2. 空军工程大学防空反导学院, 陕西 西安 710051
多径效应出现于雷达系统探测低空和超低空目标时，由于目标距离地面(海面)很近，雷达发射的电磁波会在目标、地面(海面)之间发生多次反射，最终为雷达天线所接收，从而造成雷达系统探测能力下降。多输入多输出(Multi-input and Multi-output，MIMO)雷达具有频率、空间分集特点，在克服多径效应、提高探测能力方面具有一定的潜力，因而得到了广泛的关注。
在低空和超低空环境下，进入雷达接收机的回波包括4条路径：雷达-目标-雷达、雷达-地面-目标-雷达、雷达-地面-目标-地面-雷达、雷达-目标-地面-雷达。
将上述4条路径按照不同的方式进行叠加，便形成了目标的多径效应。在雷达探测过程中，接收端与发射端的传播路径可能是上述4条中的任何一条或多条，由于其所造成的路程差、相位差是随机的，在雷达接收端叠加后，能使多径复合信号的幅度和相位随机起伏。对传统雷达而言，当其达到一定程度时，将使系统无法对真实目标实施有效的检测与跟踪，因而出现测量精度下降、跟踪误差增大等问题。传统雷达一般采取的措施包括偏差补偿、单脉冲频率分集和复角技术[1-3]，或采用特殊的信号处理方法[4]等，但这些措施对多径效应的抑制能力有限，难以从根本上解决以上问题。
在多径环境下，由于直射信号与反射信号存在相关性，导致波达方向(DOA)估计算法中的协方差矩阵不满秩，最终使估计精度下降[5-6]。为此，文献[7-8]中采用了前向/后向空间差分平滑算法(FBSS)来解决这一问题。其基本思路是，将阵列划分为相互重叠的子阵，并对子阵协方差矩阵取平均。但由此会带来阵列孔径的损失，同时也会使计算量大大增加。文献[9-10]针对相干和非相干信号共存的情况，提出了基于倾斜投影的方法，但在与FBSS算法达到相同精度的条件下，需要更高的信噪比。在文献[11-13]中采用空间差分方法来估计相干信号的波达方向，但由于直射信号和反射信号的角度相反，该方法在低信噪比的多径环境下会出现DOA估计失效的情况。
随着近年来对MIMO雷达研究的不断深入，研究者逐渐发现这种特殊体制的雷达系统在解决多径效应方面所具有的潜力。按照阵元位置关系，可将MIMO雷达分为集中式和分布式2类：分布式MIMO雷达[14-15]通过发射分集形成多个通道，使之具有更多的自由度，在对低空或超低空目标进行检测、跟踪时，能够有效避免随机起伏带来的性能下降，从而降低多径的影响；集中式MIMO雷达[16-17]能够通过形成虚拟阵列，增大天线等效孔径，从而可实现更高精度和更加灵活的DOA估计。这些特点，使不同结构特点的MIMO雷达均具备了低空环境下的应用优势[18-19]。本文旨在针对分布式MIMO雷达低空目标角度估计问题展开研究；针对分布式MIMO雷达多径环境下的DOA估计问题，建立了低空多径环境下阵列接收信号模型，提出了基于子空间差分重构的低空目标DOA估计方法，并通过设计相应的迭代优化算法，进一步降低噪声对估计精度的影响。通过仿真分析，验证了算法具有良好的估计性能。
1 信号模型多径环境下阵列的空间模型如图 1所示。
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| 图 1 多径环境下的阵列模型 |
假设接收阵为M元均匀线阵, 阵元间距为λ/2, 阵元高度h≫λ, λ为发射信号在自由空间中的波长, 接收阵信源到接收阵的距离为R。发射阵为N元分布阵, 且为了获得空间分集增益, 发射阵元间距较大。空间目标数量为K, 第k个目标的角度为θk(k=1, 2, …, K)。不考虑大气折射和地球曲率影响, 认为多径效应是理想的镜面反射。
设s(t)=[s1(t), s2(t), …, sK(t)]T为远场不相干窄带信号矢量。发射阵同时发射直射和反射信号, 其对应的发射导向矢量为:
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(1) |
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(2) |
式中，ω=2πc0/λ, c0为光速，τmk为第m个发射阵元到第k个目标的时间延迟。ζmk=ρexp(jαmk)为多径反射系数，ρ为振幅，αmk=αmk1-αmk2, αmk1为地面反射导致的相移，αmk2为直射路径与反射路径的距离差。
根据(1)式和(2)式, 由发射阵元到目标的基带信号可表示为Bs(t), 其中, B=[bd1+br1, …, bdK+brK]。同理, 接收阵元同时接收直射和反射的信号, 其对应的接收导向矢量为A=[ad1+ar1, …, adK+arK]。且
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(3) |
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(4) |
式中, θdk=-θrk=θk。对于远场目标, δk=ρexp(jγk)代表第k个目标多径反射系数, γk=γk1-γk2, γk1是地面反射导致的相移, γk2是由直射、发射信号的距离差ΔRk导致的相位差，且γk2=2πΔRk/λ。
为简化计算, 假设ΔRk=2hsinθk, ρ=1和γk1=π, 于是有:
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(5) |
式中, a(θk)=[1, e-jπsinθk, …, e-jπ(M-1)sinθk]T, 假设噪声n(t)是均值为0、方差为σ2的空时维复高斯白噪声，则接收阵列的输出可表示为：
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(6) |
式中，H=diag(β1, β2, …, βK)为目标反射系数矩阵，βk是均值为0、方差为σk2的空时维复高斯变量。则(6)式经匹配滤波后，可简化为：
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(7) |
式中
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(8) |
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(9) |
由(7)式可知，回波信号y(t)由M列组成，且列信号ym(t)为第m个发射阵元的回波信号。以ym(t)=ABm+nm(t)为例，其虚拟发射信号矢量Bm受发射多径反射系数ζmk影响。为进一步说明其影响性能，计算Bm的协方差为：
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(10) |
式中，σ02=σ12=…=σK2, κmk=(1+ζmk)(1+ζmk)*=1+ρ2+2ρcosαmk。由于变量κmk随反射相移按余弦函数变化，其虚拟回波能量会随发射阵元位置的变化而发生巨大变化。因此，可从M个虚拟回波信号中选出最强的虚拟回波进行DOA估计，以提高估计性能。
2 回波信号优选虚拟发射信号矢量Bm由发射多径散射系数和目标散射系数构成。信号协方差越大，其虚拟回波信号能量越强。回波信号ym(t)的协方差矩阵为[18]：
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(11) |
定义c=[1, 0, …, 0]1×N，则由(11)式可得：
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(12) |
根据(12)式，dm的值由变量κmk确定。因此，可根据dm的大小选择最优的虚拟回波信号模型。设第m0个虚拟回波最优，则
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(13) |
由(13)式可知，最优的回波信号模型可表示为：
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(14) |
式中，Bm0=⌈sm01, sm02, …, sm0K⌉, A=[a(θ1), a(-θ1), …, a(-θK)]N×2K, sm0(t)=⌈sm01(t), δ1sm02(t), …, δKsm0K(t)⌉2K×1T。通常采用相关系数ρij衡量2个信号sm0i(t)和sm0j(t)的相关程度：
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(15) |
当ρij=0时，两信号相互独立；当0 < |ρij| < 1时，两信号相关；当|ρij|=1时，两信号全相干。低空环境下，接收阵列不仅接收到直接回波信号，而且还接收到了经地面反射的回波，直射信号和反射信号相互之间仅差一个复常系数，两者属于相干信号。
常规MUSIC(multiple signal classification)算法的基本前提是各个信源互不相关，但在多径情况下，由于直射信号和反射信号具有上述的相关性，接收信号的协方差矩阵为：
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(16) |
显然，这里的Rx为非满秩矩阵。由于信源协方差矩阵的非满秩，导致信号子空间与噪声子空间不再满足正交关系，因此使MUSIC算法失效。从本质上看，这里的相干信号相当于一个合成信号，通过多重分类MUSIC算法估计得到的目标个数必然会小于实际信源的个数。因此，多径条件下DOA估计的关键问题，在于将接收信号的协方差矩阵恢复为满秩矩阵，以期实现有效估计。采用前/后向空间平滑算法、改进MUSIC算法或空间差分算法均能实现这一目标。
4 空间差分重构本节针对回波信号ym0(t)的相干性，试图用一种新基于子空间差分方法的DOA估计算法，来实现角度估计。为便于论述，本部分以y(t)代表ym0(t)，A代表A0，s(t)代表sm0(t)，n(t)代表nm0(t)。此时，信号模型可简写为：y(t)=As(t)+n(t)。
将接收阵列的输出y(t)分为L个互相重叠的前向子阵，每个子阵包含N0个阵元，则第l个前向子阵可表示为：
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(17) |
式中，l=1, 2, …, L, N=L+N0-1, Fl=⌈0N0×(l-1)IN0×N00N0×(L-l)⌉, nl(t)=Fln(t), AN0是由阵列响应矩阵A的前N0行所组成的子矩阵，N0行组成的子矩阵为：D=diag[e-jπsinθ1, ejπsinθ1, …, e-jπsinθK, ejπsinθK]。设yfl(t)的第一个数据为
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(18) |
式中，b1是AN0的首行，e1为1×N0阶的单位矢量，其首个元素为1，其余元素为0。因此，yfl(t)和zl1(t)间的相关估计矢量为：
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(19) |
式中, R=E[s(t)sH(t)]。假设接收信号s(t)与噪声nl(t)互不相关，即(19)式最后2项在理想情况下为0。但在有限快拍和实际多径条件下，s(t)与nl(t)的乘积并不为0，因此会导致DOA估计性能的下降。为克服剩余2项的影响，这里采用最小均方准则，计算(17)式中ŝ(t)的估计值，即：
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(20) |
对噪声可估计为：
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(21) |
式中，PAN0⊥=Im-PAN0, PAN0=AN0(AN0HAN0)-1AN0H。则(19)式中，最后2项可表示为：
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(22) |
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(23) |
式中，Ffl=E[yfl(t)yflH(t)]。为克服加性噪声影响，由(20)~(23)式，可定义空间差分矢量Cfl1为：
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(24) |
式中：
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(25) |
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(26) |
且AN0*=AN0Λ, Λ=blkdiag(J2, J2, …, J2)2K×2K, PAN0=PAN0*。同样，对于yfl(t)第n0(1≤n0≤N0)行元素构成的数据矢量zln0(t)，其空间差分矢量可表示为：
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(27) |
式中：
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(28) |
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(29) |
类似地，若将y(t)划分为L个相互重叠的后向子阵，每个子阵具有N0个阵元，则可得到2个差分矢量Cbl1和Cbln0：
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(30) |
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(31) |
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(32) |
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(33) |
式中，ybl(t)=FlJNy*(t), Fbl=E[ybl(t)yblH(t)]。通过合并(24)式、(27)式、(30)式和(31)式的矢量，可形成改进的N0×4L空间差分矩阵：
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(34) |
式中：
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(35) |
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(36) |
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(37) |
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(38) |
当且仅当N0≥2K+1和L>1时，(34)式中N0×4L维差分矩阵Φ的秩为2K。
证明：当N0≥2K+1时，Φ的秩等于Π的秩。因此，仅需证明Π的秩为2K，即ρ(Π)=2K。将矩阵Π划分为Π=[Π1, Π2]，其中Π1和Π2分别由Π中前2L列和后2L列组成。利用Rx=blkdiag(ρ1, …, ρK)和D=blkdiag(p1, …, pK)可得，Π1的秩为：
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(39) |
式中
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(40) |
式中
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在L>1的条件下，必有ρ(HkT)=ρ(Hk)=ρ(Qk)=2，即ρ(Π1)=2K。同样，可知当L>1时ρ(Π2)=2K。因此，当且仅当m≥2K+1和L>1时，(35)式中维差分矩阵Φ的秩为2K。
5 DOA估计由(34)式可见，信号和噪声的相关矩阵ΔT和ΔP是需要抑制的分量，为消除这2个分量，可采用基于传播算子的迭代方案，以减少特征值的分解步骤，降低算法的运算量，主要步骤如下：
步骤1 利用(34)式估计DOA角度θk(j)。将AN0划分为AN0=⌈AN01T, AN02T⌉T，AN01和AN02分别由AN0的前2K行和后N0-2K行组成，AN01是满秩可逆矩阵。矩阵Φ可表示为Φ=[Φ1T, B2T]T，其中Φ1=AN01ΠK, Φ2=AN02ΠK, 从而有：
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(41) |
式中，Πc=Ω(ΩHΩ)-1ΩH, Ω=[ΣT, -IN0-2K]T, 且Σ=(Φ1Φ1H)-1Φ1Φ2H。由上式，通过求解下列代价函数的极小值，可得到DOA的估计值：
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(42) |
式中，b(θ)=[1, e-jπsinθ, …, e-jπ0-1)sinθ]T。
步骤2 在得到DOA的估计值后，根据(35)式、(36)式计算ΔT和ΔP的第j次迭代的估计值，形成新的差分矩阵：
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(43) |
式中，ω是0到1之间的实数(如ω=0.8)。
步骤3 根据Φ(j+1)更新计算DOA，得到θk(j+1)。随后，重复这一过程，直到相邻2次差分运算结果之差小于阈值：
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(44) |
这里的v是一很小的正常数(如v=10-5)。
6 仿真实验下面通过几组仿真实验，来验证本文算法在多径环境下的性能。设接收均匀线阵阵元数N=15，子阵个数L=6，3个不相干的窄带信号源的角度分别为θ1=10°、θ2=20°和θ3=40°。信号波长λ设为1 m，接收阵元的高度h=20 m。所有信源发射相同强度的能量σ02=1。
图 2为信噪比RSN=10 dB条件下f(θ)的谱函数，包括直射信号和反射信号的来波方向，仿真次数为30。谱函数的6个尖峰恰好对应着直射与反射波的6个角度。可见，本文算法能够利用空间差分方法克服多径相干信号的影响。
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| 图 2 DOA估计空间谱曲线 |
图 3给出了不同发射多径参数条件下的估计性能。其中发射阵元个数为N=5，对应的多径参数协方差分别为[1, 1.2, 1.5, 1.7, 2]快拍数为200。可以看出，随着发射阵元个数的增加，估计性能越好。这是由于回波信号优选方法能够选出最优的回波信号矢量，进而提高估计性能。
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| 图 3 不同发射阵元个数下的均方根误差 |
图 4和图 5分别给出了FBSS、传统空间差分算法和本节所提出的空间差分重构算法的估计均方误差随信噪比和快拍数的变化情况。由于能够较好地抑制噪声的影响，重构空间差分算法能够在多径环境下以较高的分辨率估计出波达方向，相比其他2种算法具有明显的优势。
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| 图 4 均方误差随信噪比的变化, 快拍数为200 |
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| 图 5 均方误差随快拍数的变化, RSN=5 dB |
本文针对低空和超低空目标探测的需求，提出了一种利用MIMO雷达抑制低空目标探测所产生多径效应的空间差分重构方法，通过建立低空多径环境下MIMO雷达阵列接收信号模型，采用空间差分重构，对低空目进行DOA估计，并利用多径回波能量进行回波信号优选，进行迭代计算进一步降低噪声影响，从而实现了对多径效应的抑制，仿真实验结果表明，与传统算法相比，本文提出的算法具有较高的估计精度，且能够有效减少计算步骤，降低计算量。
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