备件是保障系统组成的关键性资源之一，对于飞机持续安全运营起着至关重要的作用。若飞机的系统或部附件发生故障且未能获得及时维修的情况下，将致使整个飞行系统瘫痪进而降低飞机运行可靠性和签派可靠度。因此，有必要对民机备件库存配置进行研究，以此保障民机系统或部附件在发生故障时能够及时获取维修资源，在保证运行可靠性的前提下提高机队可用度。

近年来，为了解决备件库存配置优化的问题，避免库存过多造成的严重积压和库存过少引起装备无法正常运转的现象，国内外学者对备件库存配置优化进行了研究并取得一定的成果。如Sherbrooke提出了METRIC(multi-echelon technique for recoverable item control)并将其应用于多级维修保障组织结构的库存配置研究^[1]；孙蕾等在METRIC的基础上建立了多级库存配置模型运用边际分析法对民用飞机关键部件的库存进行优化^[2]；Wayne等以美国空军保障为背景对基于METRIC发展而来的多级保障组织优化配置模型进行了研究^[3]；魏曙寰等结合舰艇保障模式建立了以备件不短缺概率为目标、总经费和仓库空间为约束的备件配置优化模型^[4]；Jia等为了快速精确地提供备件支援，在考虑不确定需求和多约束情况下对多级库存配置优化进行了研究^[5]；蔡芝明等将备件关键性考虑进来建立了舰艇备件初始库存优化模型，利用边际分析法实现了备件库存配置^[6]；Francesco等基于VARI-METRIC和边际分析法并结合意大利空军数据对备件多级多层库存配置进行了研究^[7]；Basten等分别对现有的单级和多级库存配置模型进行了研究并进一步探索经典模型的适用范围^[8]；郭霖瀚等提出了多级多层备件供应链需求仿真建模方法，建立了修复性维修活动备件需求仿真模型和预防性维修活动备件需求仿真模型^[9]；Ruan等基于(s-1, s)和(R, Q)批量订货策略建立了局部可修件配置模型完成备件库存优化^[10]；王乃超等研究多约束条件下备件库存优化问题, 建立了多约束条件下备件库存优化模型并给出了优化算法^[11]；Robert和Loo以系统可用度为优化目标、备件质量和体积为约束条件对航空备件的库存配置优化问题进行了探究^[12-13]；薛陶等以最小化维修成本为目标构建了单层2级的K/N冷备份冗余系统可修复备件优化模型，采用边际分析法完成了该模型的求解^[14]；冯蕴雯等结合准更新理论、排队论和VARI-METRIC模型提出了考虑不完全维修的民机可修件多级库存规划方法^[15]。虽然上述工作在考虑不同影响因素和不同保障模式的条件下建立了备件库存配置模型，运用合适的算法进行了求解进而完成备件库存优化配置研究，但是仍然存在不足之处：①文献[1, 8-11, 14]着眼于理论的研究，没有从实际工程的角度对所提出的模型和算法的适用性和可行性进行验证；②文献[2, 7, 12-13]在实例分析中其研究对象没有从系统的角度进行选取，不足以说明相关的模型和算法具有普适性；③以上工作在备件库存配置过程中没有全面考虑维修比例这一实际因素的影响，使得备件配置结果与实际需求存在差异。

为了解决以上问题，本文提出了一种考虑维修比例的多级库存配置方法，将维修比例引入METRIC模型进而建立备件多级库存配置数学模型，运用边际分析法对模型进行求解完成备件在多级保障组织结构下的优化配置研究，最后运用民机起落架LRU作为研究对象验证了方法的可行性和有效性。

1 问题描述与假设

目前，关于备件多级库存保障组织结构方面在军用和民用存在差异，军机的保障体系一般包括3级维修组织结构，由于3级维修保障体系使全寿命周期维修费用持高不下，对于航空公司而言军机的保障体系并不适用于民用飞机，因此民用航空的保障体系是主要采用2级维修组织结构。本文在这一工程背景下开展考虑维修比例的民用飞机维修资源2级单层库存配置研究，其中2级是指维修保障组织结构为航线级和基地级，单层是指民用飞机备件为航线可更换单元(line repairable units, LRU)而不考虑车间可更换单元(shop replaceable units, SRU)。

民用飞机的2级单层维修供应系统由飞机、保障维修结构和备件库等要素组成，其示意图如图 1所示，其中m为基地修理点的数量, n为航站修理点的数量, 一般m < n; k为研究对象所包含的LRU数量。备件在2级维修供应系统的状态转移流程如图 2所示。

由图 2可知, 当飞机发现LRU故障时, 在不考虑航站间横向供应的条件下, 航线级维修点后方仓库如果有备件, 则对LRU进行更换, 否则发生一次短缺并向基地仓库申请LRU备件; 拆卸的LRU故障件在航站进行维修, 将修复件送回航站仓库作为备件; 如果航站无法对其进行修复就将LRU故障件送往基地维修站点进行维修, 将修复的LRU送回基地仓库作为备件; 如果基地无法完成LRU故障件的维修, 则将该故障件报废并购置新的备件存放到基地仓库。LRU故障件在上述的2级单层维修过程中满足经典库存平衡公式即^[2]

(1)

式中, s为初始库存量且为常量, s_OH为现有库存备件数量, s_DI为修理或供应中获得的备件数量, s_BO为备件短缺数量。当LRU发生故障进行维修时, 修理获得的备件数量s_DI将增加1个, 如果该类备件有库存则s_OH数量减少1个, 如果库存没有存储量则产生1个备件短缺量s_BO; 在故障件修理完成后, 修理获得的备件数量s_DI将减少1个, 现有的库存备件数量s_OH将减少1个或备件短缺数量s_BO将增加1个。

为了简化建模过程及提高模型的工程适用性, 对备件多级库存配置模型合理地作出如下假设^[9]:

1) 飞机型号均相同, LRU重要程度相同, 一旦短缺将导致飞机停飞;

2) 不考虑设计的冗余性、多重故障同时发生、串件拼修和横向供应;

3) LRU失效服从独立的泊松过程且维修间隔时间相互独立;

4) 所有的维修保障组织结构实行(s-1, s)库存控制策略;

5) LRU维修过程中不存在排队等待的现象且维修工作相互独立、互不影响;

6) LRU如果不能修复则在基地选择报废, 基地维修点数量为1个。

2 多级库存配置模型

在考虑维修比例影响的情况下, 基于METRIC理论结合机队运营信息和维修信息构建备件多级库存配置模型流程包括:年平均需求量与报废量的计算, 期望需求量的计算, 期望短缺数与可用度的求解和数学模型的构建。

2.1 年平均需求量与报废量

飞机在运营过程中LRU故障随时都可能发生, 其LRU年平均需求量等于一年内的平均更换量, 计算公式如下

(2)

式中, i=1, 2, …, k, k为LRU的数量, m_i为第i个LRU的年平均需求量, QPA_i为第i个LRU的单机安装数量, MTBUR_i为第i个LRU的非计划平均拆换间隔, FH为飞机年飞行时间, N为机队规模。

航站年平均需求量按照航程进行计算, 如下式所示。

(3)

式中, j=1, 2, …, n, n为航站的数量, m_i^j为第i个LRU在第j个航站的年平均需求量, D_j为第j个航站与前一航站的航程。

基地年平均需求量为

(4)

式中, m_i⁰为第i个LRU在基地的年平均需求量, λ_i^j为第i个LRU在第j个航站的维修比例, λ_i⁰为第i个LRU在基地的维修比例。

LRU的年平均报废量为

(5)

式中, m_is为第i个LRU的年平均报废量。

2.2 期望需求量

期望需求量又称为供应渠道件数, 是指修理周转时间内发生的备件平均需求量。LRU失效服从独立的泊松分布, 依据Palm定理^[16]可得基地的期望需求量为

(6)

式中, μ_i⁰为第i个LRU在基地的期望需求量, RTAT_i为第i个LRU修理周转时间, 其计算原理可由(7)式表示。

(7)

式中, TRT_i为第i个LRU航站到基地的运输往返时间, RT_i为第i个LRU在基地的修理时间。

由报废而产生的期望需求量通过年平均报废量m_is和购置时间PT_i求得, 即

(8)

航站的期望需求量由运输中的备件和基地备件短缺而延迟供应航站的备件组成, 则航站的期望需求量由下式表示

(9)

式中, μ_i^j为第i个LRU在第j个基地的期望需求量, EBO_i⁰ (s)为第i个LRU基地库存量为s时的期望短缺数, EBO_is(s)为第i个LRU基地购置数量为s时的期望短缺数。

2.3 期望短缺数和可用度

设某一随机时刻待收库存数有s+k件, 由经典库存平衡公式可知有k件短缺, 则期望短缺数为

(10)

式中, Pr{·}为待收备件数的稳态概率分布, 选取该分布服从泊松分布。

依据(10)式可得到相应的期望短缺数如下

(11)

式中, EBO_i^j (s)为第i个LRU在第j个航站库存量为s时的期望短缺数。

在获取相应期望短缺数的基础上, 对每项LRU可用度进行计算如下

(12)

式中, A_i⁰为第i个LRU在基地库存量为s时的可用度, A_is为第i个LRU在基地购置量为s时的可用度, A_i^j为第i个LRU在第j航站库存量为s时的可用度。

2.4 数学模型

民机维修资源规划的目的是在满足备件保障率和机队可用度的前提下使运营支持成本最低, 因此, 建立以保障费用为目标、备件保障率和机队可用度为约束的多级库存配置优化模型如下式所示。

(13)

式中, C为维修费用, A为机队可用度, P_i为第i个LRU的保障率, A_min为机队可用度规定最小值, P_i(min)为第i个LRU的规定最小保障率。其中, 机队可用度A和备件保障率P_i可表达为

(14)

(15)

式中, EBO_i(s)包含EBO_i⁰ (s)、EBO_is(s)和EBO_i^j (s), μ_i包含μ_i⁰、μ_is和μ_i^j。

3 多级库存配置优化流程

边际分析法和遗传算法是目前应用比较广泛的维修资源多级库存配置优化算法, 由于遗传算法存在多维复杂、仿真速度慢等缺点, 所以在实际工程中难以应用。因此, 本文在对多级库存配置模型进行求解时选取边际分析法, 其主要原因是该方法对于飞机复杂系统问题处理具有高效性并且在国外工程领域得到了广泛应用。

基于边际分析法的多级库存配置优化流程具体如下:

1) 确定研究对象所包含的备件项目, 运用公式(2)~(5)计算基地年平均需求量m_i⁰、航站年平均需求量m_i^j以及报废量m_is;

2) 初始化基地和航站的库存量, 使基地和航站的初始库存量为0;

3) 基于公式(6)和(8)计算基地期望需求量μ_i⁰和μ_is, 通过(11)式计算基地期望短缺数EBO_i⁰ (s)和EBO_is(s);

4) 通过公式(9)和(11)对航站期望需求量μ_i^j和短缺数EBO_i^j(s)进行计算;

5) 在上述基础上, 运用(16)式进而求解库存量不同情况下的效费比, 形成相应的效费比矩阵;

(16)

6) 依次寻找效费比的最大值并将其对应的库存量增加一个, 直至满足约束条件;

7) 输出满足条件的配置方案, 并画出机队可用度和保障费用关系曲线。

4 实例分析

以某航空公司购买的波音737的起落架LRU作为研究对象且LRU重要程度相同, 机队由10架飞机组成, 年平均飞行小时FH=2 920 h, 机队可用度规定最小值A_min=0.98, 维修保障组织结构由1个基地和4个航站组成, 其示意图如图 3所示, LRU的参数如表 1所示。

基于上述的已知信息, 依据(3)~(5)式可以得到年平均需求量和报废量, 进而运用(6)~(12)式计算民机起落架LRU的期望需求量、期望短缺数和机队可用度, 在此基础上建立以保障费用为目标、备件保障率和机队可用度为约束的民机起落架LRU 2级单层库存配置模型, 利用边际分析法对该模型进行配置各个备件项目在基地和航站的库存数量, 其库存配置和保障费用如表 2所示。

由表 2可知, 当民机起落架LRU总库存量为121时满足约束条件, 其机队可用度为0.980 6, 保障费用为2 759 833美元。

为了验证考虑维修比例的多级库存配置模型的可行性和有效性, 基于表 1起落架LRU参数和机队运营信息, 在不考虑维修比例影响情况下运用边际分析法对传统的METRIC模型进行求解完成备件多级库存配置, 民机起落架LRU多级库存配置和保障费用如表 3所示。

由表 3可知，在不考虑维修比例对多级库存配置的影响时，民机起落架LRU总库存量为96时满足约束条件，其机队可用度为0.984 1，保障费用为2 328 957美元。

通过考虑维修比例和不考虑维修比例的民机起落架LRU多级库存配置优化研究，可以得到机队可用度与费用的关系曲线，如图 4所示。

由图 4显示，考虑维修比例的民机起落架LRU多级库存配置在满足约束条件的情况下其机队可用度稍低于不考虑维修比例的机队可用度，而考虑维修比例的保障费用稍高于不考虑维修比例的保障费用；由表 2和表 3对比可知，在满足约束条件的情况下，考虑维修比例和不考虑维修比例影响的民机起落架LRU库存在航站配置数量和保障费用基本相同，而在基地配置数量和保障费用存在较大差异。出现上述结果的原因主要是不考虑维修比例的多级库存配置在分析过程中认为基地具有无限的修复能力且不存在报废的现象，相对考虑维修比例的多级库存配置其配置数量较少且保障费用较低，其考虑因素过于理想化，但是其配置结果与实际工程所需的配置不相符。因此，考虑维修比例的维修资源多级库存配置模型更符合民机维修资源规划的实际情况，为合理科学地配置维修资源多级库存优化提供指导。

5 结论

1) 本文将维修比例这一工程实际因素引入METRIC模型，构建了考虑维修比例的备件多级库存配置模型，通过边际分析法对所构建的模型进行求解，进而实现维修资源多级库存配置。

2) 将民机起落架LRU作为研究对象，在考虑维修比例的情况下，建立了以保障费用为优化目标、备件保障率和机队可用度为约束的多级库存配置模型，实现LRU多级库存配置。通过分析得到，在机队可用度大于0.98时其最小保障费用为2 759 833美元，并得到此时基地和航站的LRU配置数量。

3) 通过与不考虑维修比例的多级库存配置对比，证明了考虑维修比例的维修资源多级库存配置模型的可行性和有效性，并且考虑维修比例的维修资源多级库存配置模型更符合民机维修资源规划的实际情况。