据统计, 工程结构在服役期间的失效大约90%是由疲劳引起的, 疲劳的裂纹萌生和扩展是工程结构失效的主要原因, 近年来损伤容限设计广泛应用于飞机结构设计中^[1]。从损伤容限要求的角度出发，知道从初始微观裂纹扩展至结构失效的临界尺寸需要多久，对评估结构剩余寿命，以便建立检查间隔和维护周期是很有必要的。因此, 对工程结构而言, 尤其是航空航天领域的构件的精确裂纹扩展路径和裂纹扩展寿命预测是一个非常重要的问题。

扩展有限元(XFEM)^[2-3]作为一种新兴的数值方法, 基于传统有限元方法, 并且克服了传统有限元在裂纹扩展过程中需要对裂纹尖端的网格进行重划分的缺点, 通过扩充位移项来描述不连续的位移场, 使裂纹独立于网格存在, 从而能够模拟任意形状的裂纹。因此, 其在疲劳裂纹扩展方面已获得了广泛的应用^[4-6]。文献[7]利用XFEM研究了飞机外蒙皮埋头钉孔划窝深度和角度对蒙皮裂纹扩展寿命的影响。文献[8]使用XFEM预测了长桁框腹板的裂纹扩展轨迹, 结果与试验吻合较好。陆勇俊等^[9]使用XFEM对飞机典型长桁连接件疲劳裂纹稳定扩展阶段的寿命进行了计算模拟, 与疲劳试验结果吻合较好, 误差在10%以内。尽管上述国内外学者的研究工作表明XFEM在解决工程实际问题中具有一定的可行性与准确性。但是关于XFEM在航空结构件疲劳寿命预测方面的报道不多, 而且在翼梁结构疲劳裂纹扩展路径及寿命预测方面的文献几乎没有。

本文基于Abaqus软件的扩展有限元XFEM分析, 首先对含中心穿透斜裂纹平板在等幅载荷下的疲劳裂纹扩展路径和寿命进行了预测和试验验证, 证明本方法在相对简单的二维裂纹扩展问题中的适用性; 然后选取某通勤类飞机机翼翼梁典型结构的几何和材料参数, 对带初始裂纹的加筋翼梁结构在等幅疲劳载荷下的裂纹扩展路径和裂纹扩展寿命进行了预测和试验验证, 证明本方法在带止裂筋的三维复杂裂纹扩展问题中的适用性。

1 数值计算方法 1.1 低周疲劳

Abaqus中提供了亚临界循环载荷作用下部件低周疲劳裂纹扩展准则。疲劳裂纹的萌生和扩展使用Paris公式表示, 见图 1, 将裂纹扩展速率与裂纹尖端的能量释放率ΔG相关联。Paris法则通过ΔG表示, 其中G_max和G_min分别为结构最大载荷P_max和最小载荷P_min对应的应变能释放率, ΔG=G_max-G_min。G_thresh为应变能释放率门槛值, G_pl为应变能释放率上限值, G_C为临界应变释放率，G_equivC为基于用户指定的混合模式断裂准则计算得到的临界等效应变能释放率。Paris法则以G_thresh和G_pl为上下界, 低于G_thresh, 疲劳裂纹不扩展; 高于G_pl, 疲劳裂纹将快速扩展至破坏; 介于G_thresh和G_pl的中间直线区域, 是疲劳裂纹稳定扩展区域, 也是Paris法则控制区域。

另外, Abaqus中疲劳裂纹萌生准则定义为

(1)

式中，c₁和c₂是材料常数, N是循环次数。直到以上方程和G_max>G_thresh同时满足, 疲劳裂纹才会扩展。一旦疲劳裂纹扩展准则被满足, 裂纹扩展速率通过能量释放率范围ΔG计算得到。每个循环中的裂纹扩展通过Paris公式计算

(2)

式中，c₃和c₄是材料常数。

1.2 材料常数换算

由(1)式和(2)式可知, Abaqus软件只支持能量释放率G形式的Paris曲线数据, 软件帮助文档中只是说明在计算时需要的c₃, c₄为材料常数, 但是没有任何其他关于c₃, c₄取值的说明。因此, 这给使用该方法解决工程问题带来了困惑。原始的Paris公式为应力强度因子K形式的

(3)

式中，参数C, m为材料常数, 是通过拟合裂纹扩展数据得到的。

在线弹性断裂力学范畴内, 应变能释放率G和应力强度因子K之间有如下关系式

(4)

式中

将(4)式改写成

(5)

将(5)式代入(2)式有

(6)

求得Abaqus中参数c₃, c₄与Paris公式参数C, m之间的关系为

(7)

(8)

这样, 就可以将试验得到的或材料手册查到的Paris公式参数C, m通过(7)式和(8)式换算成c₃, c₄进行计算。

2024-T351铝合金在应力比R=0.1下裂纹扩展速率曲线如图 2所示, 数据取自参考文献[10]。通过对图 2中间线性段裂纹扩展数据进行线性拟合, 得到裂纹扩展速率的Paris公式如下

(9)

即参数C=1.093 7×10^-11, m=2.855 6。根据(7)式和(8)式将(9)式换算成能量释放率形式的Paris公式

(10)

即Abaqus软件需要的输入参数c₃=9.425 5×10^-5, c₄=1.427 8。计算用到的所有2024-T351铝合金材料参数见表 1:

2 试验验证 2.1 中心斜裂纹平板

中心斜裂纹平板试验件的材料为2024-T351铝合金, 尺寸为300 mm×100 mm×2 mm, 如图 4所示。板中心有一穿透斜裂纹, 裂纹长度a=10 mm。裂纹与垂直中心线的夹角θ=30°的2件, θ=60°的2件。2种试验件裂纹切口细节见图 5所示。

将该平板两端预留的夹持端与夹具连接, 再将夹具夹持在MTS810电液伺服疲劳试验机的上下2个活动夹头中并夹紧(见图 3)。裂纹扩展试验在等幅疲劳载荷下进行, 最大应力σ_max=70 MPa, 应力比R=0.1, 试验频率f=10 Hz。

为了预测中心斜裂纹平板在等幅疲劳载荷作用下的疲劳裂纹扩展路径和疲劳裂纹扩展寿命, 建立了基于扩展有限元XFEM的数值计算模型(见图 6), 使用三维实体减缩积分单元C3D8R划分网格, 使用一几何平面代表初始裂纹的位置。

平板上边施加70 MPa的均布载荷, Abaqus中低周疲劳分析采用direct cyclic分析步, 定义疲劳载荷只需要定义一个周期内载荷随时间变化信息。图 7中定义了以最大载荷幅值为1, 最小载荷幅值为0.1的载荷幅值曲线, 载荷循环周期为0.1 s。平板下边约束y向自由度。

2.2 整体加筋翼梁

整体机加止裂筋翼梁试验件如图 8所示。试验件材料为2024-T351铝合金, 试验件长度495 mm, 高度330 mm, 梁腹板厚度2 mm, 梁缘条厚度6 mm, 高度31 mm; 位于梁腹板高度1/3处有一止裂筋, 止裂筋厚度t=5 mm, 高度w=16 mm。梁的下缘条正中间有一初始裂纹, 裂纹深度为将整个下缘条切断, 直至下缘条与梁腹板过渡圆角根部。

试验件的2个对角被夹在U型夹具之中, 并通过销轴加载。销轴与加载孔间隙配合, 孔的尺寸为ϕ20₀^+0.3, 销轴的尺寸为ϕ19.2_-0.3⁰。U型加载夹具的加载杆夹持在MTS810电液伺服疲劳试验机的上、下活动夹口中, 如图 9所示。

试验载荷为等幅疲劳载荷, P_max=28 478 N, 载荷比, 试验加载频率f=10 Hz。

翼梁典型件的有限元模型如图 10所示。有限元模型网格采用六面体单元划分, 止裂筋附近网格细化, 梁腹板厚度方向划分2层单元。由于本问题主要考虑的是止裂筋对翼梁腹板裂纹扩展的影响, 因此为了降低计算时间, 除了止裂筋的过渡圆角在模型中建出外, 其余过渡圆角在建立有限元模型时忽略。

为了使有限元模型中的约束和加载与试验件安装在MTS系统疲劳试验机上的状态一致, 采用如下方法给模型约束和加载：首先在试验件模型2个加载孔的中心位置分别创建2个参考点RP-1和RP-2, 然后将参考点RP-1和RP-2分别与它们所对应的加载孔内表面建立耦合(coupling)约束。

约束:将参考点RP-1采用固定约束, 并释放绕z轴转动自由度。

加载:在参考点RP-2上施加等幅拉-拉疲劳试验载荷, 载荷方向在2个加载孔中心连线上。P_max=28 478 N, 载荷比, 试验加载频率f=10 Hz。载荷幅值曲线见图 7。因为图 7中定义的载荷幅值曲线为0.1~1 N之间，而这里真实的试验载荷为2 847.8~28 478 N，因此需要在图 7定义的载荷幅值曲线基础上再乘以一个28 478的载荷系数。

3 计算与试验对比分析 3.1 中心斜裂纹平板

图 11为裂纹倾斜角度θ=30°时平板的疲劳裂纹扩展路径的试验结果与XFEM预测结果, 图 12为裂纹倾斜角度θ=60°时平板的疲劳裂纹扩展路径的试验结果与XFEM预测结果。从以上2图可以看出, 裂纹扩展路径的预测结果与试验结果非常吻合。

图 13为裂纹倾斜角度θ=30°时平板的疲劳裂纹扩展的a-N曲线, 图 14为裂纹倾斜角度θ=60°时平板的疲劳裂纹扩展的a-N曲线。其中specimen-1为1#试验件的疲劳裂纹扩展数据; specimen-2为2#试验件的疲劳裂纹扩展数据; XFEM为基于扩展有限元XFEM方法的低周疲劳计算得到的中心斜裂纹平板的疲劳裂纹扩展数据。

从图中可以看出, 裂纹倾斜角度θ=30°时1#试验件裂纹扩展寿命为320 781次循环, 2#试验件裂纹扩展寿命为319 781次循环, XFEM预测的裂纹扩展寿命为309 417次循环, 裂纹扩展寿命与试验结果平均值误差为3.4%;裂纹倾斜角度θ=60°时1#试验件裂纹扩展寿命为132 431次循环, 2#试验件裂纹扩展寿命为146 788次循环, XFEM预测的裂纹扩展寿命为140 473次循环, 裂纹扩展寿命与试验结果平均值误差为0.62%。

3.2 整体加筋翼梁

图 15a)为翼梁试验件在168 076次载荷循环下的疲劳裂纹扩展路径; 图 15b)为翼梁在178 650次载荷循环下的有限元计算Mises应力云图及裂纹扩展路径。通过对比图 15a)和图 15b)可以看出, 基于扩展有限元XFEM的数值计算方法预测的裂纹扩展路径与试验结果吻合良好。

图 16为翼梁构件疲劳裂纹扩展的a-N曲线, 其中specimen-1为1#翼梁试验件的疲劳裂纹扩展数据; specimen-2为2#翼梁试验件的疲劳裂纹扩展数据; XFEM为基于扩展有限元XFEM方法的低周疲劳计算得到的翼梁疲劳裂纹扩展数据。从图中可以看出, 1#试验件裂纹扩展寿命为168 076次循环, 2#试验件裂纹扩展寿命为173 024次循环, XFEM预测的裂纹扩展寿命为178 620次循环, 裂纹扩展寿命误差为6.3%。

4 结论

本文根据线弹性断裂力学理论, 推导出了Abaqus中材料参数c₃, c₄与Paris常数C, m之间的换算关系式, 明确了材料参数c₃, c₄的取值依据。然后基于扩展有限元XFEM法的有限元数值计算方法对中心斜裂纹平板和整体加筋翼梁结构在等幅疲劳载荷下疲劳裂纹扩展特性进行了研究:

1) 对中心穿透斜裂纹平板在裂纹倾斜角30°和60°情况下的裂纹扩展路径和寿命进行了预测, 裂纹扩展路径与试验结果吻合良好, 裂纹扩展寿命误差在3.4%内。表明该方法可精确预测二维平面裂纹的扩展路径和寿命。

2) 对整体加筋翼梁的裂纹扩展路径和寿命的预测与试验结果有很好的一致性, 疲劳裂纹扩展寿命误差约为6.3%。表明该方法适用于带止裂筋的三维复杂结构的疲劳裂纹扩展路径和寿命预测, 可以为结构的损伤容限设计提供有效途径, 具有一定的工程应用价值, 可用于型号设计中。

3) 本文的方法仅是在等幅疲劳载荷情况下进行了试验验证, 还具有一定局限性。未来需要对载荷谱作用下结构的疲劳裂纹扩展路径和寿命进行预测研究, 使其更具普适性。