在叶轮机械设计研制过程中, 叶盘系统通常被设计成谐调的, 这样各叶盘结构扇区具有完全相同的物理参数和结构参数, 也就是通常说的圆周循环对称结构。这样就能通过施加周期性边界条件将整个叶排简化为单一叶片进行计算和分析。然而在实际过程中由于加工制造过程中的误差、实际工作的磨损等因素的影响, 叶盘结构的某些叶片的结构或几何参数不可避免的存在偏差。这种现象称之为叶片的失谐。研究表明失谐可以提高叶片的颤振稳定性, 但会提高少数叶片的响应幅值引起叶片的高周期疲劳失效^[1-3](high cycle fatigue failure, HCF)。颤振、HCF问题是叶轮机械在设计阶段关注的主要问题之一。如英国的RB211、美国的F100等机种的发动机在研制过程中都出现过压气机或者风扇叶片的颤振故障, J85-21在制造阶段发生了叶片的高周期疲劳失效, 这些都带来很大的经济损失。所以对失谐叶盘系统的气动弹性特性进行研究对叶轮机械的设计有重要意义。

失谐问题的研究开始于20世纪60年代, 最早由Whitehead^[4]在1964年提出并引起关注, 他发现出现小的频率失谐后, 系统的不稳定特征值变少了。当时的许多学者认为叶片的失谐振动将会使叶片振幅成倍增加而给叶轮机带来强迫响应问题, 引起叶片的疲劳而导致叶片结构的损伤和破坏。1969年, Dye and Henry^[5]通过集中参数模型的研究发现, 在质量或频率失谐时, 少数叶片上的振动幅值和集中应力将显著增加; 80年代, 陆续有学者在研究中发现, 失谐能显著提高颤振边界。1982年, Kaza and Kielb^[6]通过对rotor 12翼型的研究发现失谐能够改善弯扭耦合颤振和非耦合扭转颤振。近年来, 国内外越来越多的研究学者从各个方面开展了失谐叶盘结构振动的研究。Pierre发展了摄动方法来研究模态局部化问题^[7-8], 发现失谐可以提高颤振稳定性但会引起模态局部化现象, 并对引起模态局部化现象的机理做了研究; 采用减缩的有限元模型和实验方式来研究受迫响应^[9-10], 发现受迫响应会随着失谐程度的增加先增大而后减小; 对非线性的失谐叶片振动和叶盘失谐识别也有研究^[11-12]。Petrov提出了一种有效的失谐叶盘建模方法^[13], 通过只求解主自由度来降阶的获得失谐系统的受迫响应; 通过理论和数值模拟分析了失谐对受迫响应的影响^[14-16], 并通过优化得到想要的失谐方式; 使用精确有限元模型研究了摩擦对失谐叶盘振动特性的影响^[17]。

一般研究者^[18-19]大多是从结构间的耦合出发, 通过在频域内求解结构运动方程的特征值问题来研究失谐, 一般将气动力忽略或当成一个小扰动; 而直接从时域入手考虑流固耦合作用研究的只见于文献[20-21]。其在时域内直接求解非定常Euler/N-S方程, 从耦合气动力的角度通过分析叶片的动力响应特性来研究刚度失谐对颤振稳定性的影响, 需要的计算量偏大。本文基于气动力降阶模型, 耦合结构运动方程, 实现了对叶片失谐特性的快速耦合研究。

1 计算方法 1.1 结构模型

应用拉格朗日方程, 流场中叶排的结构运动方程为:

(1)

式中, M为叶排质量矩阵, G为结构阻尼矩阵, K为叶排刚度矩阵, F为各个叶片上受到的模态气动力所组成的向量, F_i为第i个叶片所受到的模态气动力。ξ为结构运动的广义位移。

m为单个叶片的模态质量, k_i为单个叶片的刚度, 且有k_i=mω_i², ω为叶片对于模态的固有圆频率。文中通过改变部分叶片的振动圆频率ω_i的值来模拟叶片的刚度失谐。

引入状态变量:

将叶排结构运动方程写成状态空间形式:

(2)

式中

对于方程(1)的求解可采用2种计算方法, 一种是采用CFD/CSD直接耦合的时域求解^[22], 计算量非常大; 另一种是建立起降阶的气动力模型, 在保证计算精度的同时降低计算量。

1.2 气动力模型

本文所涉及的基本假设有:动态线性非定常流假设, 即假设对于同一叶片来说, 不同叶片运动所造成的非定常气动力是可叠加的^[23]。同时, 假设某一个叶片振动诱导产生的扰动仅能传播至邻近少数的几个叶片^[24]。因此, 我们只需要计算少数几个叶片通道的非定常流场便可模拟整个叶栅的非定常气动力模型。在进行流场计算时, 计算域仅为少数的几个叶片通道, 且非定常效应仅由单个叶片振动引起。

进行系统辨识时, 采用经典系统辨识方法中的最小二乘估计方法来建立离散非定常气动力的降阶模型并识别相应参数, 模型选用ARX模型。

利用参考文献[25-26]的方法, 我们使用多级信号作为输入信号, 叶片的气动力作为输出。假设计算域外的叶片上的气动力可以忽略不计, 按赋零处理, 得到输出量数目与叶排数目一致的单输入/多输出离散系统。其描述方程为:

(3)

式中，y′(m)为系统输出量y′的第m次观测值, u′(m)为系统输入量的第m个值, e′(m)为零均值随机噪声向量, A′_i为待辨识系数矩阵, b′_i为待辨识系数列向量, na和nb分别为输出和输入的延迟阶数。

根据假设, 系统的输入信号为某一叶片的模态位移。设第i个叶片的位移为输入信号, 故令模态位移ξ_i=u′, 则模态气动力系数f_a=y′。为了便于进行气动弹性的稳定性分析, 将(2)式差分模型转化为状态空间模型。定义状态向量:

则离散空间内的气动力状态方程和输出方程可以写为:

(4)

通过双线性变换, 将上式转化为连续系统的状态空间形式, 并略去静态气动力得

(5)

再根据叶轮机的轮换对称性, 假设叶排的叶片总数为N, 将N个状态空间形式的方程进行组合得:

(6)

式中:

组合后得到了叶排多输入/多输出连续系统的气动力状态空间方程, 但是组合后的状态空间矩阵维数非常大, 且矩阵为稀疏矩阵, 零元素占绝大部分, 为了便于计算, 利用平衡截断方法对矩阵进行降阶, 最终得到了降阶气动力模型。

1.3 气动弹性模型

考虑到气动弹性过程是气动/结构耦合的一个不断反馈的过程, 将2个子系统进行反馈的联接, 得到如下的开环气动弹性分析模型:

(7)

这样叶排的颤振稳定性分析就转化为了求解状态方程中气动弹性矩阵的特征值问题了, 矩阵特征值的实部为叶排系统的结构阻尼系数, 虚部为叶片振动频率。当阻尼系数大于零时, 系统稳定; 反之, 系统发散。这样我们可以通过状态空间内特征值的变化来研究刚度失谐对颤振稳定性的影响。

2 算例与分析

计算算例采用标准叶片颤振模型——STCF4^[26], 其叶片弦长为c=0.074 4 m, 叶片在叶栅延伸方向间距为D=0.056 5 m, 叶片安装角γ=56.65°, 共有20组叶片。计算状态为552B实验状态:入口总压为1.714×10⁵ Pa, 出口静压为1.013×10⁵ Pa, 均匀入流角为β₁=-45°, 入口静温T₁=288.15 K。计算中叶片与弦线方向成δ=60.4°夹角的方向做微幅振动。结构参数为:质量比为800, 固有频率为936.2 rad/s。

2.1 正确性验证

为了验证本文提出的ROM方法的正确性, 运用该方法计算了在给定初始位移条件下的八叶排通道的自由振动响应并和参考文献[22]采用CFD/CSD直接耦合的求解结果进行了比较。如图 1、图 2所示, 图 1为叶排系统为谐调时2种方法计算得到的自由振动响应, 图 2为叶排系统按奇数叶片的振动频率减小3%, 偶数叶片的振动频率增加3%的方式发生失谐后的自由振动响应。2种方法的计算结果吻合的很好, 证明本文提出的ROM方法能够用于叶排系统的叶片刚度发生失谐的模拟。

图 3为参考文献[22]方法获得的自由振动响应曲线的频谱分析, 可以看出此时八叶排通道系统有2个不稳定频率。图 4为用本文提出的ROM方法求解出气动弹性方程的特征值, 给出的最不稳定部分特征值的分布, 可以看出八叶排通道系统有两个不稳定特征值, 且其虚部对应的叶片振动频率分别和图 3中的不稳定频率对应。证实了ROM方法可以通过气动弹性矩阵的特征值分布来分析叶排系统的稳定性。

表 1给出了2种方法在主频为2.53 GHz的八核计算机获得图 1的结果所用的计算时间, 对比可知本文提出的降阶方法的计算效率比参考文献[22]方法的计算效率提高了2个量级。且对于颤振稳定性分析我们只需求解出气动弹性矩阵的特征值, 计算时间将会更少。

2.2 主动失谐研究

从图 1、图 2还可以看出, 刚度失谐前叶排系统自由响应曲线发散; 而刚度失谐后曲线收敛。所以刚度失谐可以改善系统的颤振稳定性。为了进一步研究刚度失谐对系统颤振稳定性的影响, 且为了和实际一致我们首先研究了2种典型的主动失谐形式对包含20个叶片的叶排系统的颤振稳定性的影响。如图 5、图 6所示, 图中直线表示谐调时叶片的刚度, 柱状图表示失谐后各个叶片的刚度。其具有4种失谐叶片, 假设失谐量为

4种失谐叶片的振动圆频率分别为:

2种失谐方式的失谐叶片数目相同、所有叶片振动频率的均值等于谐调叶片的振动频率; 只是失谐叶片的分布不同, 失谐方式1是一个“五叶片基本扇区”圆周循环对称结构, 而失谐方式2是一个“十叶片基本扇区”圆周循环对称结构; 且失谐方式1叶片刚度变化过渡剧烈, 而失谐方式2的过渡平滑。

为了分析叶排系统在刚度失谐前后的颤振稳定性特性, 求解出失谐前后气动弹性矩阵的特征值, 并给出了系统的全部特征值和最不稳定部分特征值的分布, 如图 7所示。可以看出, 谐调时系统有部分特征值处于右半平面, 所以谐调时系统不稳定。而在2种失谐方式下系统的特征值在刚度发生失谐后都往左半平面移动, 在一定的失谐量下, 最不稳定特征值处于临界位置, 此时系统由不稳定变为临界稳定状态; 继续增大失谐量, 特征值完全处于左半平面, 此时系统由临界稳定变为稳定。而在由不稳定状态达到临界稳定状态, 失谐方式2需要更大的失谐量; 在相同的失谐量下, 失谐方式1的最不稳定特征值比失谐方式2的处于更加偏左的位置。由此说明刚度失谐可以改变系统的颤振稳定性, 但受到失谐方式和失谐量的影响。

刚度失谐在增加系统颤振稳定性的同时, 也会带来模态局部化现象, 如图 8所示。以一节径模态为例, 图 8给出了在刚度失谐前后叶排的位移模态的幅相图, 可以看出协调时系统的位移模态幅值相同, 以等相角差分布; 而失谐后系统的位移模态变大或变小、叶排不再以等相角差形式分布, 出现了模态局部化现象。

叶排结构处于“准周期对称结构”, 在每个基本扇区之间位移模态保持均匀分布; 但在每个基本扇区内个叶片间是失谐的, 基本扇区内发生了模态局部化现象。相同条件下失谐方式2下的模态局部化程度更严重, 所以“准周期对称结构”基本扇区包含叶片数越多, 其模态局部化程度越严重。

为了更加清楚的说明刚度失谐对系统颤振稳定性的影响, 给出了2种失谐方式下, 系统最不稳定特征值随失谐量的变化如图 9所示。

且为了说明流固耦合作用对刚度失谐效应的影响, 该图还给出了不同质量比下的结果。可以看出在2种质量比下, 系统的颤振稳定性都随着失谐量的增加而改变, 且因为失谐方式1的叶片刚度过渡比失谐方式2剧烈, 所以在失谐方式1下随着失谐量的增加系统将先由不稳定变为稳定。对比不同质量比下的曲线可知, 在小质量比下系统由不稳定变为稳定需要更大的失谐量, 而质量比越小流固耦合作用越强, 所以流固耦合作用降低了系统稳定性变化对刚度失谐的敏感性。

2.3 随机失谐研究

由于加工误差和使用中的磨损导致的叶片间失谐一般是随机性的, 所以文中还研究了在叶片刚度随机失谐情况下, 系统的颤振稳定性和模态局部化的变化。令叶片的频率服从均值为0、标准差为0~1%的正态随机分布。图 10给出一典型随机分布的叶片刚度的柱状图。和主动失谐相比, 其相当于一个“20叶片基本扇区”圆周循环对称结构。

因为失谐的随机性, 所以采用基于Monte Carlo模拟的统计方法来随机失谐对系统性能的影响, 取模拟样本数为500。图 11给出了不同质量比下系统最不稳定特征值的均值随失谐量的变化。

可以看出, 随着失谐量的增加, 系统的稳定性都得到了改善; 在大质量比下系统在失谐量为5.5%左右时就达到了临界稳定, 而此时小质量比下系统还是不稳定的, 所以耦合作用越小, 系统稳定性变化对失谐就更敏感。图中曲线的拐折是由于样本的随机性导致的, 也说明了随机失谐中稳定性的变化同样受到失谐方式的影响。

图 12给出了叶片刚度随机失谐时叶排的位移模幅相图。可以看出在随机失谐方式下叶排间不在符合等相角差、位移模态或变大或变小, 出现了模态局部化现象; 由于其每个基本扇区内的叶片数相对于主动失谐更多, 所以其模态局部化程度更严重。其模态局部化程度仍然受到失谐方式、失谐量、偶合作用的影响。

3 结论

本文基于动态线性流假设和扰动传播有限性假设, 通过降阶的气动力模型, 发展了一种研究高效的叶轮机叶片失谐分析方法, 并通过和直接CFD方法的对比验证了该方法的正确性。运用该方法研究了包含20组叶片的叶排系统在主动失谐和随机失谐前后系统性能的变化, 研究结果表明:

1) 计算结果验证了主动失谐和随机失谐都能改善系统的颤振稳定性, 同时也会引起模态局部化现象。

2) 在失谐叶片数目相同的情况下, 叶片刚度变化过渡越剧烈, 系统颤振稳定性对刚度失谐越敏感; 基本扇区叶片数越多, 其模态局部化程度越严重。

3) 系统的颤振稳定性变化、受到失谐方式、失谐量和流固耦合作用的影响; 失谐量越大系统越稳定、流固耦合作用越弱系统对失谐效应越敏感。