波达方向(direction of arrival, DOA)估计是阵列信号处理的一个重要研究课题，在雷达、声呐、通信等领域有着广泛的应用。一般来说，DOA估计方法大都是建立在直达波模型上，忽略多径或想办法消除多径带来的影响^[1-3]，其把多径看作是一个不利的因素；在直达波模型基础上，提出了各种各样的波达方向估计方法，但这些方法大都建立在高信噪比条件下，在低信噪比时算法性能下降，甚至失效。

近些年提出的时间反转^[4](time reversal，TR或时反)方法，由于利用了声互易性及时反不变性原理，可自适应地修正多径信道引起的信号畸变，使目标在源位置获得空时聚焦，因此可将时反方法应用于目标的DOA估计中，尝试解决低信噪比情况下常规方法无法正确估计的问题。

其中，文献[5-6]将主动时反(active time reversal, ATR)方法分别应用到探地雷达和移动通信网络的目标DOA估计中，各自推导了TR/DOA估计器的CRB，并和未引入TR的DOA估计器性能进行了比较；仿真结果表明，引入TR方法后DOA估计器的性能得到了提高。文献[7]在文献[6]的基础上，加入了距离估计器，实现了对单目标的主动定位。文献[8]在文献[7]的基础上，研究了多输入多输出(MIMO)系统中的目标DOA问题，建立了TR/MIMO模型；随后文献[9]又将TR引入多普勒频移条件下的MIMO雷达目标DOA估计中；文献[10]将压缩感知(compressive sensing, CS)和TR技术结合应用到MIMO雷达，实现了DOA、DOD(direction of departure)及多普勒频移的联合估计。文献[11]提出了一种虚拟时间反转(virtual time reversal, VTR)DOA估计算法，应用于空间电磁辐射源的远场窄带信号源方位角的被动估计中，通过查找扫描区域中能量最大的点来确定辐射源的方位角。以上电磁波领域的时反DOA估计方法，对实现水下目标的时反DOA估计有一定的借鉴意义。

文献[12]针对均匀浅海目标DOA估计，提出了一种基于非均匀线列阵(non-uniform line array, NLA)的被动时反(passive time reversal, PTR)超指向性模型，从信号检测角度建立了仿真所需模型，采用常规波束形成方法，实现了低信噪比情况下目标的方位估计。文献[13]针对水下声多径时变信道，提出了一种多普勒效应下的TR目标定向算法，通过频率补偿与时间反转处理后，可以精确地实现目标定向。以上水下目标时反定向方法建立在被动时反方法基础上，首先需解决如何精确获取真实海洋信道的问题，因为只有当模拟信道与实际海洋信道完全匹配时，才能达到理想的TR空时聚焦效果，从而达到精确DOA估计的目的。

主动时间反转相对被动时间反转，由于利用了海洋信道传播的互易性，无需环境的先验知识，可简化信号处理的运算量，相比而言更适用于恶劣环境，物理上更容易实现。

基于此，本文将结合前期研究的主动时反聚焦特性^[14-15]和探测特性^[16]，进一步利用主动时间反转方法对水下目标的俯仰角DOA估计问题进行研究，基于水声信道的射线理论和阵列信号处理中的直达径模型，建立了基于均匀线列阵(uniform line array, ULA)的常规多径DOA估计和主动时反DOA估计模型，应用Capon算法对所建模型进行了DOA估计实现，对有无主动时反时的估计算法性能进行了比较。仿真结果表明，在同样的信噪比情况下，所提出的主动时反DOA方法可以获得比常规方法更好的估计结果，尤其是在低信噪比情况下更为明显。

1 均匀线列阵多径DOA估计模型

基于射线理论的均匀线列阵多径DOA估计如图 1所示。

图中，收发合置换能器阵(source-receive array, SRA)为均匀线列阵，其阵元个数为P，阵元间距为d；为方便表示，图中只画出了目标与SRA之间的3条传播路径：直达波、海面反射波与海底发射波，其入射角分为θ, α, β。但为更具有一般性，后面推导的声传播路径不止局限于这3条径，而采用N条径表示。

1.1 常规多径DOA估计模型

位于k阵元的PS(探测声源)发射信号f(t), 根据射线理论, 设发射声源与目标之间的信道传输函数为:

(1)

式中, N表示声线总数, c_kn, τ_kn分别表示第k个阵元和目标之间第n条本征声线(也可认为是传播路径)对应的衰减幅度和时延。忽略探测声源到目标的信道噪声, 则目标接收到的信号为:

(2)

忽略目标反射的影响(即假定目标反射系数为1), 考虑接收过程噪声的影响, 则SRA第j个阵元接收的信号为:

(3)

式中, h_j(t)表示目标与第j个阵元之间的信道函数, v_j(t)表示第j个阵元接收的环境噪声, c_jm, τ_jm分别表示目标和第j个阵元之间的第m条路径对应的衰减幅度和时延。根据对海洋声场的仿真可知, 目标经第m条径到达各个阵元的衰减幅度差别非常小, 为了简化表示, 可认为其只和路径有关, 而与阵元无关, 即可将c_jm表示成c_m。

设发射信号形式为:f(t)=s(t)e^jω_ct, 结合阵列信号处理的远场窄带模型理论, (3)式可表示为:

(4)

式中, τ_1m表示的是目标到达阵元1的第m条径的时延, Δτ_jm表示的是目标经过第m条径到达j阵元与第1阵元的相对时延。

将第j个阵元接收信号推广到各个阵元, 并表示成矩阵形式, (4)式可变为:

(5)

式中, Y(t)=[y₁(t), …, y_P(t)]^T表示SRA的1-P个阵元接收到的信号; A为P×M矩阵, 表示相对首阵元的时延矩阵, 如(6)式所示; C为M阶对角矩阵, M为目标到各阵元的路径总数, 其对角元素c_m表示目标经过第m条路径到达各阵元的衰减幅度; F(t)=s(t)e^jω_ct称为发射矩阵; D=[e^{-jω_cτ₁₁}, e^{-jω_cτ₁₂}, …, e^-jω_cτ_1M]^T表示的是目标到阵列1的时延矩阵。

可认为是从k阵元发射的信号经过信道到达目标的接收信号矩阵; V(t)表示噪声矩阵。

(6)

参考阵列信号处理理论, 当均匀线列阵的阵元间距为d时, 可将(6)式表示成:

(7)

A为包含了多径信息的阵列流形矩阵(又称:方向矩阵), 主要取决于阵列结构与目标来波方向, 其中第m列各量代表的是目标经过第n条径到达各阵元的信息; θ_M表示目标到阵元的第m条径的角度信息。

1.2 基于ATR的多径DOA估计模型

考虑主动时反情况, 将SRA各阵元接收信号分别进行时反, 以第j个阵元为例, 有:

(8)

式中, , 其值与时间t无关, 可看成一系数; 又由于采用主动时反, 发射信号频率已知, 故可采用滤波器处理^[16], 在时反前先消除噪声的影响, 故(8)式可变为:

(9)

将其作为二次发射信号重新发射到信道中, 依然满足远场窄带模型理论; 重复上述第一次过程, 参考(1)~(4)式, 设时反后第l个阵元接收信号为z_l(t), 有:

(10)

再参考(5)~(7)式, 可得第j个阵元时反发射后SRA接收信号Z_j(t)为:

(11)

式中, 符号“*”表示共轭, C, A, D, V同(5)式, X_j和(5)式中的X_k意义相同, 只不过X_k为k阵元发射的接收信号矩阵, X_j为j阵元发射的接收信号矩阵。

将SRA的第j个阵元时反发射情况推广到所有阵元, 可得时反后SRA的接收信号总和为:

(12)

2 DOA估计算法 2.1 常规Capon算法

根据阵列信号处理理论, Capon算法的目的是想办法减小噪声和期望信号以外的干扰信号功率, 同时把期望方向的信号功率维持在一定增益上^[17], 结合(5)式建立的模型可将Capon算法表示成以下最小值问题:

(13)

式中，为考虑多径时的阵列输出信号的样本协方差矩阵, θ₁为期望角度信息, w为权值量。

利用Lagrange乘子法可求得上述问题的解为:

(14)

将(14)式带入(13)式可得，期望方向以外功率最小时期望方向的功率最大，为：

(15)

因此Capon算法的空间谱可定义为：

(16)

通过对(16)式进行谱峰搜索可求出目标的DOA值。式中：

(17)

2.2 主动时反Capon算法

根据(12)式，遵循上述常规DOA估计同样的步骤，有：

(18)

式中，, 为时反后阵列输出信号的样本协方差矩阵，其他值同上。此时时反Capon算法的空间谱为：

(19)

通过对(19)式进行谱峰搜索可求出目标的DOA值。

相对常规Capon算法，主动时反算法中的目标反射信号，由于在接收阵进行了时反操作后重新发射到目标上，根据时反的聚焦特性可知，SRA各阵元的二次发射信号将会在目标处形成聚焦，该过程相当于波束形成过程将波束聚焦在了目标上，只不过时反方法由于利用了多径，相对波束形成其聚焦在目标上的能量更大。同时，文献[16]论证了单阵元主动时反探测阵可提高接收信号的信噪比，此结论可推广至多阵元探测。从以上2个角度可知，利用主动时反方法进行目标的DOA估计，其估计的精度会更高，抑制旁瓣的能力会更强。

3 仿真研究

考虑均匀浅海波导环境，各深度声速均为1.5 km/s。仿真模型参考图 1，其中时反阵(SRA)取12个阵元，阵元间距为0.75 m，首阵元1#距离水面75 m；PS的深度为78.75 m，目标深度165.5 m，PS与目标的水平距离为1 km，海深300 m；PS发射频率为1 kHz的CW信号，快拍数取1 000。

按以上条件，在MATLAB仿真环境下，利用Bellhop专用仿真工具箱模拟海洋声场环境，忽略海面或海底的多次反射路径，只考虑图 1所示的3条传播路径情况，可得到目标与SRA各阵元之间的各路径的时延、幅值及角度信息。通过仿真可知，目标反射的声波经海面一次反射径(或直达径，或海底一次反射径)到达各阵元的幅值和角度信息非常接近，可近似将同一路径的值取为一个值；按以上路径顺序，到达各阵元的幅度信息依次约为：{0.65×10^-3, 1.0×10^-3, 0.5×10^-3}，角度依次约为：{13.68°, -5.00°, -19.58°}；目标到参考阵元(首阵元)的时延值依次为：{0.686, 0.669, 0.708}，其他参数略。

为了对比同样条件下引入主动时反前后Capon算法的性能，信噪比定义为：考虑多径时的首次接收信号中信号与噪声的比值；主动时反二次接收信号加入和首次接收信号一样的噪声。

图 2和图 3分别为信噪比分别为-15 dB和-20 dB时常规Capon算法和加入主动时反后的ATR Capon算法的DOA估计图，图中竖线表示角度期望值。

从图 2可以看出，在信噪比为-15dB时，ATR Capon算法的旁瓣远低于其相应主瓣能量，估计值更接近于待估计目标期望值，且分辨率高于常规Capon算法；当信噪比为-20 dB时，常规Capon算法已不能正确估计出目标，而ATR Capon算法估计出的目标值基本不变。

为了更好地比较出以上2种算法的性能，对上述2种算法分别做了1 000次蒙特卡罗仿真，比较在不同信噪比情况下，2种算法估计的均方根误差(RMSE)情况，如图 4所示。从图 4中可以看出，当信噪比大约从-12 dB开始2种算法的RMSE非常接近，故图 5放大了-12~0 dB的情况。

综合图 4和图 5可以看出，ATR Capon算法估计出的角度均方根误差要小于常规Capon算法，尤其是当信噪比非常低时，ATR Capon算法的优势尤为明显。

4 结论

本文利用主动时间反转方法研究了浅海目标DOA估计性能。仿真结果表明：在低信噪比情况下，基于ATR Capon方法的DOA估计相对于常规Capon方法的DOA，分辨率更高，抑制旁瓣的能力更强，估计结果更准确，可很好地应用于低信噪比多径条件下的DOA估计。