立方星(CubeSat)的概念最早由加州理工大学San Luis Obispo教授和斯坦福大学Bob Twiggs教授共同提出并制定了立方星相关标准^[1]。“1U”立方星是以一个边长10 cm的立方体作为一个标准单元。在此基础上，立方星可进行升级，增大为“2U”(20 cm×10 cm×10 cm)至“12U”(30 cm×20 cm×20 cm)的结构^[2]。其设计理念是通过标准化设计，减少卫星的研发制造成本^[3]。

其中，磁力矩器作为卫星姿态控制的执行机构，由于其结构轻便、成本低、功耗小等优势，在地磁场强度较强的近地轨道卫星上应用十分广泛^[4-6]。根据是否含有磁介质，磁力矩器可分为带磁芯的磁力矩器^[7]与空芯磁力矩器2大类^[8]。

目前，国际上已经有很多磁力矩器的现成产品。例如，南非的CubeSpace公司生产的带芯磁力矩器，它可以产生较大的磁矩，然而如果三轴同时使用这种磁力矩器，将占用立方星较大的体积。荷兰Hyperion Technologies生产的带芯磁力矩器，它通过加粗其中一个轴的直径来弥补磁芯变短产生的力矩降低。空芯线圈也可以产生磁力矩。文献[9]介绍了TUGSAT-1卫星上使用的空芯磁力矩器，其缺点是产生的磁矩较小。文献[10]介绍了荷兰代尔夫特理工大学研制的Delfi-n3Xt立方星磁力矩器，它采用了2根带芯磁力矩器与1套空心磁力矩器。

而将磁力矩器应用于立方星上时，由于需要遵循立方星的标准，因此需要在一定尺寸与功耗的限制下进行磁力矩器设计。文献[11]虽然对空芯磁力矩器的磁矩、质量、功耗与各物理量之间的关系进行了推导，但并未考虑各物理量在一定约束条件下的优化设计问题。冯乾等人在文献[12]中，针对空芯磁力矩器给出了优化设计的方法，但该文献将质量与功耗作为了设计的限制，而未作为设计目标来考虑，且未考虑随着线圈的缠绕所导致面积增大的问题。本文将综合考虑空芯磁力矩器的质量、功耗与磁矩等因素，使得在有限功耗和尺寸的情况下，能够获得最大的磁矩输出，从而能够更好地应用于体积与功耗都有限的立方星中。

本文首先建立了空芯磁力矩器的磁矩与功耗模型，并分析了各因素对磁力矩器设计的影响。对功耗、质量、磁矩进行多目标优化设计。最后针对所设计的参数制作了实际的磁力矩器，并对实物进行了测试，验证了设计的可行性与有效性。

1 模型建立 1.1 磁矩模型

空芯磁力矩器一般是用漆包线缠绕出一个闭合形状的线圈制成。由于不存在磁性材料，空芯磁力矩器的磁矩M与真空中载流线圈的磁矩是一致的，定义为总电流与其围绕面积的乘积，

(1)

式中，I为通过漆包线的电流；N为所绕漆包线总的匝数；A为漆包线所围绕的闭合形状的面积。

为了适应立方星尺寸的需要，空芯线圈所围绕的形状一般为正方形，假设线圈围绕在如图 1所示的一个方形支座上。

图中，a₁与a₂分别为方形支座的内部和外部边长；h为方形支座可绕线部分的高度；r_w为漆包线的半径；I为通过漆包线的电流。

若假设漆包线是一个挨一个紧密排列在支座上，且当绕满一层后，漆包线仍可以在底层上再绕多层，每层之间的漆包线也是一个挨着一个紧密排列。当在方形支座上绕了n层漆包线后，所绕漆包线总的匝数N可由下式计算得出：

(2)

由于漆包线是密绕的, 因此层数n可由a₁、a₂以及r_w计算得到

(3)

考虑到绕在支座上第1层漆包线的一圈周长为4(a₁+4r_w), 紧挨着这一层上边第2层漆包线的一圈周长为4(a₁+8r_w), 依此类推, 绕在最外边第n层漆包线的一圈周长为4(a₁+4nr_w), 同时考虑到每层都有N/n圈漆包线, 则漆包线的总长L_w为:

(4)

将以上线圈总匝数N与层数n分别代入(4)式, 可得到仅由h, a₁, a₂以及r_w表示的漆包线总长L_w为:

(5)

若假设所绕漆包线的电阻率为ρ, 横截面面积为S_w，则所绕漆包线的总电阻R为:

(6)

假设在线圈两端所施加的电压为U, 则通过漆包线的电流I为

(7)

考虑到随着漆包线围绕层数的增加, 线圈的围绕面积会逐渐增大, 如果简单地按照公式(1)磁矩的定义来进行计算, 则最终所计算的磁矩会偏小。考虑磁矩按照漆包线一圈一圈地加和, 则磁矩M可按照下式计算:

(8)

由(8)式可以较容易看出, 空芯线圈的磁矩与绕线支座的高度h无关; 增大支座的外部边长a₂, 线圈包围面积增大, 则磁矩变大。假设采用a₂=0.07 m的支座, 则在U=5 V的情况下, 磁矩随着漆包线半径r_w与支座内边长a₁的变化关系可由图 2看出。

由图中可以看出, 当支座内边长a₁一定时, 漆包线的半径r_w越粗, 磁矩就越大; 当漆包线半径r_w一定时, 支座内边长a₁的增加虽然也会使得磁矩增大, 但增加量比较小。

由此可见, 在电压一定的情况下, 增大漆包线半径r_w、增大支座内部与外部的边长等措施都会使得磁矩增大。但对于质量、体积和功耗都有限的立方星来说, 增大磁矩意味着功耗的增加, 因此, 仍需要考虑影响质量与功耗的因素。

1.2 质量模型

当仅考虑漆包线的质量时, 假设漆包线的密度为γ, 则由导线长度L_w与导线横截面积S_w, 可求得漆包线的质量M_w为

(9)

由(9)式可见, 增大漆包线半径r_w、增大支座外部边长a₂、减小支座内部边长a₁、增大绕线支座的高度h等措施会使得漆包线质量增加。

1.3 功耗模型

由电压U与电阻R, 可得功耗P

(10)

由(10)式可见, 在电压一定的情况下, 增大漆包线半径r_w、增大支座内部边长a₁等措施虽然会使磁矩增大, 同时也会使得功耗增加。

因此要想在立方星有限的体积和功耗限制下, 设计出磁矩较大的空芯磁力矩器, 需要综合考虑各量之间的平衡。

2 多目标优化 2.1 优化设计

由以上分析可以看出, 空芯磁力矩器在设计过程中, 各个变量之间相互制约, 单纯追求一个变量的最大化将导致其他变量恶化。因此, 为了平衡各个变量, 使磁力矩器整体达到最佳工作状态, 需要对空芯的磁力矩器进行多目标优化。

选取支座内边长a₁、漆包线半径r_w、支座可绕线部分高度h、支座外边长a₂这4个量为多目标优化的设计变量。用向量表示为:

(11)

考虑到立方星1U空间的尺寸限制, 按照最长边长为70 mm的限制, 同时考虑高度约束为8 mm, 则这几个量需满足以下约束条件:

(12)

(13)

优化目标是使得线圈质量M_w与功耗P均较小的情况下, 使得磁矩M较大。由于这3个目标是相互矛盾的, 需要同时对这3个物理量进行优化, 因此选取如下的目标函数:

(14)

采用遗传算法对目标函数进行最小化的寻优, 经过250次迭代后, 可得目标函数F(X)的变化情况如图 3所示。

从图中可知, 得到适应度F的最小值为3.192, 对应各参数为:h=0.007 99 m、a₁=0.033 90 m、r_w=0.000 200 m、a₂=0.069 97 m。按照该参数计算可得磁力矩器输出磁矩M₁=0.497 8 Am², 功耗P₁=0.972 4 W, 质量M_w1=0.210 9 kg。

2.2 线圈实现

根据上一节所求得各物理参数的最优值, 选取符合工程实际的物理量。则最终空芯磁力矩器实现的参数如表 1所示。

3 测试结果与分析

由于缺乏直接测量磁矩的方法和手段, 因而在测试中采用文献[12]所给出的方法, 间接测量线圈中心处所产生的磁感应强度。随后通过磁感应强度反推出磁矩。

3.1 测试方案

根据方形通电线圈中心位置处的磁感应强度公式

(15)

式中, μ₀=4π×10^-7N/A²为真空中的磁导率, 其他各量与上文定义一致。将(15)式右侧同时乘以线圈包围的面积, 则可得到磁感应强度与磁矩之间的关系如(16)式所示

(16)

由(16)式可知，磁矩的测量将转换为在线圈中心位置处磁感应强度的测量。

3.2 测试结果

具体测量的电压与磁矩的数据如表 2所示。

将电压与磁矩的关系绘制成曲线如图 4所示，具体测量的功耗数据如表 3所示，由表中可以看出，所设计的磁力矩器在产生0.502 9 Am²磁矩的同时，功耗仅为0.969 W，且线性度误差小于1%。磁力矩器磁矩的实验结果和理论值的误差小于1.1%，剩磁矩小于0.001 Am²。

本文所设计的磁力矩器已经在包括世界首颗12U立方星“翱翔之星”等多颗立方星上得到了应用。图 5为“翱翔之星”上磁力矩器的工作情况。由图中可以看出，磁力矩器在立方星初期入轨消旋阶段工作比较频繁，后期立方星姿态稳定后工作频次有所减缓。磁力矩器在整个卫星的生命周期内运行稳定良好，证明了设计方案的正确性和可行性。

4 结论

通过本文的分析，可以得到如下的结论：

1) 空芯磁力矩器所产生的磁矩不仅与所缠绕的漆包线直径有关，还与线圈的围绕面积有关。因此，在设计空芯磁力矩器时需要进行综合考虑。

2) 当需要满足立方星的标准时，磁矩、功耗与质量是互相矛盾的物理量，需要采用多目标优化的方法进行设计。最终从磁力矩器的具体实现和测试结果可以看出，本文所设计的磁力矩器质量轻、功耗小、剩磁小。这对于设计适合于立方星使用的磁力矩器提供了一些有益的参考。