示为

(4)

将公式(4)按幂级数展开并取前3项可得

(5)

那么对于误差的推导, 关键就是对ABu-BAu的计算。

在SPE的SSFT解法推导过程中, 有

(6)

因此可得误差e_d为

(7)

在平面波情况下有∂u/∂z=iksinαu, 带入公式(7)得到相对误差|e_dr|

(8)

由公式(8)可知, 在传播仰角一定的条件下, 分离指数项的误差主要取决于步长Δx, ∂²n/∂z², ∂n²/∂z和波数k。

假设大气环境为标准大气, 即dM/dz为常数, 则

(9)

式中，dM/dz≈-40 M/km; M₀≈300 M。

令dM/dz·10^-6=c, M₀·10^-6=m₀, 则有

(10)

将∂n²/∂z, ∂²n²/∂z²及k=2πf/c代入, 得到相对误差|e_dr|、步进距离Δx、频率f之间的关系为

(11)

式中, υ为光速。在对流层高度内c²z≪(1+m₀)c, 且在频率f>2 MHz时

(12)

因此, |e_dr|可近似为

(13)

假设传播仰角α为15°, 相对误差与步长Δx、频率f的关系曲线如图 1所示。

从以上推导和仿真结果可看到, 如果保持相对误差不变, 那么发射频率越高要求步进步长越小; 同一频率下, 越低误差要求步进步长越小。在图 1中, 相对误差1%、频率为4 GHz时, 要求步长小于150 m, 在频率为10 GHz时, 要求步长小于100 m, 这也就是意味着计算量增加了30%左右, 说明步长的变化对于误差、计算量都有较大影响。并且从图 1可以看出, 满足误差条件下的步长具有一定的选择空间, 这也就为步长限定了基本的选择范围。

在基于SSFT算法求解SPE时, 由于SPE的形式和SSFT算法的本身的特点决定了解存在误差, 这种误差与n的分布形式、电磁波的频率以及步长Δx相关。在确定传播环境的大气折射率n, 而电波频率一旦确定, 则Δx的大小是影响计算精度和计算速度的主要因素。

2.2 复杂环境下步长选择

在对流层电磁波传播过程中, 会有地形、大气^[19]、地表介质等复杂环境的影响, 因此也形成了各种修正PE模型, 以增强PE的适应性。上一节给出了简单环境与步长选择的关系。

根据上一小节分析可知, 在误差要求范围内步进步长有较大的选择空间, 为了具体描述复杂环境与步长的关系, 对不同单一环境条件分别选取固定步长50, 100, 150 m(75 m)作为对比, 分析不同环境因素作用机理及变化趋势对步长要求。实验结果如图 2所示。如图 2所示, 图 2a)~2d)为不同环境条件下固定步长50, 100, 150 m(75 m)在不同水平距离上的传播因子曲线, 这里选取的固定步长为较小的50 m作对比, 具体分析不同环境因素作用机理及变化趋势对步长要求。图 2a)为不规则地形下传播因子随高度变化曲线, 但由于此时100, 150 m步长方法分别比步长50 m最大相差约5, 15 dB, 且随高度上升相差逐渐减小, 在高度约200 m处曲线基本重合, 因此在地表剧烈变化时, 步长选择50 m; 图 2b)为大气变化剧烈环境下传播因子随高度变化曲线, 此时150 m步长方法分别比步长50 m相差约3 dB, 而100 m步长与其基本重合, 因此大气变化剧烈环境下步长选择100 m可保持与50 m相近精度; 图 2c)为2种地表介质交界(中等干地和湿地)处传播因子随高度变化曲线, 但由于此时150 m步长方法分别比步长50 m最大相差约2 dB, 而100 m步长与其基本重合, 因此2种地表介质交界处步长选择100 m可保持与50 m相近精度; 由图 2d)可知大气剧烈变化和地表介质交界处叠加区域, 步长100 m与比步长50 m相差约2 dB, 步长75 m则与步长50 m基本重合。

通过上述仿真及分析, 在这些不同的复杂环境中对电波传播的影响并不相同, 其中以地表高程影响最大, 其次为大气、地表介质等。这也就说明要达到相同精度, 在不同环境下所要求的步长也并不一致, 即地形高程变化时要求较小步长, 而相对地, 大气、地表介质等变化时则要求较大步长。在保持电磁波的频率不变求解不规则地形条件下(适用于一般山区或丘陵地区)电波传播问题时, 目前计算最为精确的分段线性移位变换法, 主要对求解时的折射因子(对应折射率n)、绕射因子、修正边界进行修正^[20]。大气剧烈变化主要修正PE模型中的折射因子, 不同地表介质的主要影响PE模型中的修正边界^[21]。则在保证精度的情况下, 在复杂环境与步长选择的关系描述上, 不规则地形变化越大, 大气环境变化越剧烈, 地表介质越复杂, 所对应的步长越小。

这里, 将复杂环境分级并对变步长抛物方程解法提出3个基本准则:

1) 步进步长至少满足对相对误差的要求;

2) 复杂环境等级高, 选择较小步进步长;

3) 复杂环境等级低, 选择较大步进步长。

表 1是对复杂环境进行的分类结果, 根据以上思想与误差分析的讨论, 可以得出变步长SSFT解法对步进步长的一般要求

(14)

式中, Δx₁为地表高程变化剧烈区域所对应的步进步长; Δx₂为大气环境变化剧烈区域所对应的步长; Δx₃为不同地表边界条件交界区域所对应的步长; Δx₄为简单环境所对应的步长; Δx_max为公式(13)中要求误差条件下可选取的最大步长。

因此在实际应用时, 利用公式(13)和(14)计算出变步长SSFT解法的步长选择范围, 结合图 2仿真分析, 这样就可以同时避免固定步长解法在复杂环境中选取大步长的精度缺失与小步长的计算效率低下问题, 提高标准抛物方程的精度和效率。

3 仿真实验

通过以上2个小节的分析, 下面介绍仿真条件, 以固定步长SSFT计算结果为对比, 对变步长解法的性能进行仿真验证与分析, 说明变步长方法的高效性与可靠性。

3.1 仿真条件

1) 地表高程的变化采用如图 3所示的类正弦地形, 地形的变化分布在20~25 km之间。

2) 不同距离范围内, 地表介质变化如表 2所示。

3) 大气环境变化

大气环境和边界条件相对应, 0~70 km为陆地, 大气环境为标准大气, 70~100 km为海面环境, 大气环境为蒸发波导。

仿真采用的频率为3 GHz, 要求误差上限为1%, 由(13)式得出可选取步长最大为170 m, 采用变步长抛物方程理论对上述不同区域的复杂环境设置不同的步进步长, 最终采用的步长分布如表 3所示。

根据环境的复杂度等级对不同区域内选择不同的步长, 20~25 km为复杂度Ⅰ的地表高程剧烈变化区域, 因此选择最小步长50 m; 35~45 km为复杂度为Ⅲ的地表介质变化区域, 因此选择步长100 m; 65~75 km处为复杂度为Ⅲ与Ⅱ的叠加区域, 因此选择较小步长75 m; 其他区域为复杂度Ⅳ的简单环境, 因此选择最大步长150 m。

3.2 仿真结果

为了验证变步长SSFT解法的可靠性, 选取固定步长50 m作为对比, 与上述所采用变步长SSFT解法的精度相比较。实验结果如图 4所示。

如图 4所示, 图 4a)~4d)分别为不同复杂环境条件下变步长与固定步长解法在不同水平距离上的传播因子曲线, 这里选取的固定步长为较小的50 m, 作为验证变步长SSFT解法精度的对比。图 4a)为水平距离23 km传播因子随高度变化曲线, 此处环境复杂度为Ⅰ, 但由于此时变步长方法选取的是最小步长50 m, 因此也能精确表现出这种变化; 图 4b)为水平距离27 km传播因子随高度变化曲线, 由于此处位于类正弦地形的背面, 因此会出现电磁波传播的阴影区。但由于此时环境复杂度为Ⅳ, 虽然变步长SFFT选择150 m, 还是与固定步长达到同样的精度; 图 4c)为水平距离41 km传播因子随高度变化曲线, 此处环境复杂度为Ⅲ, 变步长选取了较大的100 m步长, 达到了与固定步长相近的精度; 图 4d)为水平距离47 km传播因子随高度变化曲线, 由于复杂度为Ⅳ, 因此选取步长为150 m, 这时也和固定步长的结果相近。

通过上述仿真及分析, 可以看到变步长SSFT解法可以达到较小固定步长相近的结果, 从而证明了变步长SSFT解法的可靠性。

为了验证变步长SSFT解法的高效性, 设置计算范围为100 km, 分别选取固定步长50, 75及100 m作为对比, 与表 3所采用的变步长效率比较。计算时间与效率结果如表 4所示。

表 4是变步长与固定步长的效率比较, 可以看到在100 km范围内相对于50, 75, 100 m的固定步长解法, 水平方向采样点数分别减少了58.4%, 37.5%, 16.7%, 计算时间分别减少了71.4%, 45.78%, 19.11%。同时由图 4及分析可知, 变步长解法可以达到与较小的固定步长相同的计算精度。这说明变步长解法在不影响精度的同时所带来的计算效率收益是较大的, 而大范围复杂环境电波传播预测问题中这一优势会凸显地淋漓尽致。

4 结论

传统的抛物方程固定步长SSFT解法在远距离电波预测问题中效率较低, 不能进行实时预测。本文在对SSFT解法误差分析基础上, 提出SSFT的变步长解法, 可有效克服固定步长计算效率低的问题, 提高了SSFT解法在各种复杂环境下的适应性。通过仿真分析不同环境、步长下的传播因子, 并与固定步长解法相比较, 验证了变步长技术的可靠性与高效性, 说明变步长技术可以在不影响计算精度的情况下, 进一步提高抛物方程的求解效率, 这对于复杂环境电波传播特性研究具有巨大意义。