多目标跟踪作为一项关键技术已广泛应用于军事和民用领域^[1]，比如：空中交通管制、监视、侦察、海洋学及自动驾驶汽车等。随着传感器和计算机技术的发展，多目标跟踪的应用领域将会更加广泛。传统的多目标跟踪算法有：最近邻算法、概率数据关联算法、联合概率数据关联算法、多假设跟踪算法等。虽然这些算法都是基于数据关联实现多目标的跟踪，然而它们并不能实现可变数目多目标的跟踪^[2]。近年来，随着随机有限集理论的发展，基于贝叶斯滤波框架利用随机有限集对多目标系统进行建模，基于矩近似的概率假设密度滤波(PHD, probability hypothesis density)^[3]算法和带势的概率假设密度滤波(CPHD, cardinalized probability hypothesis density)^[4]算法被提出。该算法不仅解决了多目标跟踪中存在的数据关联问题，而且实现了对可变数目目标的跟踪。

在目标跟踪方面，虽然PHD算法是在单个目标运动的状态空间中进行，从而避免了数据关联，但是递推PHD的多目标跟踪算法没有闭合解。B N Vo在深入研究的基础上提出了GM-PHD(Gaussian mixture probability hypothesis density)^[5]滤波算法和SMC-PHD(sequential Monte Carlo probability hypothesis density)^[6]滤波算法，并且应用于实际问题，如：双基地雷达跟踪^[7]、声呐跟踪^[8]等。由于PHD滤波算法在缺失真实目标观测的情况下，对目标数目的估计十分敏感，Mahler提出了GM-CPHD(Gaussian mixture cardinalized probability hypothesis density)^[9]滤波算法，该算法在传递PHD的同时还传递目标数目的概率密度，可以更好地实现随机有限集的势估计。为了减少该算法的计算量，文献[10]通过跟踪门策略可以有效地减少计算量而不影响多目标跟踪性能。然而对于水下声呐系统的水下多目标跟踪，虽然文献[11]将SMC-PHD滤波算法用于实际声呐目标跟踪，但是并未对检测概率进行分析。文献[12]对变检测概率条件下的GM-PHD滤波性能进行了分析，但其对检测概率的建模缺少声呐方程和水声理论的依据，跟踪性能有待进一步提高。

为了实现声呐系统对水下多目标的跟踪，结合跟踪门策略，提出一种适用于水下声呐系统的自适应检测概率GM-CPHD滤波算法。该算法比传统GM-CPHD滤波算法增加了椭圆跟踪门以减少计算量，同时提高了水下多目标跟踪的性能。结合椭圆门策略，本文对GM-CPHD，自适应检测概率GM-CPHD滤波算法的跟踪性能进行仿真分析，结果表明，自适应检测概率GM-CPHD滤波算法不仅提高了目标个数估计的精确性，同时可以有效地提高多目标跟踪性能。

1 随机集多目标跟踪基础

多目标跟踪目的就是估计当前时刻多个目标的状态以及总的目标个数，如果用随机有限集中的元素表示目标状态，元素的个数表示目标个数，则可以用一个随机有限集表示多目标状态集合，同时传感器的量测集也可以用随机有限集表示，集合元素表示量测值，集合元素数表示观测目标数，这样将多目标问题转化为随机集有限集问题。因此，多目标的状态集合量测集分别以随机有限集表示如下。

(1)

式中，E_S表示目标状态空间, X_k表示k时刻状态随机有限集, n_k表示k时刻目标个数; E_o表示传感器量测空间, Z_k表示k时刻传感器量测随机有限集, m_k表示k时刻传感器的量测数。

给定k-1时刻的多目标状态集为X_k-1, 综合考虑目标的不同运动情况, 则k时刻的目标状态随机集模型可以表示为:

(2)

式中，S_k|k-1(X_k-1)表示从k-1时刻到k时刻存活的目标随机集, Γ_k表示新生目标随机集。

假设多目标的状态集为X_k, 考虑到传感器量测信息的来源, 则传感器量测可以表示为:

(3)

式中，E_k(X_k)表示由X_k产生的量测随机集, K_k表示杂波(虚假量测)的随机集。

随机有限集在多目标跟踪的应用是基于单目标贝叶斯的推广, 故其滤波形式可表示如下。

(4)

式中，f_k|k-1(X_k|X_k-1)和g_k|k(Z_k|X_k)分别表示多目标状态随机有限集的状态转移函数和量测有限集的似然函数。概率密度函数f_k|k-1(X_k|Z_1:k-1)和f_k|k(X_k|Z_1:k)分别表示多目标随机有限集的预测概率密度和后验概率密度。上式给出了多目标贝叶斯滤波的一般形式, 但是集积分通常难以求解, 因而实际应用中通常利用各种次优算法逼近多目标贝叶斯滤波, 比如:GM-PHD, SMC-PHD及其改进算法。

2 GM-CPHD滤波算法

Mahler提出的CPHD滤波算法解决了PHD滤波算法的局限性, 不同于PHD滤波算法, 该算法同时传递多目标状态有限集的后验强度和集合势的后验分布信息, 因此, 利用CPHD滤波算法能够获得更加精确地估计目标个数。该算法基于以下假设:

1) 每个目标的运动演化和量测的生成相互独立;

2) 新生目标随机有限集和存活目标随机有限集相互独立;

3) 杂波随机有限集是独立泊松过程且与量测随机有限集相互独立;

4) 预测和后验多目标随机有限集均为独立泊松过程。

在以上假设条件下, 定义C_j^l为二项式系数, P_jⁿ为排列系数, 〈·, ·〉表示内积运算, e_j(Z)表示有限实数集Z的j阶基本对称函数。表达式如(5)式所示。

(5)

单传感器的CPHD滤波^[4]递推公式可描述如下, 假设k-1时刻状态后验强度为v_k-1, 后验势分布为ρ_k-1, 那么预测过程如(6)、(7)式所示。

(6)

(7)

式中p_{S, k}(ζ)表示目标时刻的存活概率, f_k|k-1(x|ζ)表示状态转移概率密度, γ_k(x)为新生目标强度, ρ_{Γ, k}为新生目标势分布。

更新过程如(8)、(9)式所示。

(8)

(9)

式中，Z_k为k时刻的量测随机集, g_k(z|x)为似然函数, P_{d, k}(x)为k时刻的检测概率, κ_k(·)为杂波强度, ρ_{κ, k}(·)为k时刻杂波强度。γ_k^u [v, ρ]和ψ_{k, z}(x)定义如(10)、(11)式所示。

(10)

(11)

由于CPHD滤波算法的递归过程中仍存在多重积分, 并不存在闭合解。在线性高斯的条件下, CPHD可以由高斯混合的形式实现, 即GM-CPHD滤波算法。该算法遵循以下假设条件:

1) 新生目标的强度是高斯混合形式, 即:

(12)

2) 每个目标的遵守线性高斯动力学模型, 即:

(13)

3) 存活概率和检测概率相互独立, 即:

(14)

式中，ω_{r, k}⁽ⁱ⁾, m_{r, k}⁽ⁱ⁾, P_{r, k}⁽ⁱ⁾分别表示新生目标强度的权重, 均值, 协方差矩阵。N(·:m, P)表示均值为m, 协方差为P的高斯分布, F_k-1为状态转移矩阵, Q_k-1过程噪声协方差, H_k量测矩阵, R_k为量测噪声协方差矩阵。

GM-CPHD滤波算法的递推过程如下描述:

(1) 预测

假设k-1时刻的先验强度v_k-1(x)和势分布ρ_k-1(x)已知, 且v_k-1(x)服从高斯混合分布, 则预测的强度和势分布分别如(15)、(16)式所示。

(15)

(16)

式中，γ_k(x), v_{S, k|k-1}(x)如(17)式所示。

(17)

(2) 更新

(18)

(19)

式中

(20)

(21)

由于GM-CPHD滤波算法中的高斯项会随时间增长, 因此也需要删除和合并技术对算法进行优化。在估计目标数目时, 通常有2种估计方法:EAP(expected A posterior)估计器或MAP(maximum A posterior), 但是EAP估计在低信噪比下不稳定, 有时结果不可信, 而MAP估计更为稳定, 通常采用MAP估计器估计目标个数。更加详细的推导过程见文献[9]。

3 自适应检测概率GM-CPHD滤波算法

由于GM-CPHD滤波算法不同于PHD滤波算法, 该算法同时传递多目标状态有限集的后验强度和集合势的后验分布信息, 在提高算法性能的同时其计算量也再增加, 传统的GM-CPHD的算法复杂度为:O(nm_k³), 其中n表示目标个数, m_k表示量测随机集的势, m_k=|Z_k|。可以看到可以通过降低量测随机集的势来减少计算量, 文献[10]利用椭圆跟踪门来减少计算量。考虑到水下目标跟踪受环境噪声的影响, 本文在采用椭圆跟踪门的同时, 结合水声学知识, 提出了自适应检测概率模型, 该算法有望提高水下目标跟踪的性能。

3.1 跟踪门策略

在传统多目标跟踪中, 利用跟踪门来得到有效量测, 将其应用于GM-CPHD同样可以降低量测有限集的势, 从而减少该算法的计算量, 椭圆跟踪门的定义如下式所示。

(22)

(23)

式中，表示有效量测, Υ表示跟踪门阈值, 该值取决于门概率P_g和量测维n_z, 具体参见文献[10]。

3.2 自适应检测概率

水下目标跟踪的实现受检测概率的影响, 精确的检测概率可以保障目标跟踪的有效性及精确性。以水声理论为基础, 利用声呐方程对检测概率随跟踪距离变化进行建模, 得到自适应检测概率, 以此为基础分析检测概率对GM-CPHD滤波算法的影响。

水下目标跟踪系统的设计离不开声呐方程, 根据工作方式的不同, 声呐可分为主动声呐和被动声呐, 其中以噪声为主要背景干扰的主动声呐方程^[13]如(24)式所示。

(24)

式中，SL为发射声源级, TL为传播损失, TS为目标强度, NL为环境噪声级, DI为指向性指数, DT为检测阈。由于传播损失可以表示为距离的函数, 间接地, 信噪比和检测阈也可以表示为距离的函数。根据声呐检测理论, 信噪比与检测概率以及虚警概率3者之间的关系通过接收机工作特性(ROC)曲线完整表示。所以, 检测概率与距离之间的关系可以通过声呐方程和ROC曲线建模得到。根据信号检测理论^[14], 其推导过程如下。

对于已知信号的检测, 假设检测判决模型如(25)式所示

(25)

式中，s(t)为已知信号, n(t)均值为0的高斯白噪声, 以Δt为采样间隔得到离散时间序列。

二元假设检测的似然比如(26)式所示。

(26)

将上式简化可得:

(27)

将不等式左边定义为检测统计量, 则右边为检测门限, λ₀可由不同的判别准则确定。同时将上式结果推广到一般情况, 则假设Δt→0, N→∞, 求和运算变为积分运算, 统计检测量G=∫₀^Tx(t)s(t)dt, 其判别准则如(28)式所示。

(28)

当H₀为真, E₀(G)=E₀(∫₀^Tx(t)s(t)dt)=0, 当H₁为真, E₁(G)=E₁(∫₀^Tx(t)s(t)dt)=0, D₁(G)= 由此得到在二元假设条件下检验统计量G的概率密度函数分别为:

(29)

至此得到虚警概率和检测概率分别为:

(30)

由(30)式可得:

(31)

式中，N(·)表示标准正态分布。信噪比:R_SN= 。

假设采用主动检测方式, 距离较远时波阵面为柱面波, 因此传播损失TL=10lg(r), 根据(24)式有:R_SN=SL-2TL-NL+TS+DI, 结合(31)式, 得检测概率、虚警和距离之间的关系式为。

(32)

由于虚警的不确定性无法得到检测概率与距离的解析关系, 此处选择奈曼皮尔逊准则作为判决标准, 即:虚警概率一定的条件下使得检测概率达到最大。假设:声源级SL=120 dB, 5级海况下NL=55 dB, 目标强度为艇艏艉方向的强度TS=10 dB, 暂不考虑指向性指数DI=0, 给定不同虚警概率的情况下, 由(32)式求解得到的关于检测概率和距离的关系如图 1所示。

从图 1可以看出, 当距离一定的时候, 虚警概率越大检测概率越大; 检测概率一定的时候, 距离越远虚警概率越大。无论虚警概率值如何选择, 检测概率随距离的增加成递减趋势, 而虚警概率越小, 检测概率衰减越快。

3.3 自适应检测概率GM-CPHD滤波算法

通过对检测概率的建模分析可知:随着目标跟踪距离的变化, 虚警和检测概率出现此消彼长的变化趋势, 而在CPHD滤波更新方程中, 检测概率直接影响到已检和漏检两部分高斯分量大小, 因此, 结合水声环境, 此处假设虚假概率P_f=0.001, 利用检测概率(32)式替换GM-CPHD滤波算法公式(18)、(19)中的检测概率, 结合椭圆跟踪门策略, 从而可以提高滤波器的估计精度。

4 仿真结果分析

为了验证算法的性能, 在直角坐标系二维平面监控区域为:[0, 3 000]×[0, 3 000], 在监控区域内目标个数未知且随时间变化, 传感器位于平面原点处, 杂波数目服从强度为λ=5(即每次扫描的杂波数为5)的泊松分布, 在监控区域中服从均匀分布。高斯删除门限为10^-4, 合并门限为4, 允许高斯分布的最大个数为J_max=100。真实目标的存活概率为:P_{S, k}=0.99, 新生目标强度为: N(x:m_{r, k}⁽ⁱ⁾, P_{r, k}⁽ⁱ⁾), 其中ω_{r, k}⁽ⁱ⁾=0.03, m_r⁽¹⁾=[300;0;400;0], m_r⁽²⁾=[500;0;1 700;0], m_r⁽³⁾=[1 200;0;200;0], P_r⁽ⁱ⁾=diag[100;100;100;100]。目标做匀速直线运动, 采样间隔T=1 s, 噪声为零均值高斯白噪声, 量测噪声标准差r=10 m, 过程噪声标准差q=0.5 m, 目标的运动状态如图 2所示。实心方框表示目标起始位置, 空心方框表示目标终止位置, 虚线表示距原点等距离的圆。

在不同杂波环境下, 当检测概率分别为0.7, 0.8, 0.9和自适应检测概率时的GM-CPHD滤波算法分别进行50次蒙特卡罗仿真。

如图 3~图 5所示, 在不同杂波密度环境下, 针对不同固定检测概率和自适应检测概率的GM-CPHD滤波算法对目标数目的估计进行比较, 随着杂波密度的增大, 固定检测概率的GM-CPHD滤波算法在80 s之后目标数统计值明显偏离真实, 随着时间的偏移, 且存在检测概率越高, 目标势的估计误差越大的局势。这是因为实际环境中, 随着目标的远离, 检测概率逐渐减小, 漏检的目标数目越来越多, 然而GM-CPHD算法具有固定检测概率, 导致“不可信”量测用来更新目标数目而导致估计精度越来越差。对于自适应检测概率GM-CPHD滤波算法, 由于目标离原点距离超过2 km之后, 其检测概率降至0.4之下, 但仍具有一定的跟踪效果, 而对目标势的估计出现较多的误差。总体而言, 自适应检测概率GM-CPHD滤波算法对目标势的估计更准确。

如表 1所示：通过OPSA距离^[15]对多目标跟踪性能进行衡量。随着杂波强度的增大，当固定检测概率时，GM-CPHD滤波算法其时间平均OSPA距离有增大趋势，因短距离情况下，高检测概率更接近真实检测概率对多目标跟踪精度高，而当距离增大时，其同样存在高检测概率导致"不可信"量测被用来估计目标状态，对于目标势估计的错误最终使得目标跟踪性能下降，故时间平均OPSA距离总体较大。而对于自适应检测概率GM-CPHD滤波算法，由于该算法中检测概率的误差小，不仅提高对目标势的估计，同时可以更精确地实现多目标跟踪。总体而言，该算法比固定检测概率GM-CPHD具有更好的跟踪性能。

5 结论

针对水下目标跟踪的应用，本文在椭圆跟踪门策略的基础上，结合声呐方程，利用信号检测理论对检测概率、虚警概率和距离进行建模，选择奈曼皮尔逊准则作为判决标准，得到当虚警概率一定的条件下，自适应检测概率与距离之间关系的解析式，并将其应用于GM-CPHD滤波算法，提出了自适应检测概率GM-CPHD滤波算法。对不同固定检测概率GM-CPHD滤波算法和自适应检测概率GM-CPHD滤波算法进行仿真，结果表明：随着杂波强度的增大，在目标势的估计方面该算法优于固定检测概率GM-CPHD滤波算法，同时该算法也提高了多目标跟踪性能。