随着经济全球化的推进, 制造商的业务重点开始从单纯的销售产品, 向营销产品与售后服务并重的模式转变^[1]。作为产品售后的重要组成部分, 质保服务可以帮助企业博取顾客信赖、赢得市场。质保是制造商对产品发生的特定故障现象, 向顾客提供更换、维修等服务的契约^[2]。根据定义质保界限的变量数量, 质保可以分为一维质保、二维质保以及多维质保。一般的, 产品在初始销售时会附带基本质保(basic warranty, BW)条款。BW结束后, 顾客需要对是否支付额外费用购买延长质保(extended warranty, EW)合同作出决策。从制造商的层面, 只有当EW的售价超过EW期间所要承担的维修费用时才能盈利。因此, 延长质保(延保)的价格是交易双方都关注的重要变量。近年来, 一些学者通过考虑不同维修策略构建延长质保的定价模型。Jack等^[3]考虑顾客购买EW的时刻和范围, 利用博弈论方法确定延长质保价格。Musakwa^[4]提出一个生存时间模型, 用于解决有限使用量数据下的汽车延保定价问题。Bouguerra等^[5]在一维质保框架下, 分析维修间隔期和质保范围对延保价格的影响。Tong等^[6]考虑顾客购买EW的时间点, 研究二维EW的定价机制。Darghouth等^[7]考虑维修过程中的学习效应, 优化质保合同的价格和范围。

以上研究多关注修复性维修(corrective maintenance, CM), 而实施预防性维修(preventive maintenance, PM)措施往往可以减少产品故障次数, 降低质保成本和停机风险。Kim等^[8]从产品寿命周期的角度, 讨论质保期内最优离散PM方案。Chen等^[9]考虑2类故障模式, 分析连续PM措施对可更新免费更换质保策略的影响。Chang等^[10]制定产品寿命周期内最优PM方案以提高制造商利润。Su等^[11]研究柔性质保合同下质量升级和PM策略联合优化问题。Su和Wang^[12]以顾客何时购买EW为决策点, 针对不同顾客分阶段地提供定制化PM服务。

现有文献主要考虑一维延长质保的优化问题, 针对二维延长质保定价机制的研究还很少见。此外, 由于工作环境和使用方式不同, 产品的性能退化和故障规律存在很大差异, 质保定价模型应考虑上述因素影响。本文将二维PM策略引入到延保价格模型中, 考虑PM实施区间和顾客使用率的差异性, 从交易双方的角度构建延长质保成本模型, 采用网格搜索法分析不同PM方案对延长医保价格的影响, 并提出定制化的延长质保定价机制。

1 模型构建

假设制造商向顾客提供免费的BW服务, BW区间为Ω_b=(t, u), t∈[0, W_b], u∈[0, U_b], 其中W_b和U_b分别为BW的时间期限和使用量期限。BW结束后, 顾客可以支付额外费用购买EW合同, EW区间为Ω_e=(t, u), t∈[W_b, W_b+W_e], u∈[U_b, U_b+U_e], W_e和U_e分别为EW的时间范围和使用量范围。设质保期内产品发生的故障均采用最小维修方式加以修复, 维修时间忽略不计。为改善产品性能, 制造商实施一系列二维PM措施(每K个时间间隔或每L个使用量间隔实施一次PM, 以先到者为准), 如图 1所示。

制造商承担质保期内产品发生故障的修复成本以及PM的投入成本, 并以此确定延保的最低售价, 消费者在EW的潜在维修费用界定了延保的最高价格。本文的主要目的是分析不同PM方案以及消费者使用率对延长质保价格的影响并探讨定制化的PM策略和延保价格机制。

1.1 产品故障建模

随着使用时间、使用量(里程、次数等)的增加, 机电产品的老化现象逐渐加深。为了解产品的退化性能, 需要对其故障过程进行建模和分析。常用的二维质保故障建模方法包括:两变量法、复合尺度法和使用率法^[13]。由于使用率法能较好地反映时间和使用量对产品故障率的影响, 故本文采用使用率法。令t=0表示产品开始使用的时刻, T(t)和U(t)分别表示产品在时间t时的累积使用时间和累积使用量。假定产品在[0, t)区间内没有发生故障或发生的故障都得到修复且修复时间可以忽略, 则T(t)=t。使用率法假定U(t)和T(t)之间存在一个非负系数R的线性关系。以R表示产品的使用率, R=U(t)/T(t)=U(t)/t。不同用户的使用率具有差异, 但同一用户的使用率保持恒定, 并且单个产品在整个质保期内的使用率也是不变的。因此, 可以认为使用率R是一个非负的随机变量, 并服从函数G(r)=P{R≤r}, 0≤r < ∞。假设对发生故障的产品都采取最小维修方式, 则产品故障服从故障率为λ(t|r)的非齐次泊松过程。为方便案例研究, 本文采用文献[12-13]中的条件故障率函数来描述使用时间、顾客使用率(使用量与使用时间的比值)对产品性能退化的影响。其表达式如下

(1)

式中, θ₀, θ₁, θ₂, θ₃均为非负常数系数。

1.2 不完全PM建模

PM可以减少产品的故障次数, 改变设备的故障率。本文采用文献[8]的年龄回溯模型来描述PM的实施效果。实施PM能够减少产品的虚拟年龄, 减少量取决于PM的水平m, m∈[0, ∞]且为整数, PM的效果随着m的增加而增大。假定在质保期内的离散时刻(π₁, π₂, …, π_j)实施PM, 令π=0表示产品开始使用的时刻, 此时v₀=0, 令v_j-1表示实施第(j-1)次PM活动后产品的虚拟年龄, j≥2。则第j次PM活动实施前产品的虚拟年龄为v_j=v_j-1+(π_j-π_j-1)。若PM水平为m, 则第j次PM活动后产品的虚拟年龄为v_j=v_j-1+δ(m)(π_j-π_j-1)。δ(m)为PM的年龄递减因子, 0≤δ(m)≤1。δ(m)是m的递减函数, δ(0)=1, δ(∞)=0。如果m=0, 则PM没有对产品故障率造成影响, 产品修旧如旧, 存在v_j=π_j, j≥2;如果实施最大水平的PM, 则产品相当于修复如新。多数情况下, m介于0与∞之间, 即实施不完全PM活动, 导致产品的故障率介于修旧如旧与修复如新之间的状态。本文采用指数型递减函数来描述δ(m)与m之间的关系，即δ(m)=(1+m)e^-m。

2 模型的建立

站在制造商的角度, 总质保成本包括最小维修成本和PM成本。令C_m和C_p分别表示单次最小维修成本和单次PM成本, E[C(K, L, m)]表示制造商在EW内的期望质保成本, 其中K和L分别为PM活动的时间间隔和使用量间隔, m为PM实施的水平。考虑到不同顾客使用率具有差异性, 其质保期结束的时刻也不一致。给定一类消费者的使用率为r, 则其产品在BW和EW结束时的时间分别为:

(2)

(3)

于是, EW的实际长度为

(4)

在BW和EW内, 基于时间维度下二维PM的间隔期分别为:

(5)

(6)

设质保期内PM的水平m保持不变, 则实施第j次PM活动后, 产品的虚拟年龄为

(7)

2.1 刚性延保价格模型

基于以上描述, 分别从制造商和顾客的角度, 给出4种PM方案下延长质保的价格模型。分别令P_{l, i}和P_{u, i}表示制造商制定的最低延保价格和最高延保价格, i=1, 2, 3, 4, 对应4种PM方案。从数值上看, P_{l, i}相当于EW内实现最优PM策略时的延长质保成本, 而P_{u, i}根据EW内没有实施PM活动时的延长质保成本来确定。

Case 1   整个质保期内没有PM活动。令产品在延长质保期间的期望故障数为N_e, 有

(8)

由于此方案下产品发生自然状态下的退化现象, 所以针对所有顾客, 延保价格为

(9)

Case 2   在[0, W_b+W_e]期间实施二维PM措施, 该策略下产品性能得到持续改善。

假定制造商实现最小质保服务成本时, PM的时间间隔和使用度间隔分别为(K^*, L^*), 实施次数为n^*。令n_b^*表示在(K^*, L^*)策略下, BW期间实施的PM次数。于是制造商在EW的质保服务成本为

(10)

延长质保的价格为:

(11)

(12)

Case 3   只在[0, W_b]实施PM活动。该方案导致产品以较低的故障率进入EW。

对于平均使用率r, 制造商的延长质保服务成本为

(13)

由于EW期间没有PM活动, 所以延保价格为

(14)

Case 4   只在延长质保期间实施PM项目。平均使用率r下, 制造商承担的延长质保成本为

(15)

延长质保价格为:

(17)

2.2 定制化延保价格模型

将顾客进行分类并提供相应的质保服务, 是定制化质保合同的有效做法。本文将使用率最低的25%顾客定义为低使用率群体, 使用率最高的25%顾客定义为高使用率群体, 其余50%顾客为中使用率群体。根据该分类方法, 延保最低售价可以调整为如下形式:

(18)

(19)

(20)

于是, 根据EW期顾客支付的最大潜在维修费用, 延长质保的最高价格分别为:

(21)

(22)

(23)

上标l, m和h分别对应低、中和高使用率顾客, N_i^l, N_i^m和N_i^h分别表示定制化方案下3类顾客的产品在EW内的期望故障次数。

3 案例分析

本节以某汽车零部件为例, 验证模型的有效性。假定产品出售时附带二维质保合同, 顾客面临购买EW的决策问题。设W_b=3 a, U_b=3×10⁴ km, W_e=3 a, U_e=3×10⁴ km; λ(t|r)的参数设置为θ₀=0.1, θ₁=0.2, θ₂=0.7, θ₃=0.7, 与文献[12]的数据相同。假设消费者的使用率r服从均匀分布, 其概率密度函数为g(r)=1/(r_max-r_min), r_min≤r≤r_max。参考Huang等^[14]模型中的数值, 本文取r_min=0.2×10⁴ km/a, r_max=3.4×10⁴ km/a, 并令r_l=1.0×10⁴ km/a和r_h=2.6×10⁴ km/a分别表示g(r)的第1个和第3个四分位点。令C_m=250元, 表 1给出了不同PM水平下δ(m)和C_p的取值, 与文献[8]的参数一致。可以看到, 随着m的增大, 年龄递减因子变小, 同时所投入的PM费用升高。

工程实际中, 预防性维修活动的实施通常是离散性的。本文利用MATLAB对模型进行求解, 以得到最优的PM策略及相应的质保成本。为符合PM的可操作性, 案例中K和L的搜索步长分别设置为1个月和1 000 km。

3.1 刚性PM策略和延保价格

表 2给出不同PM水平取值下相对应的PM策略及延长质保价格。图 2显示了延长质保价格的取值范围。表 2中K^*, L^*分别表示给定PM水平下, 制造商实现最低质保服务成本时, 实施PM措施的时间间隔和使用量间隔; 价格区间[P_l, P_u]中, P_l表示制造商制定的最低延长质保售价, P_u表示顾客愿意支付的最高延保价格。考虑制造商的盈利水平和顾客的支付意愿, 价格区间的中间值是双方总体满意度最大的选择。例如m=1时的Case 2, 延长质保价格区间为[2 014, 2 165]元, 平均价格P=(P_l+P_u)/2=2 090元。令P_r(P_r=P_u-P_l)表示每个Case中延长质保售价的范围, 显然P_r越大, 双方的选择范围越大, 制造商的利润空间和顾客承担维修费用的灵活性越大, 满足双方需求的可行解越丰富, 如图 3所示。

根据上述结果, 可以得到以下结论:

1) Case 1和Case 3中, EW期没有PM活动, 所以P_l=P_u, 如图 2a)和图 2c)所示。2 252元是Case 1的平衡点, 延保价格高于2252元, 顾客购买EW的意愿将会降低; 而低于2250元, 制造商则没有质保收益。在Case 3中, BW实施了PM措施, 产品以较低的故障率进入EW期, 延保价格低于Case 1。

2) Case 2中, P_r随着m的增加而增大, 如图 3所示。二维PM策略存在一个现象:当m=4时, 制造商的质保费用最低为921元, 如图 2b)所示, 此时PM的间隔期为9个月或1.5×10⁴ km。原因在于m≥4时, δ(m)逐渐变小, 但是单次PM费用却急速增加。

3) 不同方案中, 最优PM策略也具有差异性(Case 2中m=4, 间隔期为9个月或1.5×10⁴ km, 该方案的P_r也更大, 如图 3所示; 而Case 3和Case 4中m=3, 间隔期为9个月或1.1×10⁴ km)。部分原因是BW和EW期内分别单独实施PM措施时, PM的间隔期相对小, 造成的虚拟年龄减少量也较少, 导致产品的故障率和质保成本下降的少。

3.2 定制化延保价格策略

实际中, 顾客之间的产品使用模式具有差异性, 导致产品呈现出不同的退化规律。因此, 基于使用率将顾客进行分类, 制定与使用模式相适应的PM方案和延保价格机制会更符合工程实际需求, 也可以为不同顾客提供更多选择柔性质保策略的机会。

表 3~5分别给出了3类使用率顾客的最优PM策略和延保价格。据此可以得出以下结论:

1) 针对P_l与P_u的值, 高使用率顾客最小, 中使用率最大, 低使用率介于两者之间, 如表 3~5所示。这是由于:高使用率顾客在很短时间内便结束了质保期, 产品发生故障的维修费用最少; 质保结束时低使用率顾客的使用量远低于使用度期限(U), 说明产品的使用频次比较低, 维修费用也较少; 中使用率顾客的使用时间和使用量都很接近2个维度的期限(W和U), 产品的使用频次和使用时间都很高, 因此产品在2个维度上将会发生严重的退化现象。

2) 在Case 2、Case 3和Case 4中, 随着m的增加, 二维PM的间隔期逐渐变大。说明PM的投入程度越大, 相应的实施频次越低, 以缓解投入过高的PM成本。

3) 顾客使用模式的差异性导致相应的PM策略也随之改变。以Case 2为例, 对于高使用率顾客, 当m=2、间隔期为6个月或1.2×10⁴ km时, 制造商的质保成本最小, P_r也最大; 而针对中、低使用率顾客, m=4时, 制造商的质保成本最少, PM的间隔期分别为10个月或1.2×10⁴ km、12个月或1.0×10⁴ km。说明顾客的使用率越高, PM的实施频次也相应提高, 以减缓产品过高的故障率。

4 结论

本文在二维质保框架下, 针对免费维修质保合同内随机失效的产品, 研究延长质保的定价问题。为反映使用时间和使用量对产品退化性能的影响, 引入二维PM策略。通过构建EW的成本模型, 分析不同PM方案对延保价格的影响, 并提出定制化的延保价格机制。根据案例分析, 得出如下结论:①在BW和EW期内实施统一的PM措施, 制造商会获得更高的延保收益, 顾客也能够体验较高的产品性能; ②为不同使用强度的顾客提供定制化的延长质保价格和PM策略更加符合实际需求。后续研究可以采用按比例分摊质保、可更新免费更换质保等策略。此外，考虑多种维修方式的组合、顾客的风险偏好、环境变量以及不同分布的用户使用率等因素, 也可以丰富柔性质保定价问题, 得到更加符合工程实际的质保策略。