2. 北京航空航天大学 航空科学与工程学院, 北京 100191;
3. 中航工业第一飞机设计研究院 强度设计研究所, 陕西 西安 710089
飞翼布局是一种无明显机身和尾翼的特殊布局形式，其外形顺滑、全机浸润面积小，可有效地减小全机摩擦阻力和干扰阻力。该布局还有利于综合隐身性能的提升，是作为大型运输类飞机[1]、传感器飞机[2-3]的理想平台，在民用和军用航空领域都有很好的发展前景。这类飞机一般采用大展弦比机翼设计，以获得较好的升阻特性，并使用轻质复合材料减轻结构重量，以满足长时间续航任务需求。
由于结构重量轻、柔性大，这类飞机结构弹性效应更加显著。一方面是大展弦比飞翼结构柔度大，其第一阶弹性振动频率较低；另一方面则是由于飞翼的俯仰惯量较小，短周期模态频率较高。由此造成全机刚体运动与结构弹性振动之间的频率差变小，结构运动与气动力耦合以及与全机运动耦合开始出现，容易对飞翼的动力学稳定性产生重要影响。
如20世纪80年代，在SB-13 Arcus飞翼式滑翔机研制过程中，1/3缩比模型的飞行实验显示，该布局在很小的飞行速度下就会产生严重的颤振失稳现象。同时，Wulf等人发现该滑翔机在遭遇突风时，刚体俯仰运动极易与飞行员的操纵发生不利耦合，从而产生强烈的短周期俯仰运动，且趋于发散[4]，为此Wulf等人还给出了飞翼布局特别的设计准则。在Lockheed Martin公司的SensorCraft项目研究过程中，也遇到了类似的问题。Love等人[5]在颤振分析中发现，飞翼的刚体短周期模态会和机翼一弯模态耦合而产生失稳，称为自由体颤振。
对于上述现象，飞机的刚体运动与弹性体振动相互解耦的关系不再明显，甚至根本不存在，传统飞行力学和气动弹性力学方法不再适用。由于建模不当或者没有合理考虑气动弹性效应影响，会对飞机飞行动力学分析和飞行控制系统设计造成诸多问题。也就是说，应当采用考虑了弹性自由度影响的动力学模型来进行弹性飞机操稳特性分析、控制系统设计。
目前，弹性飞机刚弹耦合运动的动力学建模主要采用以下3种方法：
1) 基于影响系数的建模方法[6-8]——该方法将分别表示飞机质心运动和弹性飞机内部平衡的2组小扰动方程联立，再把通过试验测得的结构影响系数(相当于柔度系数)和气动力影响系数结果代入方程来考虑结构弹性和气动力的影响，进而求解弹性飞机的稳定性问题。
2) 基于平均体轴系和模态理论的刚弹耦合建模方法[9-10]——采用能量法建立平均轴系下包含弹性飞机刚体运动和弹性振动模态的运动方程，通过选择合适的“平均体轴系”来消除刚体运动和弹性振动模态之间的惯性耦合[11]，使得方程的最终形式与传统飞行动力学方程相近。但其非定常气动力计算采用准定常片条理论，在实际应用中有一定的局限性。
3) 基于多体动力学准坐标理论的刚弹耦合建模方法[12-13]——将飞机看作由多个弹性体组成的混合系统，建立多个与结构部件固连的参考坐标系。以全机重心处的体轴系作为机体坐标系描述飞机的刚体运动，通过弹性结构建立各参考轴系之间的运动关系，进而建立弹性飞机运动方程组。结合片条理论和Theodorsen非定常气动力计算方法，对弹性飞机的稳定性、操纵响应等问题进行研究。该方法多个坐标系之间的转换较为繁琐，且刚体和弹性运动自由度之间的惯性耦合严重，造成方程形式复杂，不太适合工程应用。
本文综合借鉴上述思路，采用平均体轴系、气动力有理函数拟合，以及传统飞行动力学的小扰动假设，对弹性飞机刚弹耦合运动建模和稳定性分析方法进行研究，并以某大展弦比飞翼布局无人机为对象，讨论和研究弹性飞翼的飞行动力学稳定性问题，为同类飞机的设计提供一定的参考。
1 理论基础 1.1 弹性飞机运动方程弹性飞机的运动包括刚体运动和弹性运动，为方便运动关系的描述，本文选取地轴系OXYZ[14]和弹性飞机的平均体轴系oxyz[15]作为参考坐标系。其中地轴系与大地表面某一点固连, OZ轴沿重力加速度方向竖直向下, OX轴选取飞行器航向在地面上的投影方向, OY轴的正方向根据右手定则确定, 忽略地球自转, 认为地轴系OXYZ是惯性轴系。平均体轴系oxyz的原点o与弹性飞机的瞬时质心重合, x轴沿机身轴线向后, y轴垂直于纵向对称面向右, z轴由右手定则确定。平均体轴系下任意时刻弹性变形产生的线动量和角动量为零, 可消除弹性飞机运动方程中刚体运动与弹性振动之间的惯性耦合。
由此弹性飞机的刚体运动由平均体轴系oxyz相对地轴系OXYZ的平动和转动描述, 弹性运动则用机体结构相对未变形状态的弹性位移表示。对弹性飞机结构作有限元离散, 并设平均体轴系oxyz相对于地轴系OXYZ运动的角速度矢量为ω, 速度矢量为V, 结点弹性变形向量为u, 那么系统的Lagrange函数为
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(1) |
式中, M为弹性飞机的总质量; I为弹性飞机的惯量矩阵, 本文中认为由弹性变形引起的全机惯量的变化很小, I为常值; m为弹性体有限元结构的总体质量矩阵; k为弹性体有限元结构的总体刚度矩阵。
令平均体轴系下角速度矢量写为ω=[p q r]T, 速度矢量写为V=[U V W]T, 并选作准坐标[16]。根据Hamilton原理得到平均体轴系下弹性体Lagrange运动方程
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(2) |
式中, Fm为平均体轴系各向合外力; Mm为平均体轴系下各轴向合外力矩; Qu弹性变形u对应的广义力, 即加载于有限元模型结点上等效结点载荷。弹性飞机结构有限元的结点载荷包括重力载荷fG、气动载荷fA以及类似发动机推力的集中载荷fT (此处暂不考虑结构阻尼), 即
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(3) |
式中, gm为平均体轴系下重力加速度矢量, Φt和Φr分别为弹性飞机的刚体平动与刚体转动的模态矩阵。
本文认为弹性飞机结构变形较小, 包括结构弹性变形和控制面偏转变形。弹性变形用结构的若干阶自由弹性振动模态Φe和模态广义坐标qe来近似表示。控制面偏转变形同样用控制面偏转模态Φc和模态广义坐标qc表示, 则有
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(4) |
将上述结果代入(2)式, 并与弹性飞机的运动学方程联立, 得到完整的弹性飞机运动方程如下。
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(5) |
式中, M为系统广义质量阵, M=ΦeTmΦe; K为系统广义刚度阵, K=ΦeTkΦe; L和D为系数矩阵。
1.2 非定常气动力建模预先求得若干减缩频率下的频域非定常气动力影响系数矩阵, 进行非定常气动力有理函数拟合[17-20], 得到拉氏域内的气动力近似表达式, 进而求得时域非定常气动力。
拉氏域内广义气动力可表示为
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(6) |
式中, Q(s)为气动力影响系数矩阵, 利用最小状态法(MS法)拟合得到的近似表达式为
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(7) |
式中, s=scref/2V∞为无因次Laplace变量, cref为飞机参考弦长, V∞为飞行速度, R为na个气动力滞后根组成的对角阵, Ir为与R相同阶数的单位阵。将拟合后的气动力影响系数矩阵按照结构运动自由度(用下标s表示, 包含刚体平动、刚体转动、弹性变形3类运动)和控制面偏转自由度(用下标c表示)进行分区, 即
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并令气动力附加变量为
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(8) |
可化为如下时域表达式
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(9) |
将上述结果代入(6)式, 得到气动力扰动量的时域表达式为
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(10) |
将弹性飞机运动看做由基准运动和扰动运动的线性迭加, 下标‘0’表示运动量的基准值, 前缀‘Δ’表示运动量的扰动值。假设飞机具有对称平面(气动外形和质量分布均对称), 在基准运动中对称平面处于铅垂位置。对于弹性飞机刚弹耦合运动方程式(5), 选取定直平飞运动作为飞机的基准运动, 各运动量基准值取值满足: 
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(11) |
式中, L0、D0和T为常系数矩阵。
将重力、气动力和推力广义力表达式代入弹性飞机刚弹耦合小扰动运动方程可以得到
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(12) |
式中
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移项并整理后得到
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(13) |
结合式
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(14) |
式中
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写成状态空间形式
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(15) |
式中
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分析状态空间模型中特征矩阵A的特征值和特征向量, 根据状态空间方程稳定性判据可知, 若系统所有特征值实部均为负, 则系统稳定; 若存在实部为正的特征值, 则系统不稳定; 若存在纯虚数的特征值, 且其余特征值实部均为负值, 则系统临界稳定。
2 数值算例以某大展弦比飞翼无人机为例, 进行刚弹耦合情况下的飞行动力学纵向稳定性分析。该飞翼无人机翼展4.800 m, 机长1.033 m, 展弦比为17.1, 全机飞行重量20.0 kg, 刚体飞机纵向静稳定裕度为16%。该飞翼主要由中央翼身融合体、两侧机翼及翼尖垂尾三大部分组成, 中央翼身融合体为航空层板隔框-碳纤维蒙皮的结构形式, 垂尾和外段机翼均为泡沫夹芯-碳纤维蒙皮的复合材料结构形式。
根据该飞翼无人机的结构形式和气动外形, 建立刚弹耦合动力学分析模型。结构有限元模型如图 1所示, 翼面结构的弹性特性用位于外段机翼35.8%弦长处的有限元弹性梁模型来模拟, 机翼的质量特性采用分布于翼面的若干个集中质量单元模拟。全机结构固有振动特性分析得到3阶刚体运动模态和前8阶对称弹性振动模态特性如表 1所示。非定常气动力采用偶极子格网法计算, 具体网格划分如图 2所示。
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| 图 1 某飞翼无人机结构有限元模型 |
| 序号 | 频率/Hz | 振型 |
| 模态1 | 0.0 | 刚体前后平动模态 |
| 模态2 | 0.0 | 刚体沉浮模态 |
| 模态3 | 0.0 | 刚体俯仰模态 |
| 模态4 | 3.67 | 机翼1阶弯曲模态 |
| 模态5 | 20.32 | 机翼2阶弯曲模态 |
| 模态6 | 31.31 | 机翼1阶水平弯曲模态 |
| 模态7 | 34.37 | 机翼1阶扭转模态 |
| 模态8 | 39.61 | 机翼3阶弯曲模态 |
| 模态9 | 62.94 | 外翼3阶弯曲模态 |
| 模态10 | 86.13 | 机翼4阶弯曲模态 |
| 模态11 | 101.71 | 机翼2阶扭转模态 |
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| 图 2 某飞翼无人机气动力计算模型 |
取飞翼的刚体前后平动、刚体沉浮和刚体俯仰共3个刚体运动自由度、模态4~11共8阶弹性振动自由度及1个非定常气动力滞后根, 建立刚弹耦合运动的状态空间模型。计算状态空间模型特征矩阵A的特征值, 得到系统特征值随飞行速度变化的根轨迹, 进而判断系统稳定性。
计算得到飞行速度V=15~50 m/s范围内弹性飞翼的刚弹耦合运动系统根轨迹如图 3所示。由图可知, 在计算飞行速度范围内共有2支根轨迹曲线穿越虚轴。其中, 短周期模态阻尼随着飞行速度的增加而减小, V=26.1 m/s时短周期模态根轨迹首先穿越虚轴; 而机翼水平一弯和对称一扭模态的阻尼先随着飞行速度的增加而增加, 当飞行速度超过30 m/s后该模态阻尼随飞行速度的增加而减小, V=46.3 m/s时该模态根轨迹穿越虚轴。可以判定该刚弹耦合系统失稳速度为26.1 m/s。
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| 图 3 某飞翼刚弹耦合系统根轨迹图(V=15~50 m/s)态 |
图 4和图 5将计算得到弹性飞翼的长周期和短周期模态随飞行速度变化的根轨迹与刚体飞行动力学计算结果分别进行了对比。由图可知, 刚体飞行动力学方法和刚弹耦合动力学方法计算得到的长周期模态特性基本一致, 而短周期模态特性有明显的差别。若不考虑弹性的影响, 弹性飞翼短周期模态的频率和阻尼均随着飞行速度的增加而增加, 且不存在系统不稳定的情况; 而考虑刚弹耦合效应之后, 短周期模态的阻尼随着飞行速度的增加而减小, 短周期模态频率随飞行速度的增加变化较小。
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| 图 4 某飞翼刚体与弹性情况长周期模特性对比(V=15~50 m/s) |
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| 图 5 某飞翼刚体与弹性情况短周期模态特性对比(V=15~50 m/s) |
只考虑弹性飞翼的弹性运动自由度, 应用传统气动弹性力学时域和频域分析方法对弹性飞翼的颤振特性进行分析。在时域颤振分析中, 取模态4~11共8阶弹性振动模态, 建立系统的状态空间方程, 计算得到系统特征值随飞行速度变化的根轨迹见图 6(由于模态11的频率较高且对颤振结果没有影响, 故未在图中列出)。根据根轨迹可知, 只考虑弹性运动自由度的情况下, 当飞行速度为48.5 m/s时, 模态6的根轨迹穿越复平面虚轴, 系统失稳, 此时颤振频率为23.4 Hz。在频域颤振分析中, 同样取模态4~11共8阶弹性振动模态, 采用p-k法进行全机颤振特性分析, 计算得到的V-g图和V-f图见图 7和图 8。根据V-g图可知模态4分支在V=46.8 m/s时穿越g=0水平线, 但阻尼值增长趋势较缓, 且g＜0.02;模态6分支在V=48.6 m/s时穿越g=0水平线, 且阻尼值呈现爆发性增长的形式。因此, 弹性飞翼的颤振速度为48.6 m/s, 颤振频率为23.2 Hz。
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| 图 6 弹性飞翼时域颤振分析根轨迹图(V=15~50 m/s) |
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| 图 7 弹性飞翼频域颤振分析V-g图 |
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| 图 8 弹性飞翼频域颤振分析V-f图 |
与常规颤振计算结果对比发现, 弹性飞翼刚弹耦合运动的失稳速度远远小于只考虑弹性自由度的颤振速度。这是因为飞翼的俯仰转动惯量相对较小, 造成其短周期模态的频率较一般正常式布局飞机要高, 同时本算例中弹性飞翼的机翼对称一弯模态的固有频率较低, 两者频率差较小。随着飞行速度的增加, 机翼对称一弯模态与短周期运动模态发生耦合, 使得飞翼在较小的飞行速度下就出现运动失稳现象。所以, 对于飞翼这一特殊布局, 特别是结构弹性效应较为显著的情况下, 稳定性分析应当同时考虑刚体运动自由度和弹性运动自由度的影响, 综合分析飞行动力学和气动弹性力学的相关特性, 不能人为地将两者割裂。
控制对象的数学模型阶次尽可能少。因此本文在弹性飞翼刚弹耦合状态空间建模过程中, 通过减小弹性模态阶数, 进一步研究了弹性模态阶次对稳定性结果的影响。计算结果见表 2。
| 弹性模态阶数 | 飞行动力学稳定性分析结果 | p-k法颤振分析结果 | |||
| 失稳速度/ (m·s-1) |
频率/ Hz |
失稳速度/ (m·s-1) |
频率/ Hz |
||
| 2 | 32.2 | 0.402 | - | - | |
| 3 | 35.1 | 0.558 | 64.3 | 27.4 | |
| 4 | 25.9 | 1.13 | 48.2 | 23.5 | |
| 5 | 26.1 | 1.18 | 48.6 | 23.2 | |
| 6 | 26.1 | 1.17 | 48.6 | 23.2 | |
| 7 | 26.1 | 1.17 | 48.6 | 23.2 | |
| 8 | 26.1 | 1.17 | 48.6 | 23.2 | |
其中也一同列出了对应p-k法颤振计算结果。颤振结果显示, 弹性飞翼的颤振型为机翼一弯、二弯、一扭模态的耦合形式, 在颤振计算过程中至少应当包含前4阶弹性模态。采用刚弹耦合方法的分析结果也符合这一规律, 即在弹性飞机操稳特性分析过程中, 应当包含足够多阶次的弹性运动模态, 该阶次可通过颤振分析确定。这一思想与颤振分析及气动伺服弹性稳定性分析也是一致的。
2.3 机翼刚度变化对刚弹耦合运动稳定性的影响受结构弹性效应的影响, 飞翼无人机在很小的飞行速度下就会发生动力学失稳现象。那么, 如何满足飞翼的颤振稳定性设计指标?这正是本文接下来需要探讨的内容。
提高弹性飞翼的刚弹耦合运动失稳速度, 最直接的方法就是增加结构刚度、降低结构柔性, 使得弹性运动与刚体运动之间的频率差扩大, 以减小两者之间的耦合程度。以机翼的整体弯曲和扭转刚度这一关键参数作为研究对象, 考虑该飞翼在海平面高度对称平飞情况下机翼刚度变化对飞行动力学稳定性的影响。
以上一节分析中结构刚度为基准, 设为单位1.0EI, 分析机翼整体刚度分别为初始刚度的1.5倍、2.0倍和2.5倍时, 飞翼刚弹耦合运动失稳速度的变化情况。如表 3和图 9所示, 计算结果显示随着机翼结构刚度的增加, 弹性飞机的刚弹耦合失稳速度呈近似线性增加的趋势。如图 10和图 11所示, 在相同速度下, 弹性飞翼的短周期频率和阻尼值均随着机翼刚度的增加而增加。而结构刚度变化对弹性飞翼的长周期模态影响较小。
| 机翼刚度 | 飞行动力学稳定性分析结果 | p-k法颤振分析结果 | |||
| 失稳速度/ (m·s-1) |
频率/ Hz |
失稳速度/ (m·s-1) |
频率/ Hz |
||
| 1.0EI | 26.1 | 1.17 | 48.6 | 23.2 | |
| 1.5EI | 32.0 | 1.43 | 59.5 | 28.7 | |
| 2.0EI | 36.9 | 1.65 | 68.7 | 32.8 | |
| 2.5EI | 41.3 | 1.85 | 76.9 | 36.7 | |
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| 图 9 刚弹耦合运动失稳速度随机翼结构刚度变化情况 |
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| 图 10 弹性飞翼短周期模态根轨迹随机翼结构刚度变化情况 |
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| 图 11 弹性飞翼长周期模态根轨迹随机翼结构刚度变化情况 |
1) 推导了平均体轴系下弹性飞机的刚弹耦合运动方程, 并基于小扰动假设将其线化为小扰动线性微分方程组, 综合有理函数拟合得到的时域非定常气动力模型, 建立了弹性飞机刚弹耦合情况下的状态空间模型, 用以弹性飞机的飞行动力学稳定性分析。
2) 对某大展弦比飞翼布局无人机的飞行动力学稳定性进行了建模与计算。结果显示, 随着飞行速度的增加, 机翼对称一弯模态与短周期运动模态发生耦合, 使得飞翼在较小的飞行速度下就出现自由体颤振现象。由此说明结构弹性会对飞翼纵向动力学稳定性造成显著的影响, 在大展弦比飞翼设计过程中应当引起重视。
3) 研究了在刚弹耦合状态空间建模过程中, 弹性模态阶次对稳定性分析结果的影响。分析表明在弹性飞机操稳特性分析过程中, 应当包含足够多阶次的弹性运动模态, 该阶次可通过常规颤振分析确定。
4) 分析了结构刚度对飞翼刚弹耦合运动稳定性的影响。结果显示刚弹耦合失稳速度随机翼刚度的增加呈近似线性增加的趋势。在相同速度水平下, 弹性飞翼的短周期频率和阻尼值均随着机翼刚度的增加而增加。
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2. School of Aeronautic Science and Engineering, Beihang University, Beijing 100191, China;
3. The Aircraft Strength Design and Research Department, AVIC the First Aircraft Institute, Xi'an 710089, China
