叶冠装置是一种应用广泛的涡轮叶片干摩擦阻尼器。相邻叶冠的接触界面可能会出现黏滞、滑动和分离，这导致接触力具有强非线性特性，深入研究叶冠系统的振动特性具有重要的理论和工程价值。

国内外许多学者对自带冠叶片的非线性特性进行了研究。南国防等^[1]用线性弹簧来模拟冠间接触，采用Sgn摩模拟摩擦力，对考虑非线性恢复力的叶冠系统进行了分析。单颖春和朱梓根^[2]提出了复杂接触运动下求解接触非线性摩擦力的数值轨迹跟踪方法, 并利用该方法对几种复杂接触运动下的非线性摩擦力进行了计算。Ding和Chen^[3]提出了一种确定带干摩擦阻尼系统稳态响应的分析方法。武新华和李卫军^[4]将自带冠叶片等效为弹簧-质量模型; 冠间的接触碰撞简化为有间隙的弹簧-干摩擦阻尼模型, 建立了该结构的振动方程。Liu等^[5]提出了一种摩擦接触刚度模型来描述不同粗糙界面和不同正压力下的摩擦力。漆文凯和高德平^[6]引入整体-局部一体化滑动模型，提出了带摩擦阻尼装置平板叶片的振动响应分析方法。

在本文的研究中, 冠间接触刚度采用更符合实际的线性弹簧和立方非线性弹簧来描述, 摩擦力采用适用于固体表面之间干摩擦接触状态下的一个指数型的动态摩擦模型来模拟，考虑离心刚化效应的影响，建立了考虑非线性弹簧和碰摩复合作用的自带冠叶片的运动方程，研究了叶冠间隙和非线性刚度比对自带冠叶片振动特性的影响。

1 自带冠叶片碰摩模型以及动力学方程的建立

航空发动机运行时，叶片处于高速旋转状态，叶冠在气流激振力和叶盘旋转运动产生的离心力共同作用下，会与相邻叶片的叶冠发生碰撞和摩擦，原理如图 1所示。

叶片工作状态下叶冠之间的碰摩是十分复杂的, 接触面法向运动会导致正压力的变化, 切向运动会导致接触表面处于黏滞或滑动状态。定义叶片旋转切向为x方向, 轴向为y方向, 径向为z方向。叶冠之间的实际接触碰摩发生在三维方向上, y向的位移很小, 可忽略。本文利用预应力来考虑离心刚化效应的影响, 获得了自带冠叶片的动频率。在不同的旋转速度Ω下, x向和z向的第一阶弯曲动频率f_x1和f_z1可以从有限元模型中获得, 从而可以得到f_x1和f_z1关于旋转速度Ω的曲线, 如图 2所示, 用最小二乘法拟合得到f_x1和f_z1关于旋转速度的方程, 这样就可以通过计算得到自带冠叶片在x向和z向的动态刚度。把自带冠叶片简化为如图 3所示的弹簧-质量模型, 则自带冠叶片的运动方程为

(1)

和是由于叶冠之间的碰摩作用产生的非线性作用力, Q(t)为气流激振力

(2)

其频率f_e是叶盘旋转频率f_r的l倍, l是转子叶片前障碍物的数量^[7], f₀是与时间无关的常数, f_n是第n次谐波的幅值, n=1, 2, 3, …, Ω为叶盘的旋转角频率, 在本文的研究中, 我们只取一次谐波成分且l=2, 则f_e=2f_r。冠间接触面结构示意图如图 4所示, 其中f_τ为两叶冠接触面上的摩擦力, N为接触面正压力, α为叶冠碰撞接触角, Δ₁和Δ₂为接触面间初始的法向间隙。考虑接触面分离和重新接触的情况下, 接触刚度用线性弹簧和立方非线性弹簧同时来表示比较符合实际^[8]。发动机工作时, 相邻叶冠之间的法向运动导致相邻接触面之间出现分离状态和重新接触状态, 因此在本文的研究中碰撞接触刚度同时用线性弹簧k_c和立方非线性弹簧k_c^NL来表示, 则接触碰撞力N可以表示为

(3)

本文的摩擦模型采用适用于固体表面之间干摩擦接触状态下的一个指数型的动态摩擦模型, 如图 5所示, 其系数方程为^[9]

(4)

μ_m为最小动摩擦因数, μ_s为最大静摩擦因数, β为控制系数曲线下降率的设计参数, v_rel为叶冠接触面之间切向的相对速度,

根据图 4, 摩擦力f_τ可以写作

(5)

根据图 4和(3)~(5)式, 将碰撞力和摩擦力分别向x向和z向分解, 方程(1)可以写作:

(6)

引入 =X₁sinα-X₂cosα+1,X_r2=X₁sinα-X₂cosα-K, v_rel=,

方程(6)简化为无量纲化方程得到

(7)

并且无量纲化的正压力N可以写作

(8)

无量纲化的摩擦力f_τ可以写作

(9)

方程(7)是考虑了非线性弹簧和碰摩复合作用的带冠叶片的无量纲化的耦合运动方程, 采用龙格库塔法计算叶冠在不同接触运动状态下的振动特性。

2 数值模拟

作为一个算例, 自带冠叶片的材料参数和几何参数可以取为:杨氏模量E=2.1×10¹¹ Pa, 密度ρ=7 800 kg/m³, 叶片长度L=0.15 m, 叶片宽度b=0.03 m, 叶片厚度h=0.004 m, 黏性阻尼系数c=4 Ns/m, 叶冠质量m=0.037 4 kg, 动态刚度k₁=m(2πf_x1)², k₂=m(2πf_z1)², μ_s=0.5, μ_m=0.3, β=0.5 s/m, α= , f₁=20 N。线性接触刚度k_c等于自带冠叶片x向弯曲的动刚度k₁^[10], 则γ₁=1。在本文的研究中, 选取旋转自带冠叶片x向的共振频率, 即x向的动频率f_x1与气流激振力f_e的交点, 则Ω=3 153.2 r/min。

2.1 非线性刚度比对振动响应的影响

在本节的研究中, K=1, 间隙为Δ₁=Δ₂=0.02 m。图 6显示了非线性刚度比对振动响应的影响。

从图 6可以看出, 自带冠叶片在不同的非线性刚度比下会出现周期1、周期2、周期3和混沌运动。图 7~图 10显示了自带冠叶片在不同非线性刚度比下的振动响应。非线性刚度比γ₂=0.2时, 出现周期1运动, 参考图 7, 从频谱分析可以看出, 此时位移响应, 碰撞力和摩擦力均出现激振频率f_e的高次奇谐波3f_e, 5f_e, 7f_e等。图 8和图 10分别显示了自带冠叶片的周期2和周期3运动。周期2和周期3运动分别出现在非线性刚度比γ₂=0.35, 1.2时, 从频谱分析可以看出, 此时位移响应、碰撞力和摩擦力均出现激振频率f_e的次谐波和一些高次谐波f_e, 3f_e等。在γ₂=1.2时, 出现周期3运动的原因是存在一个碰摩周期是激振力周期的3倍。图 9显示了自带冠叶片的混沌运动, 庞加莱截面上出现有分形结构的密集点, 且频谱图上有连续谱出现。

2.2 间隙对振动响应的影响

1) 对称间隙:K=1, γ₂=1.5。图 11和图 12显示了间隙对振动响应的影响。从图 11和图 12可以看出, 自带冠叶片在不同的间隙下会出现周期1, 周期3和混沌运动。混动运动出现在被一定范围的p周期运动分离开的特定的间隙范围(p=1, 3)。

2) 非对称间隙:Δ₁=0.1 mm, γ₂=1.5。图 13和图 14显示了间隙比K对振动响应的影响。从图 13和图 14可以看出随着间隙比变化, 自带冠叶片会出现周期1, 周期2, 周期4和混沌运动。在K=1时, 自带冠叶片为周期运动(见图 11), 可见间隙不对称会导致自带冠叶片的运动更加复杂。

3 结论

本文考虑了涡轮自带冠叶片间分离和重新接触以及离心刚化效应的影响, 推导了考虑非线性弹簧和碰摩复合作用的自带冠叶片的动力学方程, 分析了叶冠间隙和非线性刚度比对自带冠叶片振动特性的影响。主要结论如下:

1) 自带冠叶片在不同的非线性刚度比和间隙比下会出现周期1, 周期2, 周期3和混沌运动。

2) 对称间隙下, 随着间隙变化, 自带冠叶片会出现周期1, 周期3和混沌运动。

3) 自带冠叶片出现周期p(p=1, 2, 3))运动的原因是存在一个碰摩周期是激振力周期的p倍。

4) 间隙不对称会导致自带冠叶片的运动更加复杂。混动运动出现在被一定范围的p周期运动分离开的特定的参数范围。