航天器编队飞行的研究工作从20世纪90年代末开始就没有间断过, 特别是近些年随着小卫星技术的发展, 成为了研究热点。目前国际上已经有不少的空间科学实验任务采用航天器编队飞行来实现, 比较典型的有美国NASA的A-Train计划、MMS计划^[1-2]等。

航天器编队飞行技术的一大特点是多颗小航天器在空间组成特定的构形协同工作, 密切联系, 以分布方式构成一颗大的“虚拟航天器”(或称为“分布式卫星系统”)^[3-5], 从而产生系统理论中的“涌现”现象^[3-5], 在性能上超越单颗航天器系统。

在编队飞行中, 由于各种摄动的影响, 将会使编队构型产生漂移, 而且由于各种硬件、软件故障的问题, 都会增加编队飞行过程中航天器碰撞概率。如何避免编队航天器之间的碰撞成为卫星编队飞行设计中必须考虑的重要问题。本文通过微分对策中的界栅理论^[4]把相邻2个飞行器的最小距离作为约束集, 建立Hamilton函数并得到最优控制律^[6-8]，构造界栅理论及相应界栅轨迹, 划分碰撞区与非碰撞区^[6-8]，从而实现编队航天器防碰策略设计研究。

1 建立微分对策系统状态方程

假设仅考虑2颗卫星在同一平面内相对运动, 即目标星为E, 追赶星为P, 则多颗卫星以此类推。图 1为编队飞行追逃关系模型示意图。

(1)

式中, μ₁为太阳开普勒常数, μ₂为地月系开普勒常数, r_p1是由太阳质心指向航天器P的矢量, r_p2是由地月系质心指向航天器P的矢量, r_e1是由太阳质心指向航天器E的矢量, r_e2是由地月系质心指向航天器E的矢量。F为航天器轨控发动机推力, u和v分别为推力F_p和F_e与X轴的夹角, M_p与M_e分别为航天器P与航天器E的质量。

2 最优控制量的求解及界栅的构造

假设航天器P域与航天器E在同一平面内组成追逃模型, 星间临界碰撞距离为l, 则对策目标约束集D为圆域^[9]:

(2)

当编队航天器间相对距离大于l, 则不会发生碰撞, 反之则发生碰撞。

根据微分对策理论, Hamilton函数可表示如下:

(3)

式中:γ=[γ₁  γ₂  γ₃  γ₄  γ₅  γ₆  γ₇  γ₈]^T∈R⁸是任意向量; 且

因此:

(4)

令, 即

(5)

解得

(6)

显然有

(7)

由(6)式、(7)式确定v^*是航天器P的最优策略。类似可求得航天器E的最优策略u^*, 其满足

(8)

于是, 可得

(9)

将目标集

写成参数形式:

式中, s=(s₁, s₂, s₃, s₄)^T; s₅为与x轴正方向的夹角, -π≤s₅≤π; 为捕获时间。

由界栅构造理论:

(10)

由方程组(10)中第一个式子可得:

(11)

再结合方程组(10)中第二个式子可得∂D上的单位法线向量为

显然Hamilton函数可写成:

(12)

式中:

以下有3种情况：

1) 当时, 则整个目标边界集∂D是NUP, 不存在界栅, 航天器P与航天器E总可以发生碰撞, 整个对策空间都是碰撞区。

2) 当时, 则整个目标边界集∂D是UP, 不存在界栅, 航天器P与航天器E总可以避开碰撞, 整个对策空间都是躲避区。

3) 当时, 则整个目标边界集∂D是BUP, 在这种情况下, 一定存在界栅B。下面以对应于BUP上任意一点s为初始点倒向构造界栅B。

易于得到倒向协态方程组为:

(13)

相应的初始条件为:

式中, , 倒向状态微分方程组为:

(14)

以及倒向初值条件为:

(15)

简单的积分可得:

(16)

则所求的界栅B为:

(17)

即为一个圆, 界栅B把对策空间R²分为2个部分, 由B围成的圆域(包括B本身)为捕获区, 圆域之外的区域为躲避区。

3 实例仿真与分析

文本仿真实例的初始条件如下:

假设航天器P与航天器E的质量及大小相同, 质量均为2 000 kg; 航天器P处于幅值为900 000 km的运行轨道上, 捕获半径为5 km, 以日地平动点L₂点附近编队飞行为例, 具体的L₂点基本常数^[10]如表 1所示:

航天器P与航天器E在坐标系下的位置与速度^[11-12]分别为:

由于编队飞行时, 航天器间距较近, 可忽略轨道引力, 太阳光压等摄动力影响。对Hamilton函数进行Matlab仿真如图 2所示:

在图 2中, 可以看到Hamilton函数存在大于0、等于0、小于0的情况, 也就是航天器间存在非碰撞区、界栅和碰撞区。

对方程(4)做积分可得最优控制推力表达式:

(18)

再将(13)式代入(18)式可得:

(19)

经过matlab仿真可得航天器P的控制力F_p随倒向时间变化如图 3所示:

在图 3中, 首先, 控制力F_p随倒向时间的变化呈先由小变大再由大变小的循环过程, 中间有反向的出现, 这是由于航天器P在追逃过程中, 两航天器的位置发生了改变造成控制力方向的改变。

4 结论

编队飞行技术是深空探测方向的一个重要研究方向, 本文将任意2个航天器间的最小距离作为临界距离, 运用微分对策中的界栅理论将整个对策空间分为碰撞区与非碰撞区, 碰撞区与非碰撞区的重叠部分即为界栅。通过对界栅区域的构造, 能够保证航天器间不发生碰撞。经过实例仿真证明该方法简单可行。